24.3 一元二次方程根与系数的关系练习

24.3 一元二次方程根与系数的关系
基础巩固JICHU GONGGU
1．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为(　　)
A．－1 B．9 C．23 D．27
2．(开放题)请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．
3．已知方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，求m的值及该方程的另一个根．
4．设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值．
(1)x·x2＋x1·x；
(2)|x1－x2|.
5．关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，若x＋x＝11，求实数k的值．
能力提升NENGLI TISHENG
6．已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是(　　)
A．7 B．－7 C．11 D．－11
7．设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立，请说明理由．
8．已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，
(1)求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；
(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．
参考答案
1．D　点拨：∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，
∴α＋β＝5，αβ＝－2.
又∵α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ，
∴α2＋αβ＋β2＝52＋2＝27.
故选D.
2．x2＋3x－10＝0(答案不唯一)　点拨：设这个方程是x2＋bx＋c＝0，
根据一元二次方程根与系数的关系，
可得b＝－(2－5)＝3，c＝－10；
则这个方程是x2＋3x－10＝0.
3．分析：一元二次方程的根就是能够使方程 ( http: / / www.21cnjy.com )左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝3代入原方程即可求得m及另一根的值．
解：∵方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，
∴9＋3(m－1)＋m－10＝0，
即4m－4＝0，
解得m＝1.由方程x2－9＝0，
解得x＝±3，故所求方程的另一根为－3.
4．解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
(1)x·x2＋x1·x＝x1·x2(x1＋x2)
＝－×(－2)＝3.
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(－2) 2－4×
＝4＋6＝10.
故|x1－x2|＝.
5．分析：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键要掌握x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根时，x1＋x2＝－p，x1x2＝q，本题容易忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件而导致错误．
解：∵方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，
∴Δ＝[－(k＋2)]2－4(2k＋1)≥0，
解得k≥4或k≤0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k＋1，
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝11，
∴(k＋2)2－2(2k＋1)＝11.
∴k2－9＝0，解得k＝±3.
∵k≥4或k≤0，∴k＝3舍去．故k＝－3.
6．A　点拨：根据题意得a与b为方程x2－6x＋4＝0的两根，
则a＋b＝6，ab＝4.
故原式＝＝＝7.
7．解：∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，
∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.
又3x1·x2－x1＞x2，
∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.
而x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，
∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.
∴＜k≤3，
∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立．
8．(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，
其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2，
∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，
且a＜b＜c，
∴Δ＝8b2－4a2＋4c2＞0.
∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根．
(2)解：∵x1＋x2＝，x1·x2＝，
又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，
∴x＋x＝－4.