1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
1. 能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系．
2. 掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．
活动一 探究用空间向量证明空间线面垂直关系的方法
思考
(1) 类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
(2) 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有如下结论：
平 行 垂 直
l1与l2
l1与α1
α1与α2
活动二 利用空间向量证明空间中直线、平面的垂直
例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点．求证：A1B⊥AM.
利用向量方法证明线线垂直的方法：
(1) 坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；
(2) 基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线的方向向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：
(1) BD1⊥AC；
(2) BD1⊥EB1.
例2 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
利用空间向量证明线面垂直的方法：
(1) 基向量法：选取基向量，用基向量表示直线的方向向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论；
(2) 坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论；
(3) 法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线的方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4，CD＝2，AD＝2，PA＝4.求证：BD⊥平面PAC.
例3 如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，求证：平面ADE⊥平面ABE.
1. 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2. 向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
活动三 用空间向量证明一些常见定理
例4 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
利用空间向量证明线面的垂直关系，显得尤为方便．
1. (2024北京石景山期末)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(1，2，1)，B(－1，2，－1)，则下列结论中正确的是( )
A. 直线AB∥坐标平面Oxy B. 直线AB⊥坐标平面Oxy
C. 直线AB∥坐标平面Oxz D. 直线AB⊥坐标平面Oxz
2. 已知v为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则下列说法中正确的是( )
A. v∥n l∥α B. v∥n l⊥α C. v⊥n l∥α D. v⊥n l⊥α
3. (多选)(2023蚌埠期末)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，若PM＝，则下列结论中正确的有( )
A. MN⊥BD B. MN∥A1B
C. 点P的轨迹长度为π D. PN的最小值是－1
4. 已知两条互相垂直的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，则实数x＝________．
5. (2023全国专题练习)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．求证：平面PCD⊥平面PAD.
【参考答案与解析】
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
【活动方案】
思考：(1) 直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
(2) 填表略
例1 以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
因为BC＝1，∠BAC＝30°，
所以AC＝，
所以A(，0，0)，A1(，0，)，B(0，1，0)，M，
所以＝(－，1，－)，＝(－，0，)，
所以·＝0，
所以A1B⊥AM.
跟踪训练 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1).
(1) 因为＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)，
所以·＝0，
所以⊥，所以BD1⊥AC.
(2) 因为＝(－1，－1，1)，＝，
所以·＝0，所以⊥，
所以BD1⊥EB1.
例2 设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且＝a＋b－c，＝b－a，＝c.
因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，
所以a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝c·a＝.
在平面BDD1B1内，取，为基向量，则对于平面BDD1B1内任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得＝λ＋μ，
所以· ＝λ·＋μ·＝λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c＝0，
所以是平面BDD1B1的法向量，
所以A1C⊥平面BDD1B1.
跟踪训练 因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则B(4，0，0)，P(0，0，4), D(0，2，0)，C(2，2，0)，
所以＝(－4，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，4)，
所以·＝0，·＝0，
所以BD⊥AC，BD⊥AP.
因为AP∩AC＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
例3 取BE的中点O，连接OC.
又AB⊥平面BCE，CE＝BC，所以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则C(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1，0，1)，A(0，，2)，
所以＝(0，－2，－2)，＝(－1，，1).
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·＝(a，b，c)·(0，－2，－2)＝－2b－2c＝0，n·＝(a，b，c)·(－1, ，1)＝－a＋b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝－，
所以n＝(0，1，－).
因为AB⊥平面BCE，OC 平面BCE，
所以AB⊥OC.
因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB 平面ABE，BE 平面ABE，
所以OC⊥平面ABE，
所以平面ABE的一个法向量为m＝(1，0，0).
因为n·m＝(0，1，－)·(1，0，0)＝0，
所以n⊥m，所以平面ADE⊥平面ABE.
跟踪训练 建立如图所示的空间直角坐标系，取A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F.
因为∠BCD＝90°，所以CD⊥BC.
因为AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
所以AB⊥CD.
因为AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC，
所以＝为平面ABC的一个法向量．
设平面BEF的法向量n＝(x，y，z)，
所以n·＝0，n·＝0，
即
所以
取y＝1，得n＝(1，1，－).
因为n·＝(1，1，－)·(－a，a，0)＝0，
所以n⊥，
所以平面BEF⊥平面ABC.
例4 已知：如图，l⊥α，l β，求证：α⊥β.
证明：取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.
