1．4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
1. 能用向量语言描述空间中点、直线和平面等基本要素，理解直线的方向向量与平面的法向量．
2. 会求平面的法向量．
活动一 情境导学
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
思考1
能否用空间向量的知识解决以上问题？
活动二 空间中点、直线和平面的向量表示
1. 点的位置向量
思考2
如何用向量表示空间中的一个点的位置？
2. 空间直线的向量表示式
思考3
空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，这个方向我们可以用直线的方向向量来表示，则如何用向量来表示这条直线l
3. 空间平面的向量表示式
思考4
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如何用向量表示这个平面？
4. 平面的法向量
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
概念辨析
下列说法中，正确的是( )
A. 直线的方向向量是唯一的
B. 与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C. 直线的方向向量有两个
D. 平面的法向量是唯一的
活动三 会求平面的法向量
例1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1) 求平面BCC1B1的法向量；
(2) 求平面MCA1的法向量．
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：
(1) 设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
(3) 根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
(4) 解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
若跟踪训练1的条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
例2 在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的法向量为e＝(A，B，C)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
1. 在空间直角坐标系中，三元一次方程表示一个平面．
2. 方程 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0的几何意义是：经过点P(x0，y0，z0)且法向量为e＝(A，B，C)的平面．
已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，＝(2，－1，4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，1).
(1) 求证：是平面ABCD的法向量；
(2) 求平行四边形ABCD的面积．
1. (2024江苏单元测试)已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为( )
A. (1，－1，1) B. (2，－1，1)
C. (－2，1，1) D. (－1，1，1)
2. (2023茂名期中)17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程x＝1在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面．那么，过点P0(1，2，1)且u＝(－2，1，3)为法向量的平面的方程为( )
A. x＋2y－z＋3＝0 B. 2x－y－3z－3＝0
C. x＋2y＋z－3＝0 D. 2x－y－3z＋3＝0
3. (多选)在如图所示的坐标系中，多面体ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是 ( )
A. 直线DD1 的一个方向向量为(0，0，1)
B. 直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C. 平面ABB1A1的一个法向量为(1，0，0)
D. 平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
4. (2023张家口阶段练习)已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量 n＝________．(坐标表示)
5. 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系，求：
(1) 平面ABCD的一个法向量；
(2) 平面SAB的一个法向量；
(3) 平面SCD的一个法向量．
【参考答案与解析】
1．4 空间向量的应用
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
【活动方案】
思考1：略
思考2：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
思考3：如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t.进一步地，如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①
即＝＋t.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
图1 图2
思考4：如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
概念辨析 B 因为直线l上的非零向量a以及与a共线的向量都是直线l的方向向量，不唯一，同理平面的法向量也是不唯一的，故B正确．
例1 (1) 因为y轴垂直于平面BCC1B1，
所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量．
(2) 因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，
所以点M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)，
所以＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2).
设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，
则n2⊥，n2⊥，
所以
所以
取z＝3，则x＝2，y＝3，
所以n2＝(2, 3, 3)是平面MCA1的一个法向量．
跟踪训练1 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，，0)，
E，B(1，0，0)，C(1，，0)，
所以＝，＝(1，，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
取y＝－1，则x＝z＝，
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，).
跟踪训练2 因为P(0，0，1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，
即直线PC的一个方向向量为(1，，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)，
则即
所以取y＝1，则z＝，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，).
例2 由题意，得＝(x－x0，y－y0，z－z0).
因为e是平面α的法向量，
所以e⊥，则e·＝0，
即(A，B，C)·(x－x0，y－y0，z－z0)＝0，
即A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，
所以满足题意的关系式为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.
跟踪训练 (1) 因为P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，＝(2，－1，4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，1)，
所以·＝－2－2＋4＝0，·＝－4＋4＋0＝0，
所以⊥ ，⊥ .
又AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以⊥ 平面ABCD，
即是平面ABCD的法向量．
(2) 因为cos ∠BAD＝＝＝，
所以sin ∠BAD＝＝，
所以平行四边形ABCD的面积＝||·||·sin ∠BAD＝8.
