黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2023-2024学年八年级上册数学暑假学情检测试卷
1．（2023八上·哈尔滨开学考）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）.
A．3x-2y=4z B．6xy+9=0 C． D．5x+y=2
2．（2023八上·哈尔滨开学考）若aA．a-13．（2023八上·哈尔滨开学考）已知 是方程ax-y=5的一个解，那么a的值为（ ）.
A．-2 B．2 C．3 D．6
4．（2023八上·哈尔滨开学考）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023八上·哈尔滨开学考）下列各组线段不能构成三角形的是（ ）.
A．3cm，5cm，7cm B．4cm，5cm，6cm
C．6cm，8cm，15cm D．8cm，9cm，15cm
6．（2023八上·哈尔滨开学考）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数(单位：分)及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 1 1.2 1 1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2023八上·哈尔滨开学考）若不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1，则a必满足（ ）
A．a<0 B．a>-1 C．a<-1 D．a<1
9．（2023八上·哈尔滨开学考）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
10．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，BN为∠MBC的角平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，∠APC+∠ABC=180°，给出下列结论：①∠MAP=∠BCP；②PA=PC；③AB+BC=2BD；④连接AC，则∠CAP=∠ABP；⑤四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍。其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2023八上·哈尔滨开学考）把方程 改写成用含 的式子表示 的形式为 .
12．（2023八上·哈尔滨开学考）已知是方程3mx-y=1的解，则m的值为 .
13．（2023八上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，若点P(x-1，4-2x)在第四象限，则x的取值范围是 .
14．（2023八上·哈尔滨开学考）等腰三角形的周长为20，腰长m的取值范围是 .
15．（2023八上·哈尔滨开学考）一组数据3，5，4，5，6，x，5，它的平均数是5，则x= .
16．（2023八上·哈尔滨开学考）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本：如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，则这些书一共有 本.
17．（2023八上·哈尔滨开学考）如上图，在△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=12cm，CD：BD=1：2，AB=15cm，则△ABD的面积是 cm2.
18．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，AC⊥BD，AF平分∠BAC，DF平分∠EDB，∠BED=100°，则∠F的度数为 .
19．（2023八上·哈尔滨开学考）在△ABC中，∠ABC为锐角，△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，若BF=AC，AD=5，DC=3，则△ABC的面积是 .
20．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，且AB=AE，CBA=∠D+BAD过点E作EG⊥AB，垂足为G.延长BC和AE交于点F，若BF：ED=2：1，EG=2，三角形ABF的面积为7，则AD= .
21．（2023八上·哈尔滨开学考）解下列方程组：
（1）
（2）
22．（2023八上·哈尔滨开学考）
（1）解不等式
（2）解不等式组
23．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，图中网格是由边长为1的小正方形组成的，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上.
（1）在网格中只画一条线段AD(点D在BC上），使△ACD的面积是△ABD面积的2倍；
（2）在⑴画出AD的图形中再画线段AE，CE，使△CEA≌△ABC，直接写出四边形ADCE的面积为 .
24．（2023八上·哈尔滨开学考）已知：点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别位于直线AD的两侧，AF=DE，AB=CD，AF//DE，
（1）如图1，求证：BE//CF
（2）如图2，连接EF，交AD于点O，延长EB交AF于点G，延长FC交DE于点H，请直接写出图2中所有的全等的三角形(不包含(1)中的全等三角形)。
25．（2023八上·哈尔滨开学考）为保护环境，增强居民环保意识，某校七年级(1)班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，统计结果的条形统计图如下：
根据统计图，请回答下列问题：
（1）这组数据共调查了居民有多少户
（2）这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是 个，众数是 个，
（3）该校所在的居民区约有3000户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少
26．（2023八上·哈尔滨开学考）某机械厂为生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产，甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同.
（1）求甲车间每天生产多少件A种产品 乙车间每天生产多少件B种产品
（2）该机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元.现有公司需一次性购买A、B两种产品共80件且按出厂价购买A、B两种产品的费用不 超过15080元，则该公司购进B种产品至少多少件
27．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F。
（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是 ；
（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；
（3）在(2)的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，S ABH：SAGH=4：1，求GH的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：
A、含有三个未知数x，y，z 故A不符合题意；
B、含xy项的次数为2，故B不符合题意；
C、分母含有未知数，是分式方程而不是整式方程，故C不符合题意；
D、只含有两个未知数，且含未知数项的最高次数为1的整式方程才是一元二次方程，故D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程的定义，利用排除法即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A、不等式的两边都加上或减去同一个数，不等式方向不变，A正确；
B、不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等式方向不变，B 正确；
C、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等式方向改变，C 正确；
D、当a=-3，b=1时，则故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质利用排除法即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把 代入方程得2a-1=5，
解得a=3
故答案为：C.