因为l⊥α，所以u是平面α的法向量．
因为l β，n是平面β的法向量，所以u⊥n，
所以α⊥β.
【检测反馈】
1. C 由题意，得＝(－2，0，－2)，平面Oxy的一个法向量为m＝(0，0，1).因为≠λm，且·m≠0，所以与m既不平行也不垂直，所以直线AB与坐标平面Oxy既不平行也不垂直，故A，B错误；坐标平面Oxz的一个法向量为n＝(0，1，0)，因为·n＝0，所以⊥n.又AB 平面Oxz，所以直线AB∥坐标平面Oxz，故C正确，D错误．
2. B 已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，若v∥n，则l⊥α，反之也成立，故A错误，B正确；若v⊥n，则l∥α或l α，故C，D错误．
3. ACD 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，故D(0，0，0)，N(0，1，0)，M(1，0，2)，B(2，2，0)，故＝(2，2，0)，＝(1，－1，2)，则·＝2×1＋2×(－1)＋0＝0，所以MN⊥BD，故A正确；而A1(2，0，2)，＝(0，2，－2)，显然与不共线，所以MN∥A1B不成立，故B错误；设P(x，y，0)，由两点间距离公式，得PM＝＝，化简，得(x－1)2＋y2＝1，又x≥0，y≥0，故轨迹长度为×1×2×π＝π，故C正确；设点P的坐标为P(1＋cos θ，sin θ，0)，由两点间距离公式，得PN＝＝，易知当cos ＝－1时，PN取得最小值，此时PN＝＝－1，故D正确．故选ACD.
4. 因为两条直线垂直，所以它们的方向向量垂直，所以a·b＝0，即－8－2＋3x＝0，解得x＝.
5. 因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，
所以＝(0，4，0)，＝(0，0，2)，＝(－2，0，0)，
所以·＝(－2)×0＋0×4＋0×0＝0，
·＝(－2)×0＋0×0＋0×2＝0，
即CD⊥AD，CD⊥AP.
又AD∩AP＝A，AD 平面PAD，AP 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
因为CD 平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD.(共37张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系．
2. 掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．
活 动 方 案
活动一 探究用空间向量证明空间线面垂直关系的方法
思考
(1) 类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
【解析】 直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
【解析】 填表略
(2) 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有如下结论：
平 行 垂 直
l1与l2
l1与α1
α1与α2
活动二 利用空间向量证明空间中直线、平面的垂直
利用向量方法证明线线垂直的方法：
(1) 坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；
(2) 基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线的方向向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：
(1) BD1⊥AC；
(2) BD1⊥EB1.
例2 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
利用空间向量证明线面垂直的方法：
(1) 基向量法：选取基向量，用基向量表示直线的方向向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论；
(2) 坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论；
(3) 法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线的方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
【解析】 因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
所以BD⊥AC，BD⊥AP.
因为AP∩AC＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
例3 如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，求证：平面ADE⊥平面ABE.
1. 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2. 向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
活动三 用空间向量证明一些常见定理
例4 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
【解析】 已知：如图，l⊥α，l β，求证：α⊥β.
证明：取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.
因为l⊥α，所以u是平面α的法向量．
因为l β，n是平面β的法向量，
所以u⊥n，
所以α⊥β.
利用空间向量证明线面的垂直关系，显得尤为方便．
检 测 反 馈
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1. (2024北京石景山期末)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(1,2,1)，B(－1,2，－1)，则下列结论中正确的是( )
A. 直线AB∥坐标平面Oxy B. 直线AB⊥坐标平面Oxy
C. 直线AB∥坐标平面Oxz D. 直线AB⊥坐标平面Oxz
【答案】 C
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【解析】 已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，若v∥n，则l⊥α，反之也成立，故A错误，B正确；若v⊥n，则l∥α或l α，故C，D错误．
2. 已知v为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则下列说法中正确的是( )
A. v∥n l∥α B. v∥n l⊥α
C. v⊥n l∥α D. v⊥n l⊥α
【答案】 B
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A. MN⊥BD
B. MN∥A1B
C. 点P的轨迹长度为π
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【答案】 ACD
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4. 已知两条互相垂直的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，则实数x＝________.
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5. (2023全国专题练习)如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．求证：平面PCD⊥平面PAD.
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【解析】 因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，
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即CD⊥AD，CD⊥AP.
又AD∩AP＝A，AD 平面PAD，AP 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
因为CD 平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD.
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