1．1.2 空间向量的数量积运算
【学习目标】
1. 掌握空间向量夹角的概念及空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义．
2. 掌握投影向量的概念，能用向量的数量积解决立体几何问题．
【学习活动】
活动一 探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律
1. 复习巩固
(1) 平面向量的夹角的概念：
(2) 平面向量的数量积的概念及运算律：
2. 空间向量的数量积
类比平面向量，探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律．
(1) 空间向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
②范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别提醒：①向量的夹角与直线夹角范围的区别：两向量夹角的范围为[0，π]，两直线夹角的范围为；②当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向；当〈a，b〉＝时，a与b垂直，记作 a⊥b.
(2) 空间向量的数量积及运算律
①定义：已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
规定：零向量与任意向量的数量积都为0.
思考1
由向量的数量积的定义，可知两个非零空间向量a与b垂直的充要条件是什么？
思考2
由向量的数量积的定义，可知空间向量a的模的计算公式是什么？
思考3
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
②数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R )
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
思考4
(1) 对于三个均不为0的数a，b，c.若ab＝ac，则b＝c.对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，你能得到b＝c吗？如果不能，请举出反例；
(2) 对于三个均不为0的数a，b，c，若ab＝c，则a＝.对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成a＝的形式？
(3) 对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc)，对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？
活动二 空间向量的数量积的计算
例1 如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°.求：
(1) ·；
(2) AC′的长(精确到0.1).
【跟踪训练】 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1) ·；
(2) ·；
(3) ·；
(4) ·.
【反思感悟】
1. 已知a，b的模及a与b的夹角，要求a·b可直接代入数量积公式计算．
2. 如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
活动三 用数量积证明垂直问题
例2 如图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
【跟踪训练】 如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.
【反思感悟】
1. 证明线线、线面垂直的方法：
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
证明线面垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量和平面内任意两条不平行的直线的方向向量的数量积是否为0来判断线面是否垂直．
2. 证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
【检测反馈】
1. 已知空间向量a，b，c，则下列说法中正确的是( )
A. 若a∥b，b∥c，则a∥c B. 若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线
C. 若a·c＝b·c，则a＝b D. (a·b)·c＝(b·c)·a
2. 已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A. －6 B. 6 C. 3 D. －3
3. (多选)在四面体PABC中，下列说法中正确的有( )
A. 若＝＋，则＝3
B. 若Q为△ABC的重心，则＝＋＋
C. 若·＝0，·＝0，则·＝0
D. 若四面体PABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1
4. (2023沪县一中期中)已知|a|＝4，e为空间单位向量，〈a，e〉＝120°，则a在e方向上投影向量的模为________．
5. (2023台山一中期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为2，且两两夹角为60°.求：
(1) BD1的长；
(2) 与夹角的余弦值．
【参考答案与解析】
1．1.2 空间向量的数量积运算
【活动方案】
1. 略
思考1：a⊥b a·b＝0.
思考2：|a|＝＝＝＝.
思考3：如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉.向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 类似地，可以将向量a向直线l投影，如图2.
如图3，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′， B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
图1 图2 图3
思考4：(1) 由a·b＝a·c，根据数量积的定义，只能得到|b|cos 〈a，b〉＝|c|cos 〈a，c〉，即b与c在a上的投影向量的模相等，而不是b＝c.如在正方体中，同一定点处的三个向量两两垂直，显然a·b＝a·c＝0，但是其中的两个向量不可能相等．当然，反之结论正确．
(2) 由a·b＝k，不能写成a＝或b＝.因为式子与没有任何意义．
(3) 因为(a·b)c表示的是与c共线的向量，a(b·c)表示的是与a共线的向量，
所以一般情况下(a·b)c≠a(b·c).
例1 (1) ·＝||||cos 〈，〉＝5×3×cos 60°＝7.5.
(2) ||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝52＋32＋72＋2×(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)＝98＋56，
所以AC′≈13.3.
跟踪训练 (1) ·＝·
＝||||cos 〈，〉＝cos 60°＝.
(2) ·＝·＝||2＝.
(3) ·＝·
＝||||cos 〈，〉
＝cos 120°＝－.
(4) ·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos 〈，〉－||||·cos 〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
例2 在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行．
由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得
l·g＝xl·m＋yl·n.
因为l·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0，所以l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，
所以l⊥α.
跟踪训练 不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.
因为·＝(－)·＝·－·，
又·＝·(＋)＝·＝1，
·＝||·||cos 60°＝××＝1，
所以·＝0，即BD⊥AC.
因为BD⊥AD，AD∩AC＝A，AD 平面ADC，AC 平面ADC，
所以BD⊥平面ADC.