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由多边形内角和公式及多边形的外角和等于360°可得：，解得n=4.
故答案为：B.
【分析】本题主要考察多边形内角和公式：，多边形外角和恒等于360°.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：因为6cm+8cm＜15cm；不满足三角形三边数量关系，故C选项错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由于乙，丙组的平均数大于甲，丁组，故排除A，D选项，又因为丙组的方差小于乙组，所以丙组的成绩比乙组成绩稳定，故排除B选项.
故答案为：C.
【分析】平均数大小能反应成绩高低，而方差反映的一组数据的波动水平，方差越小，数据越稳定，用排除法选出正确答案即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．
【解答】已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，
加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．
8．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： 如果不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1，那么a+1<0，即a<-1.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质：两边同乘或时除以一个负数，不等号的方向改变，即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该商品的售价为x元.
x-800≥800×0.2
x-800≥160
解得x≥960
960÷1200=0.8
故答案为：C.
【分析】先设售价为x，根据：利润=售价-进价，列出方程，然后再根据：折扣=售价÷标价，求出折扣即可.
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PK⊥AB，垂足为点K．连接AC，
∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP=∠CBP，
∴PK=PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，
∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），
∴BK=BD，
∵∠APC+∠ABC=180°，且∠ABC+∠KPD=180°，
∴∠KPD=∠APC，
∴∠APK=∠CPD，
∵∠AKP=∠CDP=90°，
∴∠KAP=∠DCP，故①正确；
在△PAK和△PCD中，
∴△PAK≌△PCD（ASA），
∴AK=CD，PA=PC，故②正确；
∴BK-AB=BC-BD，
∴BD-AB=BC-BD，
∴AB+BC=2BD，故③正确；
∵∠APC+∠CAP+∠PCA=180°，∠APC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=∠CAP+∠PCA，
∵PA=PC，
∴，
又∵BN为∠MBC的角平分线，
∴∠ABP=∠ABC，
∴∠CAP=∠ABP，故④正确；
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），
∴S△BPK=S△BPD，S△APK=S△PDC，
∴S四边形ABCP=S四边形KBDP=2S△PBD．故⑤正确．
综上可得：①②③④⑤均正确．
故选：A．
【分析】 过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：去分母得：3x+4y=2，
解得：y= = .
故答案为：
【分析】方程将x看做已知数求出y即可．
12．【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：将 代入方程3mx-y=1得：
3m×1-8=1
3m-8=1
3m=9
解得：m=3
故答案为：3.
【分析】将 代入方程3mx-y=1中即可求出答案.
13．【答案】x>2
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据点P(x-1，4-2x)在第四象限可知：解得即x>2
故答案为：x>2.
【分析】根据第四象限横纵坐标的正负情况可得：求出x的取值范围的交集即可.
14．【答案】5【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：该三角形底边长=20-2m，根据三角形三边关系得：
解得：即5故答案为：5【分析】根据三角形三边关系：①两边之和大于第三边②两边之差小于第三边，列出不等式组，求出m的取值范围即可.
15．【答案】7
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据3，5，4，5，6，x，5，它的平均数是5可求得这组数据之和：即5×7=35，然后可求x的值=35-3-5-4-5-6-5=7.
故答案为：7.
【分析】先求出这组数据之和，然后根据它们的和减去这几个数从而求出x的值即可.
16．【答案】26
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x名学生，则共有（3x+8）本书，即
解得：
根据题意，学生人数x为正整数.
∴x=6
∴书的总数=3×6+8=26（本）
故答案为：26.
【分析】首先设有x名学生，然后根据已知条件列出不等式组，求出x的取值范围，由于实际情况学生人数应为正整数，最后求出x=6，根据学生人数求出书的总数即可.
17．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=15cm，BC=12cm.
∴AC=
又∵CD：BD=1：2，BC=12cm.
∴BD=12×=8
∴△ABD的面积=
故答案为：36.
【分析】根据勾股定理先求出AC的长，然后根据CD：BD=1：2，BC=12cm.求出BD的长，最后根据三角形面积公式求出△ABD的面积即可.
