1．2 空间向量基本定理
1.2.1 空间向量基本定理(1)
1. 了解空间向量基本定理及其意义，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的．
2. 在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养．
活动一 探究空间向量基本定理
1. 知识回顾
(1) 平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________________.
(2) 特例：
回顾＝(＋)，＝λ＋(1－λ)的几何意义．
2. 探究空间向量基本定理
(1) 如果平面内任一向量都可以用该平面内的两个不共线的向量来线性表示，猜测一下空间中的任一向量应该用空间中的几个向量来表示？这几个向量之间存在什么关系？
(2) 若i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量p，则p如何用i，j，k这三个向量表示？
(3) 若以上的i，j，k是空间中的不共面向量，不一定两两垂直，则任一向量可以用它们来表示吗？
(4) 将你探究的结论分别用文字语言、符号语言、图形语言表示出来．
结论：
(1) 空间向量基本定理：
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
(2) 概念：
由此定理可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量都可由a，b，c线性表示，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量．
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示，则任一向量a，均可分解成xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
(3) 推论：
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.
活动二 空间向量基本定理的应用
例1 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 0个
已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
例2 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示.
先把空间向量放在平面OAN中，利用平面向量的基本定理，用与表示，再利用平面向量的基本定理用和表示，体现了空间问题平面化．
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1) 用向量a，b，c表示，；
(2) 若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
例3 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1) ；
(2) ；
(3) .
1. 若{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是( )
A. a B. b C. c D. 2a
2. (2024成都七中万达学校月考)如图，在三棱锥P-ABC中，点D满足＝4，＝x＋y＋z，则x－y＋z的值为( )
A. B.
C. 2 D.
3. (多选)(2023四川期中)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，空间的一个基底可能是( )
A. {，，} B. {，，}
C. {，，} D. {，，}
4. 在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E为AD上一点，且DE＝3AE，以为基底，则＝__________________．
5. (2023宜城一中月考)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1) ；
(2) ；
(3) .
【参考答案与解析】
1．2 空间向量基本定理
1．2.1 空间向量基本定理(1)
【活动方案】
1. (1) λ1e1＋λ2e2 (2) P为AB的中点；P，A，B三点共线．
2. (1) 3个，不共面． (2) p＝xi＋yj＋zk
(3) 可以 (4) 略
例1 B 作为空间向量的基底原则是不共面，而①中x＝a＋b，说明向量x与a，b共面，因而不能作为基底．②③均可以作为空间的基底．
跟踪训练 假设，，共面，则存在实数λ， μ使得＝λ＋μ，
所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
因为e1，e2，e3不共面，
所以此方程组无解，
所以，，不共面，
所以{，，}可以作为空间的一个基底．
例2 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋－
＝＋
＝＋＋.
跟踪训练 (1) ＝＋＝－＋－＝a－b－c.
＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c).
(2) ＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，
所以x＝，y＝－，z＝－1.
例3 (1) 因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b.
(2) 因为N是BC的中点，所以＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c.
(3) 因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.
【检测反馈】
1. C 不共面的向量可以作为基底，向量a，b，2a与向量m，n都是共面向量，不能构成空间的另一个基底．向量c与向量m，n不是共面向量，所以可以与m，n构成空间的另一个基底．
2. C 因为＝－＝＋－＝＋－＝－＋，所以x＝，y＝－1，z＝，故x－y＋z＝2.
3. BD 因为A，B，C，D四点共面，所以{，，}不可能是空间的一个基底，故A错误；因为∥，所以{，，}不可能是空间的一个基底，故C错误；，，不共面，，，不共面，故B，D正确．故选BD.
4. － － 因为 ＝ ＝( ＋ )， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋( － )＝ ＋，所以 ＝ － ＝ ＋ －( ＋ )＝ － －.
5. 如图，连接AC，AD′，AC′.
(1) ＝(＋)＝(＋＋)＝a＋b＋c.
(2) ＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c.
(3) ＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.(共31张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
1.2.1 空间向量基本定理(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 了解空间向量基本定理及其意义，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的．
2. 在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养．
活 动 方 案
活动一 探究空间向量基本定理
1. 知识回顾
(1) 平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________________.
【解析】 λ1e1＋λ2e2
(2) 特例：
【解析】 P为AB的中点；P，A，B三点共线．
【解析】 3个，不共面．
2. 探究空间向量基本定理
(1) 如果平面内任一向量都可以用该平面内的两个不共线的向量来线性表示，猜测一下空间中的任一向量应该用空间中的几个向量来表示？这几个向量之间存在什么关系？
(2) 若i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量p，则p如何用i，j，k这三个向量表示？
【解析】 p＝xi＋yj＋zk
【解析】 可以
(3) 若以上的i，j，k是空间中的不共面向量，不一定两两垂直，则任一向量可以用它们来表示吗？
(4) 将你探究的结论分别用文字语言、符号语言、图形语言表示出来．
【解析】 略
结论：
(1) 空间向量基本定理：
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
(2) 概念：
由此定理可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量都可由a，b，c线性表示，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量．
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示，则任一向量a，均可分解成xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
(3) 推论：
活动二 空间向量基本定理的应用
例1 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 0个
【解析】 作为空间向量的基底原则是不共面，而①中x＝a＋b，说明向量x与a，b共面，因而不能作为基底．②③均可以作为空间的基底．
【答案】 B
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
【解析】 不共面的向量可以作为基底，向量a，b,2a与向量m，n都是共面向量，不能构成空间的另一个基底．向量c与向量m，n不是共面向量，所以可以与m，n构成空间的另一个基底．
1. 若{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是( )
A. a B. b
C. c D. 2a
【答案】 C
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1
3
2
4
5
1
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【答案】 C
2
4
5
3
1
3. (多选)(2023四川期中)在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，空间的一个基底可能是( )
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【答案】 BD
2
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3
1
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
谢谢观看
Thank you for watching
