1．3 空间向量及其运算的坐标表示
1. 了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算．
2. 会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行与垂直，发展数学运算和逻辑推理等素养．
活动一 探究空间向量的坐标表示
1. 复习巩固
(1) 空间向量基本定理：
(2) 平面向量的坐标表示：
2. 空间直角坐标系的建立
①若空间的一个基底的三个基向量两两垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{i，j，k}表示；
②在空间内选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面；
③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°；
④在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系．
3. 探究空间直角坐标系中的坐标
如图1，在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y, z)，使
＝xi＋yj＋zk.
在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y, z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
图1 图2
如图2，在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使
a＝xi＋yj＋zk.
有序实数组(x, y, z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作
a＝(x，y, z).
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示．
4. 空间向量运算的坐标表示
(1) 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2) 当b≠0时，a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos 〈a，b〉＝＝.
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).
||＝.
活动二 空间直角坐标系中点的坐标及向量的坐标
例1 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1) 写出D′，C，A′，B′四点的坐标；
(2) 写出向量，，，的坐标．
建立坐标系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．
如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝1，建立适当的坐标系，求向量的坐标．
活动三 空间向量的坐标运算
例2 (1) 设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________；
(2) 设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos 〈a，b〉＝________；
(3) 已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则||＝________．
若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________．
活动四 空间向量坐标运算的运用
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.
如图，边长为1的正方形ABCD与ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，连接EC.M，N分别是BD，AE上的点，且AN＝DM.
(1) 求证：MN∥平面EBC；
(2) 求MN长度的最小值．
例4 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝A1B1，D1F1＝ C1D1.
(1) 求AM的长；
(2) 求BE1与DF1所成角的余弦值．
已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．求：
(1) 三棱柱的侧棱长；
(2) 异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解．
1. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是( )
A. 向量的坐标与点B的坐标相同
B. 向量的坐标与点A的坐标相同
C. 向量与向量的坐标相同
D. 向量与向量－的坐标相同
2. (2024重庆期末)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x的值为( )
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
3. (多选)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是( )
A. (＋＋)2＝3||2
B. ·(－)＝0
C. 向量与向量的夹角是120°
D. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|
4. (2024雅安开学考试)已知a＝(1，2，3)，b＝(2，1，0)，则a在b方向上的投影向量的模为________．
5. (2023西安阶段练习)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1) 若|c|＝3，c∥，求c；
(2) 求a与b夹角的余弦值；
(3) 若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
【参考答案与解析】
1．3 空间向量及其运算的坐标表示
【活动方案】
1. (1) 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
(2) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
例1 (1) 点D′在z轴上，且OD′＝2，
所以＝0i＋0j＋2k，
所以点D′的坐标是(0，0，2).
同理，点C的坐标是(0，4，0).
点A′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
所以点A′的坐标是(3，0，2).
点B′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，
所以点B′的坐标是(3，4，2).
(2) ＝＝0i＋4j＋0k＝(0，4，0)，
＝－＝－0i－0j－2k＝(0，0，－2)，
＝＋＝－3i＋4j＋0k＝(－3, 4, 0)，
＝＋＋＝－3i＋4j＋2k＝(－3，4，2).
跟踪训练 如图，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
因为＝－＝－(＋)＝(－)－(＋－)＝＋，
所以＝.
例2 (1) (－3，1，7) a＋2b＝(1，－1，3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)＝(－3，1，7).
(2) － cos 〈a，b〉＝＝＝－.
(3) 2 ||＝
＝2.
跟踪训练 2 由题意，得c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
例3 不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系，
则E，F，
所以＝.
又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，
所以＝(1，0，1)，
所以·＝·(1，0，1)＝0，
所以⊥，即EF⊥DA1.
跟踪训练 (1) 由题意，以BA，BC，BE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正方形ABCD与ABEF的边长为1，且AN＝DM，
所以设BM＝x，则NE＝x，NA＝－x，且x∈[0，]，
所以M，N，
所以 ＝.
过点M作MP⊥BC，交BC于点P，过点N作NQ⊥BE，交BE于点Q，
所以P，Q，
所以 ＝，
所以 ＝，即MN∥PQ.
又PQ 平面EBC，MN 平面EBC，
所以MN∥平面EBC.
(2) 由(1)，得 ＝，
所以| |＝＝.
又x∈[0，]，所以当x＝时，| |min＝，
即MN长度的最小值为.
例4 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为，
所以AM＝＝.