18．【答案】85°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，延长AF交BD于G.
∵∠BED =100°
∴∠B+∠BDE = 80°
∵∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC = 90°
∴2∠B+∠BDE+∠BAC=170°
∵AF、DF分别平分∠BAC、∠BDE
∴∠BAC= 2∠BAG，∠BDE=2∠FDB
∵∠AFD= ∠AGD + ∠FDB，∠AGD= ∠B+ ∠BAG
∴∠AFD= ∠B+∠BAG+∠BDF =∠B+∠BAC+∠BDE= 85°
故答案为：85°.
【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义即可求出∠AFD的度数.
19．【答案】20
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，∠ABC为锐角，如图：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠CBF=∠CAD，
在△BDF和△ADC中，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴BC=BD+DC=AD+DC=5+3=8，
∴S△ABC=AD BC=×5×8=20；
②△ABC为钝角三角形时，∠ABC为锐角，如图：
∴BF=
√ 34
，
设BC=x，
∵∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴
∵∠BDF=∠BEC=90°，∠FBD=∠CBE，
∴△BFD∽△BCE，
∴
解得
解得：x1=2，x2=0（不合题意舍去），
∴BC=2，
∴S△ABC=AD BC=×5×2=5；
综上所述：△ABC的面积为20或5；
故答案为：20或5．
【分析】分两种情况：①△ABC为锐角三角形时，由题意先证明△BDF≌△ADC，得出BD=AD，求出BC的长，即可得出结果．②△ABC为钝角三角形时，证得△ACD∽△BCE，列出比例式，再证得△BFD∽△BCE，列出比例式，转化为方程求解．
20．【答案】
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过A作AI⊥BF于I，作AJ⊥CD于J，过E作EH⊥AD于H，
∴∠AIB=∠AJE=90°，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠CEA=∠CBA，
∴∠AED=∠ABI，
∵AB=AE，
∴△ABI≌△AEJ（AAS），
∴AI=AJ，
∵S△ABF，S△AED，且BF=2ED，
∴S△ABF=2S△AED，
∵S△ABF=7，
∴S△AED
∵AE平分∠BAD，EG⊥AB，EH⊥AD，
∴EH=EG=2，
∴S△AED
【分析】首先作辅助线，证明出△DHE∽△FNB，得出FN=2DM，由三角形ABF的面积等于7，得出AE×DH=7，然后证明△AGE∽△AHD，即可求出AD的长.
21．【答案】（1）解：，由①，得x=3-y，将x=3-y代入②，得3（3-y)-2y=4，解得y=1，将y=1代入x=3-y，得x=2，故方程组的解为.
（2）解：，由①，得3m+2n=30③，由②，得12m-5n=3④，③×4，得12m+8n=120⑤，⑤-④，得13n=117，解得n=9，将n=9代入③，得3m+18=30，解得m=4.故方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用代入消元或加减消元法，即可解出该方程组，求出x和y的值.
（2）首先先整理该方程组，然后利用代入消元或加减消元即可求出m，n的值.
22．【答案】（1）解：去分母，得x-2-2(x-1)<2，去括号，得x-2-2x+2<2，移项，得x-2x<2+2-2，合并同类项，得-x<2，即x>-2，所以不等式的解集为x>-2.
（2）解：，解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x<4.
所以不等式组的解为x≤1.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，按照步骤求出x的取值范围即可.
（2）解不等式组时，首先先分别求出各不等式中x的取值范围，最后找出它们的交集即可.
23．【答案】
（1）解：见解析：
（2）解：作图见解析：四边形ADCE的面积为5.
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： （1）AD如图所示，
（2）如图所示，线段AE，CE即为所求；
四边形ADCE的面积，
故答案为：5．
【分析】（1）根据图中三角形ABC可得，只需在线段BC上找出D点使CD=2BD，连接AD，三角形ACD即为所求.
（2）根据平行四边形的性质，以AC为公共边分别画出与AB相等且平行的边CE，与BC边平行且相等的边AE形成一个平行四边形，然后根据图像直接写出四边形ADCE的面积即可
24．【答案】（1）证明：∵AF∥DE，
∴∠FAC=∠ADE，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB，
在△ACF和△DBE中，
，
∴△ACF≌△DBE（SAS），
∴∠ACF=∠DBE，
∴BE∥CF.
