中小学教育资源及组卷应用平台
【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇21
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江宁波·一模）（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
2．（2024·浙江宁波·一模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A，B均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
(1)在图1中，以点A，B为顶点画一个等腰三角形，其中点C在格点上．
(2)在图2中，以点为边画一个平行四边形，其中点D，E在格点上．
3．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，P为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，交于点H，，连结，．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
4．（2023·浙江温州·模拟预测）为做好中小学课后延时服务工作，了解学生对课后延时服务活动的需求，某校随机抽取了部分学生，进行了“我最喜欢的课后延时服务活动”的调查（每位学生只能选其中一项活动），并将调查结果整理后．绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息完成下列问题：
(1)这次参与调查的学生有__________人
(2)参与这次调查的学生中，选择“艺体活动”的有__________人，请补全频数分布直方图；
(3)若该校有5000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生最喜欢“自主阅读”和“科普活动”的共有多少人．
5．（2024·浙江杭州·二模）雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的点，测得雷峰塔顶端A的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点，测得雷峰塔底端的俯角为，求雷峰塔的高度．（参考数据：）
6．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
(1)若，，求的值；
(2)若，，当时，，当时，，求的值；
(3)若对于，，都有，求的取值范围．
7．（2021·浙江温州·一模）某经销商以每箱12元的价格购进一批消毒水进行销售，当每箱售价为26元时，日均销量为60箱．为了增加销量，该经销商准备适当降价．经市场调查发现，每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱，设每箱降价x元，日均销量为y箱．
（1）求日均销量y关于x的函数关系式．
（2）要使日均利润为800元，则每箱应降价多少元？
（3）促销后发现，该经销商每天的销售量不低于85箱．若每销售一箱消毒水可以享受政府m元（0＜m≤6）的补贴，且销售这种消毒水的日均最大利润为1020元，求m的值．
8．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】
（1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室中小学教育资源及组卷应用平台
【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇21
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江宁波·一模）（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算和特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算绝对值、立方根、负整指数幂、特殊角的三角函数值，再算加减法即可；
（2）先算乘法，再算加减，得到化简结果，再把代入计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
当时，原式
2．（2024·浙江宁波·一模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A，B均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
(1)在图1中，以点A，B为顶点画一个等腰三角形，其中点C在格点上．
(2)在图2中，以点为边画一个平行四边形，其中点D，E在格点上．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】
本题考查的是作等腰三角形与平行四边形，涉及等腰三角形的判定与平行四边形的判定，熟记等腰三角形与平行四边形的判定是画图的关键；
（1）由等边三角形的性质取格点C，可得，则即为所画的三角形；
（2）取格点D，E，由等边三角形的性质可得，，可得四边形即为所画的平行四边形．
【详解】（1）解：如图，即为所画的等腰三角形；
（2）如图，四边形即为所画的平行四边形；
3．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，P为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，交于点H，，连结，．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)，
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质、线段垂直平分线的性质可证明，继而求解即可；
（2）先由勾股定理求出，再由等腰直角三角形的性质得出，通过证明，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
4．（2023·浙江温州·模拟预测）为做好中小学课后延时服务工作，了解学生对课后延时服务活动的需求，某校随机抽取了部分学生，进行了“我最喜欢的课后延时服务活动”的调查（每位学生只能选其中一项活动），并将调查结果整理后．绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息完成下列问题：
