1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
1. 能用向量语言描述线线、线面、面面的平行关系．
2. 能用向量方法证明空间线面的平行关系．
活动一 用空间向量判定空间直线、平面的平行
1. 知识回顾
(1) 直线的方向向量与平面的法向量：
(2) 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：
思考
利用直线的方向向量、平面的法向量，如何判别直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行？
活动二 用空间向量证明线线平行
例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
活动三 用空间向量证明线面平行
例2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
利用空间向量证明线面平行的方法：
(1) 利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行；
(2) 利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行；
(3) 利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.
活动四 利用空间向量证明面面平行
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
利用空间向量证明面面平行的方法：
(1) 借助向量共线证明线线平行、线面平行，再结合面面平行判定定理即可证明面面平行；
(2) 通过证明两个平面的法向量平行即可证明面面平行．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD.
1. (2023黔江中学阶段练习)已知平面α的一个法向量为(1，－2，－1)，平面β的一个法向量为(－1，2，k)，且α∥β，则k的值为( )
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
2. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内的一点．若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
3. (多选)(2023福建联考)如图，A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线MN∥平面ABC的是( )
A B C D
4. 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0，10)，D(8，4，a)，如果四边形ABCD为梯形，那么实数a的值为________．
5. (2023全国专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝AB＝2.求证：PB∥平面AEC.
【参考答案与解析】
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
【活动方案】
1. (1) 直线l上的非零向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们将向量n叫做平面α的法向量．
(2) 略
思考：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行 l∥m a∥b a＝kb(k∈R)
线面平行 l∥α a⊥μ a·μ＝0
面面平行 α∥β μ∥v μ＝kv(k∈R)
例1 方法一：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，
所以＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，
所以＝，所以∥，即PQ∥RS.
方法二：＝＋＝－＋，
＝＋＝＋－，
所以＝，所以∥，即RS∥PQ.
跟踪训练 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
所以＝(1，0，1)，＝(－1，1，0).
设＝(a，b，c)，
则即
取＝(1，1，－1).
因为＝(－1，－1，1)，
所以＝－，
所以∥，即PQ∥BD1.
例2 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，
所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2).
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，
则n·＝0，n·＝0，
即所以
取z＝6，则x＝4, y＝3，
所以n＝(4, 3, 6)是平面ACD1的一个法向量．
由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，－2).
设点P满足＝λ(0≤λ≤1),
则＝(－3λ，0，－2λ),
所以＝＋＝(－3λ，4，－2λ).
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此时A1P 平面ACD1，这样的点P存在，
所以当＝，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1.
跟踪训练 建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别是，(0，0，1)，
所以＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
所以＝，
所以＝，且A NE，所以NE∥AM.
又因为NE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
例3 如图，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，CQ＝m，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，Q(0，1，m).
方法一：因为＝，＝(－1，－1，1)，所以∥，即OP∥BD1.
因为＝，＝(－1，0，m)，
所以当m＝时，＝，即AP∥BQ.
又BD1 平面D1BQ，OP 平面D1BQ，BQ 平面D1BQ，AP 平面D1BQ，
所以OP∥平面D1BQ，AP∥平面D1BQ.
又OP∩AP＝P，OP 平面PAO，AP 平面PAO，
所以平面PAO∥平面D1BQ.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
方法二：由题意，得＝，＝(－，－，)，＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－m).
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则n1⊥，n1⊥，
即取x＝1，则n1＝(1，1，2).
设平面D1BQ的法向量为n2＝(a，b，c)，
则n2⊥，n2⊥，
即
取c＝1，则n2＝(m，1－m，1).
要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，
即＝＝，解得m＝，此时Q.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
跟踪训练 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N，E(0，，4)，F(1，3，4)，所以＝，＝，＝(－1，0，4)，＝(－1，0，4)，
所以＝，＝，
所以MN∥EF，AM∥BF.
又EF 平面EFBD，MN 平面EFBD，BF 平面EFBD，AM 平面EFBD，
所以MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.
又MN∩AM＝M，MN 平面AMN，AM 平面AMN，
所以平面AMN∥平面EFBD.
【检测反馈】
1. C 因为平面α的一个法向量为(1，－2，－1)，平面β的一个法向量为(－1，2，k)，且α∥β，所以＝＝，解得k＝1.
2. B 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(－1，2，0)，＝(－2，2，1).设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝1，得 n＝(2，1，2).设P(a，2，c)，0≤a≤2，0≤c≤2，则 ＝(a－2，2，c－2).因为A1P∥平面AEF，所以·n＝2(a－2)＋2＋2(c－2)＝0，整理，得a＋c＝3，所以||＝＝＝，当且仅当a＝c＝时，线段A1P的长度取最小值.