（2）解：△ABG≌△DCH；△AOF≌△DOE；△EGF≌△FHE；△BOE≌△COF
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）用倒推法，首先看问题，让我们求证：BE//CF，观察图像可知：只需证明：∠DBE=∠ACF即可，由此可知：我们只需证明：，根据全等三角形的判定定理再结合题中所给条件，根据AF//DE得出：∠A=∠D，由AB=CD可得出：AC=BD，又已知AF=DE，根据SAS即可证明出，由此即可得出：∠DBE=∠ACF（内错角相等，两直线平行），从而得出结论：BE//CF.
（2）根据全等三角形的判定定理再结合图2写出所有的全等三角形即可.
25．【答案】（1）解：5+15+20+10=50
答：一共调查了50户居民
（2）4；4
（3）解：
答：用样本估计总体得，该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是11100个26.
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(2)这组数据的中位数：（4+4）÷2=4个；因为丢弃2个塑料袋的有5户，丢弃3个塑料袋的有15户，丢弃4个塑料袋的有20户，丢弃5个塑料袋的有10户，所以这组数据的众数为：4个.
故答案为：4，4.
【分析】（1）这组数据共调查了居民总户数根据条形统计图进行计算.
（2）根据中位数的定义：一组数据按照从小到大的顺序依次排列处在中间位置的数为中位数，这组数据共有50个，那么中位数为：第25个和第26个数据之和的平均数，根据众数的定义：一组数据按照从小到大的顺序依次排列出现次数最多的数据为众数.
（3）用样本估计整体，先算出每户居民平均每天丢弃垃圾袋的数量再乘以3000即可求出答案.
26．【答案】（1）解：设甲车间每天生产x件A种产品，乙车间每天生产y件B种产品，
依题意得：，
解得：．
答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品．
（2）解：设海岚公司购进m件B种产品，则购进（80﹣m）件A种产品，
依题意得：200（80﹣m）+180m≤15088，
解得：m≥45.6，
∵m为整数，
∴m可以取的最小值为46．
答：海岚公司购进B种产品至少46件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组求实际问题，一次函数的性质.
（1）设甲车间每天生产x件A种产品，乙车间每天生产y件B种产品，根据题意的等量关系可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组可求出答案；
（2）设海岚公司购进m件B种产品，则购进（80﹣m）件A种产品，根据总价＝单价×数量，再结合题意，可列出关于m的一元一次不等式200（80﹣m）+180m≤15088，解不等式，再取其中的最小整数值可得求出答案．
27．【答案】（1）BE=EF+CF
（2）结论：BE=EF+CF
理由：∵∠BAC=90°
∴∠CAF+∠BAE=90°
又∵BEAF，CFAF
∴∠BEA=∠AFC=90°，∠ABE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF
又∵AB=AC
∴在△ABE和△ACF中
∴△ABE△CAF(AAS)
∴AE=CF，BE=AF
∵AF=AE+EF
（3）解：根据（2）可知：BE=CF+EF=6+6=12
解得：EG=3
∴GH=
因此，GH的长为5.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：∵BEEF，CFEF
∴BE∥CF，∠ABE+∠BAE=90°，∠ACF+∠CAF=90°
∴∠EBC+∠FCB=180°
又∵∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠ABC+∠ACB=90°
∴（∠EBC-∠ABC）+（∠FCB-∠ACB）=90°
即∠ABE+∠ACF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°，∠ABE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF，∠ACF=∠BAE
又∵AB=AC
∴在△ABE和△ACF中
∴△ABE△CAF（ASA）
∴AE=CF，AF=BE
∵EF=AF+AE
∴EF=BE+CF
故答案为：EF=BE+CF.
【分析】（1）首先通过(ASA或AAS)证明出△ABE△CAF，进而得出AE=CF，BE=AF，从而得出EF=AE+AF，由此即可得出结论：EF=BE+CF.
(2)首先，根据问题和图像可知，要想求证BE=EF+CF，只需求证BE=AF，AE=CF，由此只需求证：
△ABE△CAF，要想求证△ABE△CAF，已知：AB=AC，∠AEB=∠CFA=90°，只需证明∠ABE=∠CAF即可，根据∠BAC=90°可得：∠BAE+∠CAF=90°，又已知∠AEB=90°，即可得到∠ABE+∠BAE=90°，所以即可得出∠ABE=∠CAF，根据以上条件可通过(AAS)证明△ABE△CAF.
(3)先求出BE的长，根据BE=CF+EF=6+6=12，然后根据S△AGH和S△ABH的比值求出EG的长，最后根据勾股定理求出GH的长.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2023-2024学年八年级上册数学暑假学情检测试卷
1．（2023八上·哈尔滨开学考）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）.
