1．2.2 空间向量基本定理(2)
进一步理解空间向量基本定理，并能解决空间两直线的位置关系．
活动一 灵活运用空间向量基本定理
例1 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是CC1的中点，＝，且＝α＋β＋γ，则α＋β＋γ＝________．
空间一个向量要用基底表示时，要把这个向量进行拆分，尽量与基底向量有所联系，最后落实在平面内解决．
如图，在空间四边形OABC中，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝3，用向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________．
活动二 利用空间向量基本定理解决两直线的位置关系
例2 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1.
例3 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．
(1) 求证： EF∥AC；
(2) 求CE与AG所成角的余弦值．
由于空间任一向量可以用一组基底来表示，而直线又有方向向量，则根据向量之间的共线及垂直关系，可以解决空间内两条直线的位置关系．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.
(1) 设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求BC1的长；
(2) 求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点．求证：
(1) AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2) A1G⊥平面EFD.
1. 如图，在三棱锥A-BCD中，E是棱CD的中点，且＝，则等于( )
A. ＋－ B. ＋－
C. －5＋3＋3 D. ＋＋
2. 已知在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，∠BAD＝120°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝90°，则AC′的长为( )
A. 5 B. 5 C. D.
3. (多选)(2024芜湖期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是线段A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，且均为单位向量，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则下列说法中正确的是( )
A. 与的夹角为60°
B. ＝a＋b＋c
C. ||＝
D. ⊥
4. (2023洛阳第一高级中学期中)自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的体对角线AC1的长为________．
5. 如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c.
(1) 试用向量a，b，c表示向量；
(2) 求cos 〈，〉的值．
【参考答案与解析】
1．2.2 空间向量基本定理(2)
【活动方案】
例1 － 由题意，得＝＋＋＝－＋＝－＋＋＝－＋－＝－＋，故α＝，β＝－1，γ＝，所以α＋β＋γ＝－.
跟踪训练 因为＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋，所以＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋＋，所以x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝.
例2 设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，
则＝＋＝a－b，
＝＋＋＝a＋b＋c，
所以·＝·(a＋b＋c)＝a·a＋a·b＋a·c－b·a－b·b－b·c＝×42＋×42×cos 60°＋×4×5×cos 60°－×42×cos 60°－×42－×4×5×cos 60°＝0，
所以MN⊥AC1.
例3 (1) 设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底，
所以＝－＝i－j＝(i－j)，＝－＝i－j，
所以＝，所以EF∥AC.
(2) 因为＝＋＝－j＋k，＝＋＝－i＋k，
所以cos 〈，〉＝
＝＝，
所以CE与AG所成角的余弦值为.
跟踪训练1 (1) ＝＋＝＋－＝a＋c－b.
a·b＝|a|·|b|cos ∠BAA1＝1×1×cos 60°＝，同理可得a·c＝b·c＝，
所以||＝
＝＝.
(2) 因为＝a＋b，
所以||＝＝＝.
又·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c－a·b＋b·a＋c·b－b2＝1，
所以cos 〈，〉＝＝＝，
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
跟踪训练2 (1) 设正方体的棱长为1，＝i，＝j，＝k，
则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底，且＝＋＝i＋k，＝＋＝i＋k＝，
所以AB1∥GE.
因为＝＋＝k＋(i＋j)＝－i－j＋k，
所以·＝(i＋k)·＝－|i|2＋|k|2＝0，所以AB1⊥EH.
(2) 因为＝＋＋＝－k＋j＋i，
＝＋＝i－j，＝＋＝i＋k，
所以·＝·＝－|j|2＋|i|2＝0，
·＝·＝－|k|2＋|i|2＝0，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
又DE∩DF＝D，DE 平面EFD，DF 平面EFD，
所以A1G⊥平面EFD.
【检测反馈】
1. D 因为E是棱CD的中点，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
2. D 因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋2×3×4×cos 120°＋2×3×5×cos 60°＝50－12＋15＝53，则||＝.
3. BD 对于A，因为AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，所以∠ABC＝45°，所以与的夹角为135°，又＝，所以与的夹角为135°，故A错误；对于B，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，所以＝＋＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝＝(－)，所以＝－＝＋－(－)＝＋＋＝a＋b＋c，故B正确；对于C，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·b＝0，a·c＝，b·c＝，所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋a·b＋a·c＋c·b＝＋＋＋×＋×＝，所以||＝，故C错误；对于D，·＝(a＋b＋c)·(b－a)＝－a2＋b2＋b·c－a·c＝0，所以⊥，故D正确．故选BD.
4. 在晶胞各顶点标上字母，如图，则＝＋＋.由题意可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°，所以||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝4＋1＋1＋2×2×1×cos 60°＋2×2×1×cos 60°＋2×1×1×cos 90°＝10，故||＝.
5. (1) ＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋－＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
(2) 由题意，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，＝a－b，
则||＝＝＝1，
||＝
＝
＝，
·＝(a－b)·＝a2＋a·b＋a·c－a·b－b2－b·c＝－，
所以cos 〈，〉＝＝－.(共35张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
1.2.2 空间向量基本定理(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
进一步理解空间向量基本定理，并能解决空间两直线的位置关系．
活 动 方 案
活动一 灵活运用空间向量基本定理
空间一个向量要用基底表示时，要把这个向量进行拆分，尽量与基底向量有所联系，最后落实在平面内解决．
活动二 利用空间向量基本定理解决两直线的位置关系
例2 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1.
例3 如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．
(1) 求证： EF∥AC；
(2) 求CE与AG所成角的余弦值．
由于空间任一向量可以用一组基底来表示，而直线又有方向向量，则根据向量之间的共线及垂直关系，可以解决空间内两条直线的位置关系．
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点．求证：
(1) AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2) A1G⊥平面EFD.
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
【答案】 D
2
4
5
1
3
2. 已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，∠BAD＝120°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝90°，则AC′的长为( )
【答案】 D
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
【答案】 BD
2
4
5
3
1
4. (2023洛阳第一高级中学期中)自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的体对角线AC1的长为________.
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Thank you for watching
