26.3 解直角三角形导学案

26.3 解直角三角形
能力点1已知直角三角形的一边和一锐角解直角三角形
题型导引当已知直角三角形的一边和一个锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )时，利用直角三角形中两锐角互余和适当的锐角三角函数来解直角三角形．常见类型：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA或∠B＝90°－∠A，b＝，c＝.
【例1】已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝2，解这个直角三角形．
分析：直角三角形的两个锐角互余，并且在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．
解：在直角△ABC中∠B＝90－∠A＝60°，
∵tanA＝，∴tan30°＝，
∴a＝×2＝2.
∵sinA＝＝，∴c＝4.
规律总结解直角三角形时，可以画出图形，结合 ( http: / / www.21cnjy.com )图形和定义法来解直角三角形．在利用定义法时，选择关系式时要尽量利用已知条件，必须求出所有的未知元素．
变式训练
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．解下列直角三角形．
(1)已知b＝10，∠B＝60°；
(2)已知c＝8，∠A＝60°.
分析：(1)根据直角三角形两锐角互余求得∠A为30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得出a等于c的一半；
(2)根据题中所给的条件，在直角三角形中，根据角的正弦值及余弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后再代入三角函数进行求解．
解：(1)∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°.
∴a＝c.
设a＝x(x＞0)，则c＝2x，又b＝10，
根据勾股定理得：a2＋b2＝c2，
即x2＋102＝(2x)2.
整理得3x2＝100，解得x＝±，
∵x＞0，∴∠A＝30°，a＝，c＝.
(2)∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵c＝8，sin60°＝＝＝，
∴a＝12.
∵cos60°＝＝＝，∴b＝4.
能力点2已知直角三角形的两边解直角三角形
题型导引在直角三角形中，若已知其中两条边的长，利用勾股定理可以求出另一边，然后利用锐角三角函数求出锐角的度数．常见类型有：由sinA＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，b＝或由tanA＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，c＝.
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．
分析：已知斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．
解：在Rt△ABC中，c＝2，a＝3，
∴b＝＝＝.
∴sinA＝＝＝，∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
规律总结在解直角三角形时，要结合题意要求选取合适的关系式来解决问题．
变式训练
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，b＝20，求∠A，∠B，c.
分析：三角形ABC为直角三角形，c为斜边， ( http: / / www.21cnjy.com )由a与b的长，利用勾股定理求出c的长，再根据锐角三角函数定义求出sinA和sinB的值，由∠A和∠B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可出∠A和∠B的度数．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，b＝20，
根据勾股定理得： c＝＝40，
∴sinA＝＝＝，
sinB＝＝.
又∠A和∠B都为三角形的内角，
∴∠A＝30°，∠B＝60°.