A．3x-2y=4z B．6xy+9=0 C． D．5x+y=2
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：
A、含有三个未知数x，y，z 故A不符合题意；
B、含xy项的次数为2，故B不符合题意；
C、分母含有未知数，是分式方程而不是整式方程，故C不符合题意；
D、只含有两个未知数，且含未知数项的最高次数为1的整式方程才是一元二次方程，故D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程的定义，利用排除法即可得出答案.
2．（2023八上·哈尔滨开学考）若aA．a-1【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A、不等式的两边都加上或减去同一个数，不等式方向不变，A正确；
B、不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等式方向不变，B 正确；
C、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等式方向改变，C 正确；
D、当a=-3，b=1时，则故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质利用排除法即可得出答案.
3．（2023八上·哈尔滨开学考）已知 是方程ax-y=5的一个解，那么a的值为（ ）.
A．-2 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把 代入方程得2a-1=5，
解得a=3
故答案为：C.
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值.
4．（2023八上·哈尔滨开学考）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由多边形内角和公式及多边形的外角和等于360°可得：，解得n=4.
故答案为：B.
【分析】本题主要考察多边形内角和公式：，多边形外角和恒等于360°.
5．（2023八上·哈尔滨开学考）下列各组线段不能构成三角形的是（ ）.
A．3cm，5cm，7cm B．4cm，5cm，6cm
C．6cm，8cm，15cm D．8cm，9cm，15cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：因为6cm+8cm＜15cm；不满足三角形三边数量关系，故C选项错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
6．（2023八上·哈尔滨开学考）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数(单位：分)及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 1 1.2 1 1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由于乙，丙组的平均数大于甲，丁组，故排除A，D选项，又因为丙组的方差小于乙组，所以丙组的成绩比乙组成绩稳定，故排除B选项.
故答案为：C.
【分析】平均数大小能反应成绩高低，而方差反映的一组数据的波动水平，方差越小，数据越稳定，用排除法选出正确答案即可.
7．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．
【解答】已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，
加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．
8．（2023八上·哈尔滨开学考）若不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1，则a必满足（ ）
A．a<0 B．a>-1 C．a<-1 D．a<1
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： 如果不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1，那么a+1<0，即a<-1.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质：两边同乘或时除以一个负数，不等号的方向改变，即可得出答案.
9．（2023八上·哈尔滨开学考）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该商品的售价为x元.
x-800≥800×0.2
x-800≥160
解得x≥960
960÷1200=0.8
故答案为：C.
【分析】先设售价为x，根据：利润=售价-进价，列出方程，然后再根据：折扣=售价÷标价，求出折扣即可.
10．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，BN为∠MBC的角平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，∠APC+∠ABC=180°，给出下列结论：①∠MAP=∠BCP；②PA=PC；③AB+BC=2BD；④连接AC，则∠CAP=∠ABP；⑤四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍。其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PK⊥AB，垂足为点K．连接AC，
∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP=∠CBP，
∴PK=PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，
∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），
∴BK=BD，
∵∠APC+∠ABC=180°，且∠ABC+∠KPD=180°，
∴∠KPD=∠APC，
∴∠APK=∠CPD，
∵∠AKP=∠CDP=90°，
∴∠KAP=∠DCP，故①正确；
在△PAK和△PCD中，
∴△PAK≌△PCD（ASA），
∴AK=CD，PA=PC，故②正确；
∴BK-AB=BC-BD，
∴BD-AB=BC-BD，
∴AB+BC=2BD，故③正确；
∵∠APC+∠CAP+∠PCA=180°，∠APC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=∠CAP+∠PCA，
∵PA=PC，
∴，
又∵BN为∠MBC的角平分线，
∴∠ABP=∠ABC，
∴∠CAP=∠ABP，故④正确；
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），
∴S△BPK=S△BPD，S△APK=S△PDC，
∴S四边形ABCP=S四边形KBDP=2S△PBD．故⑤正确．
综上可得：①②③④⑤均正确．
故选：A．
【分析】 过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．
11．（2023八上·哈尔滨开学考）把方程 改写成用含 的式子表示 的形式为 .
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：去分母得：3x+4y=2，
解得：y= = .
故答案为：
【分析】方程将x看做已知数求出y即可．
12．（2023八上·哈尔滨开学考）已知是方程3mx-y=1的解，则m的值为 .
