1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
【学习目标】
1. 类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题，了解共面向量的定义，理解共面向量的充要条件．
2. 利用共面向量的充要条件证明有关线面平行和点共面的简单问题．
【学习活动】
活动一 空间共面向量的定义及判定
1. 知识回顾
(1)平面向量中共线向量的定义及判定：
(2) 空间向量中共线向量的定义及判定方法：
2. 探究空间共面向量的概念及判定方法
思考1
由于向量是自由移动的，你认为如何定义共面向量？
思考2
你能由平面向量基本定理推广到空间向量共面的充要条件吗？
【小结】
共线(平行)向量 共面向量
定义 若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
活动二 理解共线向量与共面向量的概念
例1 下列说法中，正确的是( )
A. 平面内的任意两个向量都共线 B. 空间的任意三个向量都不共面
C. 空间的任意两个向量都共面 D. 空间的任意三个向量都共面
例2 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使＝＝＝＝k.求证：E，F，G，H四点共面．
例3 设空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足向量关系＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1).试问：P，A，B，C四点是否共面？
【跟踪训练】 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A. ＝＋＋ B. ＝2－－
C. ＝＋＋ D. ＝＋＋
【小结】
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y或对空间内任意一点O有＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1).
【检测反馈】
1. 给出下列命题：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知i与j不共线，则“存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj”是“i，j，k共面”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. (多选)下列命题中，不正确的是( )
A. 若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
B. “|a|－|b|＝|a＋b|”是“a，b共线”的充要条件
C. 若a，b共线，则a与b所在直线平行
D. 对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
4. (2024常州新北月考)已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足＝－2＋5＋λ，则λ＝________．
5. 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：BD∥平面EFGH；
(2) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有＝(＋＋＋).
【参考答案与解析】
1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
【活动方案】
1. 知识回顾略
思考1：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
思考2：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
例1 C 共线向量的方向相同或相反，故A不正确；空间的任意三个向量都不共面，显然不正确，例如一个零向量，两个非零向量，即是共面向量，故B不正确；空间任意两个向量共面，故C正确；在正方体顶点处与三条边分别共线的3个单位向量，不是共面向量，故D不正确．
例2 因为＝＝＝＝k，
所以＝k，＝k，＝k，＝k.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋，
则＝－＝k－k＝k＝k(＋)＝k(－＋－)＝－＋－＝＋.
由向量共面的充要条件可知，，，共面．
又，，过同一点E，
所以E，F，G，H四点共面．
例3 P，A，B，C四点共面，理由如下：
因为＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，
所以＝(1－y－z)＋y＋z，
即＝y＋z.
由A，B，C三点不共线，知，不共线，
所以，，共面，且有公共起点A，
所以P，A，B，C四点共面．
跟踪训练 D 由共面向量定理 ＝m ＋n ＋p，m＋n＋p＝1，则M，A，B，C四点共面，可以判断A，B，C都是错误的，D正确．
【检测反馈】
1. A 对于①，若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线可能平行，也可能重合，故①错误；对于②，因为向量可以平移，所以两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量必定共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系x轴，y轴，z轴的单位向量，它们不共面，故③错误；对于④，当a，b共线时，显然a，b，c共面，所以xa＋yb＋zc只能表示和a，b，c共面的向量，对于空间中的任意向量p则不一定成立，故④错误．故正确命题的个数为0.
2. A 若i与j不共线，且存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj，则由共面向量定理，知i，j，k共面，即充分性成立；若k与i，j共面，则存在唯一的一对实数m，n使k＝mi＋nj，但m，n不一定为非零常数，即必要性不成立，故选A.
3. BCD 对于A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，A正确；对于B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，当a，b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|，即必要性不成立，故B错误；对于C，根据共线向量的定义可知，a，b所在直线可能重合，故C错误；对于D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x＋y＋z＝1，才有P，A，B，C四点共面，故D错误．故选BCD.
4. －2 因为A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，所以－2＋5＋λ＝1，解得λ＝－2.
5. (1) 在△ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，
所以EH为△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且EH＝BD，
因为HE 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(2) 由(1)知EH∥BD，且EH＝BD，
同理在△CBD中，可得FG∥BD，且FG＝BD，
所以EH∥FG，且EH＝FG，
所以四边形EFGH为平行四边形，
所以M为EG的中点．
因为E，G分别是AB，CD的中点，
所以＝(＋)＝[(＋)＋(＋)]＝(＋＋＋).(共26张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题，了解共面向量的定义，理解共面向量的充要条件．
2. 利用共面向量的充要条件证明有关线面平行和点共面的简单问题．
活 动 方 案
活动一 空间共面向量的定义及判定
1. 知识回顾
(1)平面向量中共线向量的定义及判定：
【解析】 略
(2) 空间向量中共线向量的定义及判定方法：
【解析】 略
【解析】 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2. 探究空间共面向量的概念及判定方法
思考1
由于向量是自由移动的，你认为如何定义共面向量？
思考2
你能由平面向量基本定理推广到空间向量共面的充要条件吗？
【解析】 向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
共线(平行)向量 共面向量
定义 若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
例1 下列说法中，正确的是( )
A. 平面内的任意两个向量都共线
B. 空间的任意三个向量都不共面
C. 空间的任意两个向量都共面
D. 空间的任意三个向量都共面
活动二 理解共线向量与共面向量的概念
【解析】 共线向量的方向相同或相反，故A不正确；空间的任意三个向量都不共面，显然不正确，例如一个零向量，两个非零向量，即是共面向量，故B不正确；空间任意两个向量共面，故C正确；在正方体顶点处与三条边分别共线的3个单位向量，不是共面向量，故D不正确．
【答案】 C
已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
【答案】 D
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
1. 给出下列命题：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
2
4
5
1
3
【解析】 对于①，若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线可能平行，也可能重合，故①错误；对于②，因为向量可以平移，所以两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量必定共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系x轴，y轴，z轴的单位向量，它们不共面，故③错误；对于④，当a，b共线时，显然a，b，c共面，所以xa＋yb＋zc只能表示和a，b，c共面的向量，对于空间中的任意向量p则不一定成立，故④错误．故正确命题的个数为0.
【答案】 A
2
4
5
1
3
【解析】 若i与j不共线，且存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj，则由共面向量定理，知i，j，k共面，即充分性成立；若k与i，j共面，则存在唯一的一对实数m，n使k＝mi＋nj，但m，n不一定为非零常数，即必要性不成立，故选A.
2. 已知i与j不共线，则“存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj”是“i，j，k共面”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
2
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5
3
1
3. (多选)下列命题中，不正确的是( )
2
4
5
3
1
【解析】 对于A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，A正确；对于B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，当a，b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|，即必要性不成立，故B错误；对于C，根据共线向量的定义可知，a，b所在直线可能重合，故C错误；对于D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x＋y＋z＝1，才有P，A，B，C四点共面，故D错误．故选BCD.
【答案】 BCD
2
4
5
3
1
【解析】 因为A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，所以－2＋5＋λ＝1，解得λ＝－2.
【答案】 －2
2
4
5
3
1
5. 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：BD∥平面EFGH；
2
4
5
3
1
【解析】 (1) 在△ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，
所以EH为△ABD的中位线，
因为HE 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
2
4
5
3
1
所以EH∥FG，且EH＝FG，
所以四边形EFGH为平行四边形，
所以M为EG的中点．
因为E，G分别是AB，CD的中点，
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