【检测反馈】
1. B 对于A，若b＝0，则a∥b，b∥c，不能得出a∥c，故A错误；对于B，|a·b|＝||a|·|b|cos 〈a，b〉|＝|a|·|b|，当a与b存在零向量时，a与b共线成立；当a与b均不为零向量时，|cos 〈a，b〉|＝1，则a，b的夹角为0°或180°，所以a与b共线，故B正确；对于C，若c＝0，则a·c＝b·c，不能得出a＝b，故C错误；对于D，(a·b)·c＝mc(m∈R)，(b·c)·a＝na(n∈R)，则(a·b)·c＝(b·c)·a不成立，故D错误．
2. B 由题意，得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，可得2k－12＝0，解得k＝6.
3. ABC 对于A，因为＝＋，所以3＝＋2，即2－2＝－，所以2＝，所以3＝＋，即3＝，故A正确；对于B，若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，所以3＋＋＋＝3，所以3＝＋＋，即＝＋＋，故B正确；对于C，若·＝0，·＝0，则·＋·＝0，所以·＋·(＋)＝0，所以·＋·＋·＝0，所以·＋·－·＝0，所以(－)·＋·＝0，所以·＋·＝0，所以·＋·＝0，所以·(＋)＝0，所以·＝0，故C正确；对于D，因为＝－＝(＋)－＝(＋－)，所以||＝|－－|.因为|－－|2＝||2＋||2＋||2－2·－2·＋2·＝22＋22＋22－2×2×2×－2×2×2×＋2×2×2×＝8，所以|－－|＝2，所以||＝，故D错误．故选ABC.
4. 2 由题意可知，a在e方向上投影向量的模为||a|·cos 〈a，e〉·e|＝|4cos 120°|＝2.
5. (1) 设＝a，＝b，＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝2×2×cos 60°＝2.
又＝＋＋＝－a＋c＋b，
所以||2＝(b＋c－a)2＝b2＋c2＋a2＋2b·c－2b·a－2c·a＝4＋4＋4＋4－4－4＝8，
所以||＝2，即BD1的长为2.
(2) 因为＝＋＝a＋b，
所以||2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋4＋4＝12，
所以||＝2.
又·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝a·b＋a·c－a2＋b2＋b·c－a·b＝4，
则cos 〈，〉＝＝＝，
即与夹角的余弦值为.(共38张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握空间向量夹角的概念及空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义．
2. 掌握投影向量的概念，能用向量的数量积解决立体几何问题．
活 动 方 案
活动一 探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律
1. 复习巩固
(1) 平面向量的夹角的概念：
【解析】 略
(2) 平面向量的数量积的概念及运算律：
【解析】 略
2. 空间向量的数量积
类比平面向量，探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律．
(1) 空间向量的夹角
②范围：0≤〈a，b〉≤π.
(2) 空间向量的数量积及运算律
①定义：已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任意向量的数量积都为0.
【解析】 a⊥b a·b＝0.
思考1
由向量的数量积的定义，可知两个非零空间向量a与b垂直的充要条件是什么？
思考2
由向量的数量积的定义，可知空间向量a的模的计算公式是什么？
思考3
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
②数量积的运算律
数乘向量与数 量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R )
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
思考4
(1) 对于三个均不为0的数a，b，c.若ab＝ac，则b＝c.对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，你能得到b＝c吗？如果不能，请举出反例；
【解析】 由a·b＝a·c，根据数量积的定义，只能得到|b|cos〈a，b〉＝|c|cos〈a，c〉，即b与c在a上的投影向量的模相等，而不是b＝c.如在正方体中，同一定点处的三个向量两两垂直，显然a·b＝a·c＝0，但是其中的两个向量不可能相等．当然，反之结论正确．
(3) 对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc)，对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？
【解析】 因为(a·b)c表示的是与c共线的向量，a(b·c)表示的是与a共线的向量，
所以一般情况下(a·b)c≠a(b·c)．
例1 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°.求：
活动二 空间向量的数量积的计算
如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
1. 已知a，b的模及a与b的夹角，要求a·b可直接代入数量积公式计算．
2. 如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
例2 如图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
活动三 用数量积证明垂直问题
【解析】 在平面α内作任意一条直线g，分别
在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，
所以向量m，n不平行．
由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g＝xl·m＋yl·n.
因为l·m＝0，l·n＝0，
所以l·g＝0，所以l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.
如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.
1. 证明线线、线面垂直的方法：
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
证明线面垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量和平面内任意两条不平行的直线的方向向量的数量积是否为0来判断线面是否垂直．
2. 证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
检 测 反 馈
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【解析】 对于A，若b＝0，则a∥b，b∥c，不能得出a∥c，故A错误；对于B，|a·b|＝||a|·|b|cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，当a与b存在零向量时，a与b共线成立；当a与b均不为零向量时，|cos〈a，b〉|＝1，则a，b的夹角为0°或180°，所以a与b共线，故B正确；对于C，若c＝0，则a·c＝b·c，不能得出a＝b，故C错误；对于D，(a·b)·c＝mc(m∈R)，(b·c)·a＝na(n∈R)，则(a·b)·c＝(b·c)·a不成立，故D错误．
1. 已知空间向量a，b，c，则下列说法中正确的是( )
A. 若a∥b，b∥c，则a∥c B. 若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线
C. 若a·c＝b·c，则a＝b D. (a·b)·c＝(b·c)·a
【答案】 B
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【解析】 由题意，得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，可得2k－12＝0，解得k＝6.
2. 已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A. －6 B. 6
C. 3 D. －3
【答案】 B
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3. (多选)在四面体PABC中，下列说法中正确的有( )
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【答案】 ABC
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【解析】 由题意可知，a在e方向上投影向量的模为||a|·cos〈a，e〉·e|＝|4cos120°|＝2.
4. (2023沪县一中期中)已知|a|＝4，e为空间单位向量，〈a，e〉＝120°，则a在e方向上投影向量的模为________.
【答案】 2
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5. (2023台山一中期中)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为2，且两两夹角为60°.求：
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