【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：将 代入方程3mx-y=1得：
3m×1-8=1
3m-8=1
3m=9
解得：m=3
故答案为：3.
【分析】将 代入方程3mx-y=1中即可求出答案.
13．（2023八上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，若点P(x-1，4-2x)在第四象限，则x的取值范围是 .
【答案】x>2
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据点P(x-1，4-2x)在第四象限可知：解得即x>2
故答案为：x>2.
【分析】根据第四象限横纵坐标的正负情况可得：求出x的取值范围的交集即可.
14．（2023八上·哈尔滨开学考）等腰三角形的周长为20，腰长m的取值范围是 .
【答案】5【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：该三角形底边长=20-2m，根据三角形三边关系得：
解得：即5故答案为：5【分析】根据三角形三边关系：①两边之和大于第三边②两边之差小于第三边，列出不等式组，求出m的取值范围即可.
15．（2023八上·哈尔滨开学考）一组数据3，5，4，5，6，x，5，它的平均数是5，则x= .
【答案】7
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据3，5，4，5，6，x，5，它的平均数是5可求得这组数据之和：即5×7=35，然后可求x的值=35-3-5-4-5-6-5=7.
故答案为：7.
【分析】先求出这组数据之和，然后根据它们的和减去这几个数从而求出x的值即可.
16．（2023八上·哈尔滨开学考）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本：如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，则这些书一共有 本.
【答案】26
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x名学生，则共有（3x+8）本书，即
解得：
根据题意，学生人数x为正整数.
∴x=6
∴书的总数=3×6+8=26（本）
故答案为：26.
【分析】首先设有x名学生，然后根据已知条件列出不等式组，求出x的取值范围，由于实际情况学生人数应为正整数，最后求出x=6，根据学生人数求出书的总数即可.
17．（2023八上·哈尔滨开学考）如上图，在△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=12cm，CD：BD=1：2，AB=15cm，则△ABD的面积是 cm2.
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=15cm，BC=12cm.
∴AC=
又∵CD：BD=1：2，BC=12cm.
∴BD=12×=8
∴△ABD的面积=
故答案为：36.
【分析】根据勾股定理先求出AC的长，然后根据CD：BD=1：2，BC=12cm.求出BD的长，最后根据三角形面积公式求出△ABD的面积即可.
18．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，AC⊥BD，AF平分∠BAC，DF平分∠EDB，∠BED=100°，则∠F的度数为 .
【答案】85°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，延长AF交BD于G.
∵∠BED =100°
∴∠B+∠BDE = 80°
∵∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC = 90°
∴2∠B+∠BDE+∠BAC=170°
∵AF、DF分别平分∠BAC、∠BDE
∴∠BAC= 2∠BAG，∠BDE=2∠FDB
∵∠AFD= ∠AGD + ∠FDB，∠AGD= ∠B+ ∠BAG
∴∠AFD= ∠B+∠BAG+∠BDF =∠B+∠BAC+∠BDE= 85°
故答案为：85°.
【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义即可求出∠AFD的度数.
19．（2023八上·哈尔滨开学考）在△ABC中，∠ABC为锐角，△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，若BF=AC，AD=5，DC=3，则△ABC的面积是 .
【答案】20
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，∠ABC为锐角，如图：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠CBF=∠CAD，
在△BDF和△ADC中，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴BC=BD+DC=AD+DC=5+3=8，
∴S△ABC=AD BC=×5×8=20；
②△ABC为钝角三角形时，∠ABC为锐角，如图：
∴BF=
√ 34
，
设BC=x，
∵∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴
∵∠BDF=∠BEC=90°，∠FBD=∠CBE，
∴△BFD∽△BCE，
∴
解得
解得：x1=2，x2=0（不合题意舍去），
∴BC=2，
∴S△ABC=AD BC=×5×2=5；
综上所述：△ABC的面积为20或5；
故答案为：20或5．
【分析】分两种情况：①△ABC为锐角三角形时，由题意先证明△BDF≌△ADC，得出BD=AD，求出BC的长，即可得出结果．②△ABC为钝角三角形时，证得△ACD∽△BCE，列出比例式，再证得△BFD∽△BCE，列出比例式，转化为方程求解．
20．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，且AB=AE，CBA=∠D+BAD过点E作EG⊥AB，垂足为G.延长BC和AE交于点F，若BF：ED=2：1，EG=2，三角形ABF的面积为7，则AD= .