(1)这次参与调查的学生有__________人
(2)参与这次调查的学生中，选择“艺体活动”的有__________人，请补全频数分布直方图；
(3)若该校有5000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生最喜欢“自主阅读”和“科普活动”的共有多少人．
【答案】(1)200
(2)80，见解析
(3)1250人
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）根据做作业的人数和所占的百分比，可以计算出这次参与调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出参加“艺体活动”的人数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出“科普活动”和“自主阅读”所占的百分比的和，便可以计算出该校学生最喜欢“自主阅读”和“科普活动”的共有多少人．
【详解】（1）解：这次参与调查的学生有（人）；
（2）参加艺体活动的有：（人），
补全频数分布直方图如图所示，
（3）（人）
∴该校学生最喜欢“自主阅读”和“科普活动”的共有1250人．
5．（2024·浙江杭州·二模）雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的点，测得雷峰塔顶端A的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点，测得雷峰塔底端的俯角为，求雷峰塔的高度．（参考数据：）
【答案】约
【分析】此题主要考查解三角形的应用，过点A作，垂足为C，先证明为等腰直角三角形，得到，再解直角三角形求出，即可求得答案．
【详解】解：过点A作，垂足为C，如下图所示，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
故雷峰塔的高度约为．
6．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
(1)若，，求的值；
(2)若，，当时，，当时，，求的值；
(3)若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数图象与性质综合，涉及待定系数法求解、与不等式的关系等，数形结合是解题的关键．
（1）将，代入，再结合对称轴为直线即可求解；
（2）利用数形结合，由当时，确定对称轴的值，再根据若，和当时，列式求解；
（3）确定点的大致位置，画出草图，利用并结合图象确定点位置范围，列式求解．
【详解】（1）解：∵若，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵若，，
即抛物线过点，
再根据，即抛物线开口向上，
可得抛物线有三种大致图象，如图：
①当对称轴时，
此时当时，一定存在，
与矛盾，
故不成立；
②当对称轴时，
此时当时，一定存在，
与矛盾，
故不成立；
③当对称轴时，
此时当时，一定存在，
故成立；
综上，，
∴，即，
∵当时，时，
∴结合图象可得时，，
∴①，
∵若，，
∴②，
①-②，得，
代入，
解得：；
（3）∵，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线，，
∴点在对称轴右侧，
根据题意画出草图，如图，
∵对于，，都有，
即点在点的水平上方，
由图可知点只能在对应的图象上，
∵，
∴，
解得：，
∴的取值范围为：．
7．（2021·浙江温州·一模）某经销商以每箱12元的价格购进一批消毒水进行销售，当每箱售价为26元时，日均销量为60箱．为了增加销量，该经销商准备适当降价．经市场调查发现，每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱，设每箱降价x元，日均销量为y箱．
（1）求日均销量y关于x的函数关系式．
（2）要使日均利润为800元，则每箱应降价多少元？
（3）促销后发现，该经销商每天的销售量不低于85箱．若每销售一箱消毒水可以享受政府m元（0＜m≤6）的补贴，且销售这种消毒水的日均最大利润为1020元，求m的值．
【答案】（1）y=60+5x；（2）4元；（3）m=3．
【分析】（1）设每箱降价x元，日均销量为y箱，则日均销量下降5x，列出y与x的关系式即可；
（2）根据日均利润=每箱利润×日销售量，再结合题意列一元一次方程求解即可；
（3）先根据题意确定每箱降价x元的取值范围，然后再列出最大利润与x的函数关系式，最后根据最值为1020列式求解即可．
【详解】解：（1）设每箱降价x元，日均销量为y箱，则日均销量下降5x，
所以日均销量y关于x的函数关系式为y=60+5x；
（2）设每箱应降价x元,则根据题意可列不等式：
（26-x-12）（60+5x）=800，
整理得：-8x2+10x+40=0
解得x=4或x=-2（不合题意舍去）
所以每箱应降价4元；
（3）由60+5x≥85可得x≥5，
设这种消毒水的日均利润为w
W=（26-x-12）（60+5x）+m（60+5x）
=-5x2+10x+840+m（60+5x）
=-5（x-1）2+845+m(60+5x)
∴对应函数图像的开口方向向下，对称轴为x=1
∴当x=1时，W有最大值
∵x≥5时，W有最大值1020，即-5（5-1）2+845+m(60+5×5)=1020
解得：m=3
又∵0＜m≤6
∴m=3符合题意．
8．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】
（1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证明，得出，可得出结论；
（2）设，则，，由相似三角形的性质得出答案；
（3）证明，设，则，得出，证明，得出，设，则，，过点作于，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
设，则，，
∵，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
（3）∵在中，点是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室