(2) 由已知，得B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1，
所以＝－(1，1，0)＝，＝－(0，0，0)＝，
||＝，||＝，
所以·＝0×0＋＋1×1＝，
所以cos 〈，〉＝＝＝，
所以BE1与DF1所成角的余弦值是.
跟踪训练 (1) 设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，C(0，1，0)，
所以＝(，1，b)，＝(－，1，b).
因为AB1⊥BC1，
所以·＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝，
故侧棱长为.
(2) 由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0).
因为||＝＝，||＝
＝2，·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以|cos 〈，〉|＝＝＝，
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
【检测反馈】
1. D 因为点A不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B，C都不正确；因为＝－，所以D正确．
2. A 因为a＝(2，1，－3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，所以2×(－4)＋1×2＋(－3)×x＝0，解得x＝－2.
3. ABC 不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).因为＋＋＝(0，0，－1)＋(－1，0，0)＋(0，1，0)＝(－1，1，－1)，所以(＋＋)2＝|＋＋|2＝3，又3||2＝3×12＝3，故A正确；因为＝(－1，1，－1)，－＝＝(0，1，1)，所以·(－)＝0＋1－1＝0，故B正确；因为＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)，所以·＝0＋0－1＝－1，||＝，||＝，所以cos 〈，〉＝＝＝－，所以向量与向量的夹角是120°，故C正确；因为AB⊥AA1，所以·＝0，所以|··|＝|0·|＝0，故D错误．故选ABC.
4. 因为a＝(1，2，3)，b＝(2，1，0)，所以a·b＝1×2＋2×1＋3×0＝4，所以a在b方向上的投影向量的模为＝＝.
5. (1) 因为B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，
所以＝(－2，－1，2).
因为c∥，
所以可设c＝(－2λ，－λ，2λ)，λ∈R.
又因为|c|＝3，所以＝3，
解得λ＝±1，
故c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).
(2) 因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以a与b夹角的余弦值为＝＝－.
(3) 因为ka＋b与ka－2b互相垂直，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即k2a2－ka·b－2b2＝0，
即2k2＋k－10＝0，
解得k＝－或k＝2.(共44张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算．
2. 会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行与垂直，发展数学运算和逻辑推理等素养．
活 动 方 案
活动一 探究空间向量的坐标表示
1. 复习巩固
(1) 空间向量基本定理：
【解析】 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
(2) 平面向量的坐标表示：
【解析】 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
2. 空间直角坐标系的建立
①若空间的一个基底的三个基向量两两垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{i，j，k}表示；
②在空间内选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方
向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面；
③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°；
④在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系．
a＝xi＋yj＋zk.
有序实数组(x, y, z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作
a＝(x，y, z)．
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示．
4. 空间向量运算的坐标表示
(1) 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2) 当b≠0时，a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
活动二 空间直角坐标系中点的坐标及向量的坐标
所以点D′的坐标是(0,0,2)．
同理，点C的坐标是(0,4,0)．
点A′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2，
所以点A′的坐标是(3,0,2)．
点B′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2，
所以点B′的坐标是(3,4,2)．
建立坐标系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．
活动三 空间向量的坐标运算
例2 (1) 设a＝(1，－1,3)，b＝(－2,1,2)，则a＋2b＝________；
【解析】 a＋2b＝(1，－1,3)＋2(－2，1,2)＝(1，－1,3)＋(－4,2,4)＝(－3,1,7)．
【答案】 (－3,1,7)
(2) 设a＝(1，－1,1)，b＝(－2,0,1)，则cos〈a，b〉＝________；
若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
【解析】 由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
【答案】 2
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.
活动四 空间向量坐标运算的运用
如图，边长为1的正方形ABCD与ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，连接EC.M，N分别是BD，AE上的点，且AN＝DM.
(1) 求证：MN∥平面EBC；
(2) 求MN长度的最小值．
【解析】 (1) 由题意，以BA，BC，BE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正方形ABCD与ABEF的边长为1，且AN＝DM，
(1) 求AM的长；
(2) 求BE1与DF1所成角的余弦值．
已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．求：
(1) 三棱柱的侧棱长；
(2) 异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解.
检 测 反 馈
2
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3
1. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是( )
【答案】 D
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【解析】 因为a＝(2,1，－3)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，所以2×(－4)＋1×2＋(－3)×x＝0，解得x＝－2.
2. (2024重庆期末)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则x的值为( )
A. －2 B. －1
C. 0 D. 2
【答案】 A
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3. (多选)已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是( )
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【答案】 ABC
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4. (2024雅安开学考试)已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,0)，则a在b方向上的投影向量的模为________.
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(2) 求a与b夹角的余弦值；
(3) 若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
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