【检测反馈】
1. C 显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以n＝(－2，1，1).
2. D 设P(x，y，z)是该平面内的任意一点，则 ＝(x－1，y－2，z－1)，故过点P0(1，2，1)且法向量为u＝(－2，1，3)的平面的方程为－2(x－1)＋(y－2)＋3(z－1)＝0，整理得2x－y－3z＋3＝0.
3. ABD 设正方体的棱长为a，则B(a, 0, 0), B1(a, 0, a)，C(a, a, 0), C1(a, a, a)，D(0, a, 0)，D1(0, a, a).＝(0, 0, a)＝a(0, 0, 1)，故A正确；＝(0, a, a)＝a(0, 1, 1)，故B正确；因为平面ABB1A1即为坐标平面Oxz，所以与y轴平行的向量均为它的法向量，故C错误；＝(0, a, －a), ＝(a, 0, －a).设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z), 则取y＝1，得x＝1，z＝1，所以n＝(1, 1, 1)是平面B1CD1的一个法向量，故D正确．故选ABD.
4. (－3，0，－2)(答案不唯一) 由题意，得直线l的一个方向向量n＝＝(－3，0，－2).
5. 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1).
(1) 因为SA⊥平面ABCD，
所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．
(2) 因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB 平面ABS，SA 平面ABS，所以AD⊥平面SAB，
所以＝是平面SAB的一个法向量．
(3) 在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1).
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，所以n·＝0，n·＝0，
即所以
令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝(2，－1，1).(共38张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 能用向量语言描述空间中点、直线和平面等基本要素，理解直线的方向向量与平面的法向量．
2. 会求平面的法向量．
活 动 方 案
活动一 情境导学
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
【解析】 略
思考1
能否用空间向量的知识解决以上问题？
活动二 空间中点、直线和平面的向量表示
1. 点的位置向量
思考2
如何用向量表示空间中的一个点的位置？
2. 空间直线的向量表示式
思考3
空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，这个方向我们可以用直线的方向向量来表示，则如何用向量来表示这条直线l
3. 空间平面的向量表示式
思考4
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如何用向量表示这个平面？
概念辨析
下列说法中，正确的是( )
A. 直线的方向向量是唯一的
B. 与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C. 直线的方向向量有两个
D. 平面的法向量是唯一的
【解析】 因为直线l上的非零向量a以及与a共线的向量都是直线l的方向向量，不唯一，同理平面的法向量也是不唯一的，故B正确．
【答案】 B
活动三 会求平面的法向量
例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1) 求平面BCC1B1的法向量；
(2) 求平面MCA1的法向量．
【解析】 (1) 因为y轴垂直于平面BCC1B1，
所以n1＝(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量．
(2) 因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，
所以点M，C，A1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0，2)，
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：
(1) 设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
若跟踪训练1的条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
例2 在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的法向量为e＝(A，B，C)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
1. 在空间直角坐标系中，三元一次方程表示一个平面．
2. 方程 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0的几何意义是：经过点P(x0，y0，z0)且法向量为e＝(A，B，C)的平面．
检 测 反 馈
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1. (2024江苏单元测试)已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A. (1，－1,1) B. (2，－1,1)
C. (－2,1,1) D. (－1,1,1)
【答案】 C
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2. (2023茂名期中)17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程x＝1在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面．那么，过点P0(1,2,1)且u＝(－2,1,3)为法向量的平面的方程为( )
A. x＋2y－z＋3＝0 B. 2x－y－3z－3＝0
C. x＋2y＋z－3＝0 D. 2x－y－3z＋3＝0
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【答案】 D
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3. (多选)在如图所示的坐标系中，多面体ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是 ( )
A. 直线DD1 的一个方向向量为(0,0,1)
B. 直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C. 平面ABB1A1的一个法向量为(1,0,0)
D. 平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
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【答案】 ABD
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4. (2023张家口阶段练习)已知A(1,2,3)，B(－2,2,1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量 n＝________.(坐标表示)
【答案】 (－3,0，－2)(答案不唯一)
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(1) 平面ABCD的一个法向量；
(2) 平面SAB的一个法向量；
(3) 平面SCD的一个法向量．
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【解析】 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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