【答案】
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过A作AI⊥BF于I，作AJ⊥CD于J，过E作EH⊥AD于H，
∴∠AIB=∠AJE=90°，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠CEA=∠CBA，
∴∠AED=∠ABI，
∵AB=AE，
∴△ABI≌△AEJ（AAS），
∴AI=AJ，
∵S△ABF，S△AED，且BF=2ED，
∴S△ABF=2S△AED，
∵S△ABF=7，
∴S△AED
∵AE平分∠BAD，EG⊥AB，EH⊥AD，
∴EH=EG=2，
∴S△AED
【分析】首先作辅助线，证明出△DHE∽△FNB，得出FN=2DM，由三角形ABF的面积等于7，得出AE×DH=7，然后证明△AGE∽△AHD，即可求出AD的长.
21．（2023八上·哈尔滨开学考）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，由①，得x=3-y，将x=3-y代入②，得3（3-y)-2y=4，解得y=1，将y=1代入x=3-y，得x=2，故方程组的解为.
（2）解：，由①，得3m+2n=30③，由②，得12m-5n=3④，③×4，得12m+8n=120⑤，⑤-④，得13n=117，解得n=9，将n=9代入③，得3m+18=30，解得m=4.故方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用代入消元或加减消元法，即可解出该方程组，求出x和y的值.
（2）首先先整理该方程组，然后利用代入消元或加减消元即可求出m，n的值.
22．（2023八上·哈尔滨开学考）
（1）解不等式
（2）解不等式组
【答案】（1）解：去分母，得x-2-2(x-1)<2，去括号，得x-2-2x+2<2，移项，得x-2x<2+2-2，合并同类项，得-x<2，即x>-2，所以不等式的解集为x>-2.
（2）解：，解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x<4.
所以不等式组的解为x≤1.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，按照步骤求出x的取值范围即可.
（2）解不等式组时，首先先分别求出各不等式中x的取值范围，最后找出它们的交集即可.
23．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，图中网格是由边长为1的小正方形组成的，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上.
（1）在网格中只画一条线段AD(点D在BC上），使△ACD的面积是△ABD面积的2倍；
（2）在⑴画出AD的图形中再画线段AE，CE，使△CEA≌△ABC，直接写出四边形ADCE的面积为 .
【答案】
（1）解：见解析：
（2）解：作图见解析：四边形ADCE的面积为5.
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： （1）AD如图所示，
（2）如图所示，线段AE，CE即为所求；
四边形ADCE的面积，
故答案为：5．
【分析】（1）根据图中三角形ABC可得，只需在线段BC上找出D点使CD=2BD，连接AD，三角形ACD即为所求.
（2）根据平行四边形的性质，以AC为公共边分别画出与AB相等且平行的边CE，与BC边平行且相等的边AE形成一个平行四边形，然后根据图像直接写出四边形ADCE的面积即可
24．（2023八上·哈尔滨开学考）已知：点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别位于直线AD的两侧，AF=DE，AB=CD，AF//DE，
（1）如图1，求证：BE//CF
（2）如图2，连接EF，交AD于点O，延长EB交AF于点G，延长FC交DE于点H，请直接写出图2中所有的全等的三角形(不包含(1)中的全等三角形)。
【答案】（1）证明：∵AF∥DE，
∴∠FAC=∠ADE，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB，
在△ACF和△DBE中，
，
∴△ACF≌△DBE（SAS），
∴∠ACF=∠DBE，
∴BE∥CF.
（2）解：△ABG≌△DCH；△AOF≌△DOE；△EGF≌△FHE；△BOE≌△COF
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）用倒推法，首先看问题，让我们求证：BE//CF，观察图像可知：只需证明：∠DBE=∠ACF即可，由此可知：我们只需证明：，根据全等三角形的判定定理再结合题中所给条件，根据AF//DE得出：∠A=∠D，由AB=CD可得出：AC=BD，又已知AF=DE，根据SAS即可证明出，由此即可得出：∠DBE=∠ACF（内错角相等，两直线平行），从而得出结论：BE//CF.
（2）根据全等三角形的判定定理再结合图2写出所有的全等三角形即可.
25．（2023八上·哈尔滨开学考）为保护环境，增强居民环保意识，某校七年级(1)班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，统计结果的条形统计图如下：
根据统计图，请回答下列问题：
（1）这组数据共调查了居民有多少户
（2）这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是 个，众数是 个，
（3）该校所在的居民区约有3000户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少
【答案】（1）解：5+15+20+10=50
答：一共调查了50户居民
（2）4；4
（3）解：
答：用样本估计总体得，该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是11100个26.