3. BC 对于A，建立如图1所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，1)，B(1，2，0)，C(0，2，1)，M(2，2，2)，N(0，1，2)，所以＝(－1，2，－1)，＝(－2，2，0)，＝(2，1，0).设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝1，则b＝1，c＝1，即n＝(1，1，1)，显然·n＝2＋1＋0＝3≠0，即与n不垂直，则直线MN与平面ABC不平行，故A错误；对于B，如图2，取侧棱中点D，连接AD，BD，CD.由正方体的特征可知AD∥BC，MN∥BD，所以平面ABC即平面ABCD.又MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以直线MN∥平面ABC，故B正确；对于C，由正方体的特征易知平面ABC∥侧面MN，又MN 侧面MN，所以直线MN∥平面ABC，故C正确；对于D，如图3，取正方体一棱中点G，连接CG，MG，BN.由正方体的特征可知AC∥MN，AB∥GM，BN∥CG，可得A，C，G，M，N，B六点共面，故D错误．故选BC.
图1 图2 图3
4. 9 由题意，得＝(4，－8，2)，＝(8，5，7)，＝(2，－4，10－a)，＝(10，1，a－1).因为四边形ABCD为梯形，所以∥，解得a＝9，此时与不平行，满足题意．
5. 因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两互相垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(0，1，1)，
可得＝(2，0，－2)，＝(2，2，0)，＝(0，1，1).
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)，
则
取x＝1，可得y＝－1，z＝1，
所以平面AEC的一个法向量为m＝(1，－1，1).
因为·m＝2×1＋0－2×1＝0，所以⊥m.
又因为PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC.(共41张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 能用向量语言描述线线、线面、面面的平行关系．
2. 能用向量方法证明空间线面的平行关系．
活 动 方 案
活动一 用空间向量判定空间直线、平面的平行
1. 知识回顾
(1) 直线的方向向量与平面的法向量：
【解析】 直线l上的非零向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们将向量n叫做平面α的法向量．
(2) 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：
【解析】 略
【解析】 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
思考
利用直线的方向向量、平面的法向量，如何判别直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行？
线线平行 l∥m a∥b a＝kb(k∈R)
线面平行 l∥α a⊥μ a·μ＝0
面面平行 α∥β μ∥v μ＝kv(k∈R)
活动二 用空间向量证明线线平行
例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行．
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
【解析】 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1，0,0)，B(1，1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，
活动三 用空间向量证明线面平行
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为A，C，D1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)，
取z＝6，则x＝4, y＝3，
所以n＝(4, 3, 6)是平面ACD1的一个法向量．
利用空间向量证明线面平行的方法：
(1) 利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行；
(2) 利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行；
(3) 利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
活动四 利用空间向量证明面面平行
又BD1 平面D1BQ，OP 平面D1BQ，BQ 平面D1BQ，AP 平面D1BQ，
所以OP∥平面D1BQ，AP∥平面D1BQ.
又OP∩AP＝P，OP 平面PAO，AP 平面PAO，
所以平面PAO∥平面D1BQ.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
利用空间向量证明面面平行的方法：
(1) 借助向量共线证明线线平行、线面平行，再结合面面平行判定定理即可证明面面平行；
(2) 通过证明两个平面的法向量平行即可证明面面平行．
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD.
所以MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.
又MN∩AM＝M，MN 平面AMN，AM 平面AMN，
所以平面AMN∥平面EFBD.
检 测 反 馈
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1. (2023黔江中学阶段练习)已知平面α的一个法向量为(1，－2，－1)，平面β的一个法向量为(－1，2，k)，且α∥β，则k的值为( )
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
【答案】 C
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2. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内的一点．若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的最小值为( )
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【答案】 B
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3. (多选)(2023福建联考)如图，A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线MN∥平面ABC的是( )
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AD，BD，CD.由正方体的特征可知AD∥BC，MN∥BD，所以平面ABC即平面ABCD.又MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以直线MN∥平面ABC，故B正确；对于C，由正方体的特征易知平面ABC∥侧面MN，又MN 侧面MN，所以直线MN∥平面ABC，故C正确；对于D，如图3，取正方体一棱中点G，连接CG，MG，BN.由正方体的特征可知AC∥MN，AB∥GM，BN∥CG，可得A，C，G，M，N，B六点共面，故D错误．故选BC.
【答案】 BC
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4. 已知空间四点A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(10,0,10)，D(8,4，a)，如果四边形ABCD为梯形，那么实数a的值为________.
【答案】 9
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5. (2023全国专题练习)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝AB＝2.求证：PB∥平面AEC.
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【解析】 因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为四边形ABCD为正方形，
所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两互相垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(0,1,1)，
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