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(2)这组数据的中位数：（4+4）÷2=4个；因为丢弃2个塑料袋的有5户，丢弃3个塑料袋的有15户，丢弃4个塑料袋的有20户，丢弃5个塑料袋的有10户，所以这组数据的众数为：4个.
故答案为：4，4.
【分析】（1）这组数据共调查了居民总户数根据条形统计图进行计算.
（2）根据中位数的定义：一组数据按照从小到大的顺序依次排列处在中间位置的数为中位数，这组数据共有50个，那么中位数为：第25个和第26个数据之和的平均数，根据众数的定义：一组数据按照从小到大的顺序依次排列出现次数最多的数据为众数.
（3）用样本估计整体，先算出每户居民平均每天丢弃垃圾袋的数量再乘以3000即可求出答案.
26．（2023八上·哈尔滨开学考）某机械厂为生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产，甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同.
（1）求甲车间每天生产多少件A种产品 乙车间每天生产多少件B种产品
（2）该机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元.现有公司需一次性购买A、B两种产品共80件且按出厂价购买A、B两种产品的费用不 超过15080元，则该公司购进B种产品至少多少件
【答案】（1）解：设甲车间每天生产x件A种产品，乙车间每天生产y件B种产品，
依题意得：，
解得：．
答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品．
（2）解：设海岚公司购进m件B种产品，则购进（80﹣m）件A种产品，
依题意得：200（80﹣m）+180m≤15088，
解得：m≥45.6，
∵m为整数，
∴m可以取的最小值为46．
答：海岚公司购进B种产品至少46件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组求实际问题，一次函数的性质.
（1）设甲车间每天生产x件A种产品，乙车间每天生产y件B种产品，根据题意的等量关系可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组可求出答案；
（2）设海岚公司购进m件B种产品，则购进（80﹣m）件A种产品，根据总价＝单价×数量，再结合题意，可列出关于m的一元一次不等式200（80﹣m）+180m≤15088，解不等式，再取其中的最小整数值可得求出答案．
27．（2023八上·哈尔滨开学考）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F。
（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是 ；
（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；
（3）在(2)的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，S ABH：SAGH=4：1，求GH的长.
【答案】（1）BE=EF+CF
（2）结论：BE=EF+CF
理由：∵∠BAC=90°
∴∠CAF+∠BAE=90°
又∵BEAF，CFAF
∴∠BEA=∠AFC=90°，∠ABE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF
又∵AB=AC
∴在△ABE和△ACF中
∴△ABE△CAF(AAS)
∴AE=CF，BE=AF
∵AF=AE+EF
（3）解：根据（2）可知：BE=CF+EF=6+6=12
解得：EG=3
∴GH=
因此，GH的长为5.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：∵BEEF，CFEF
∴BE∥CF，∠ABE+∠BAE=90°，∠ACF+∠CAF=90°
∴∠EBC+∠FCB=180°
又∵∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠ABC+∠ACB=90°
∴（∠EBC-∠ABC）+（∠FCB-∠ACB）=90°
即∠ABE+∠ACF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°，∠ABE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF，∠ACF=∠BAE
又∵AB=AC
∴在△ABE和△ACF中
∴△ABE△CAF（ASA）
∴AE=CF，AF=BE
∵EF=AF+AE
∴EF=BE+CF
故答案为：EF=BE+CF.
【分析】（1）首先通过(ASA或AAS)证明出△ABE△CAF，进而得出AE=CF，BE=AF，从而得出EF=AE+AF，由此即可得出结论：EF=BE+CF.
(2)首先，根据问题和图像可知，要想求证BE=EF+CF，只需求证BE=AF，AE=CF，由此只需求证：
△ABE△CAF，要想求证△ABE△CAF，已知：AB=AC，∠AEB=∠CFA=90°，只需证明∠ABE=∠CAF即可，根据∠BAC=90°可得：∠BAE+∠CAF=90°，又已知∠AEB=90°，即可得到∠ABE+∠BAE=90°，所以即可得出∠ABE=∠CAF，根据以上条件可通过(AAS)证明△ABE△CAF.
(3)先求出BE的长，根据BE=CF+EF=6+6=12，然后根据S△AGH和S△ABH的比值求出EG的长，最后根据勾股定理求出GH的长.
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