24.4 一元二次方程的应用导学案(附分析解答)

24.4 一元二次方程的应用
能力点1利用一元二次方程解决图形面积问题
题型导引(1)在解决规则图形的面积问题时，一般根据有关图形的面积计算公式确定等量关系．
(2)在解决不规则的图形面积问题时，一般将其分割或组合成规则的图形，再根据规则图形的面积计算公式计算．
【例1－1】如图，在宽为20m，长为30 ( http: / / www.21cnjy.com )m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为(　　)
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A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
解析：设修建的路宽为xm，根据题意可知：矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形地面－所修路面积＝耕地面积，依此列出等量关系：20×30－(20x＋30x－x2)＝551，解得x＝49或1，但49不合题意，应舍去．故选A.
答案：A
【例1－2】如图，某中学准备在校园里利用围 ( http: / / www.21cnjy.com )墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.
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分析：根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB＝xm，则BC＝(50－2x)m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
解：设AB＝xm，则BC＝(50－2x)m.
根据题意可得x(50－2x)＝300，
解得x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，
故x1＝10不合题意，应舍去．
答：可以围成AB长为15m，BC长为20m的矩形．
规律总结在解决与面积有关的问题时，解题的关键是紧扣几何图形的面积公式，另外应用一元二次方程解实际问题时，检验根的合理性是必不可少的一部分．
变式训练
1．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
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2．如图，有一矩形空地，一 ( http: / / www.21cnjy.com )边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．
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分析解答
1．分析：根据长方体的体积公式列方程，求出铁皮的长和宽，再计算铁皮的面积，便知道所需费用．
解：设长方体箱子的宽为xm，则长为(x＋2)m，根据题意得
x(x＋2)×1＝15，解之得x1＝－5，x2＝3.
因为宽为正数，
所以x＝3，宽为3m，长为5m.
则原来长方形铁皮的宽为5m，长为7m.
费用为5×7×20＝700(元)．
答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元钱．
2．分析：根据长方形面积公式，即“长× ( http: / / www.21cnjy.com )宽＝125”列方程求解．在方程中墙的长度30m没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形平行于墙的一边的长不能超过30m.
解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则矩形的另一条边长为m．根据题意，得
x·＝125.
整理，得x2－35x＋250＝0.
解这个方程，得x1＝10，x2＝25.
当x＝10时，＝12.5；
当x＝25时，＝5.均合题意．
答：矩形空地的长和宽分别是12.5m和10m或25m和5m.
能力点2利用一元二次方程解决销售问题
题型导引(1)商品销售问题往往都涉及下列数量关系：
①商品售价＝商品标价×折扣率；
②商品利润＝商品售价－商品进价；
③商品利润率＝×100%；
④总销售额＝总销量×商品单价；
⑤总销售利润＝总销售额－总成本＝总销量×每件商品的利润．
(2)在商品销售问题中，最常见的类型就是“每每”型问题，这类试题的特点就是售价每下降(或上升)，销量就每增加(或减少)，解决这类问题的关键就是表示出售价下降(或上升)后该商品的销售量，进而表示出销售利润，即可根据等量关系列方程求解．
【例2】物华商场销售某种冰箱，每台 ( http: / / www.21cnjy.com )进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：设每台冰箱的定价为x元，则列表如下：
每天的销售量/台 每台销售利润/元 总销售利润/元
降价前 8 2900－2500＝400 400×8
降价后 8＋4× x－2500 (x－2500)
　　解：设每台冰箱的定价应为x元，根据题意，得
(x－2500)＝5000.
解这个方程，得x1＝x2＝2750.
答：每台冰箱定价应为2750元．
规律总结对于以商场营销为素材的利润问题，解题的关键是明确：商品利润＝每件商品利润×销售件数，以及单价的提高与销售量的减少之间的关系．
变式训练
某旅游景点为了吸引游客，推出的团体 ( http: / / www.21cnjy.com )票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买了多少张团体票？
分析：先计算购买票是否超过25张，超过25张 ( http: / / www.21cnjy.com )时，建立方程求解．设购买x张票，则每张票价为150－2(x－25)，团体票价为x×[150－2(x－25)]．解方程即可．
解：∵150×25＝3750＜4800，
∴购买的团体票超过25张．
设共购买了x张团体票，
由题意列方程得x×[150－2(x－25)]＝4800，即x2－100x＋2400＝0，
解得x1＝60，x2＝40，
当x1＝60时，超过25人 ( http: / / www.21cnjy.com )的人数为35，票价降70元，降价后为150－70＝80元＜100元，不符合题意，舍去；x2＝40时符合题意，故取x＝40.
答：共购买了40张团体票．
能力点3利用一元二次方程解决增长率问题
题型导引增长率问题中常见的公式是a(1＋x)n＝b(其中a是基础数，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的数)．增长率也可以是负的．
【例3】某农场的粮食产量在两年内由50万千克增加到60.5万千克，那么平均每年增长的百分率是多少？
分析：
时间 产量基数/万千克 增长率 产量/万千克
第一年 50 x 50(1＋x)
第二年 50(1＋x) x 50(1＋x)(1＋x)
　　解：设平均每年增长的百分率为x，根据题意，得
50(1＋x)2＝60.5，
(1＋x)2＝1.21，
即1＋x＝±1.1.
于是x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：平均每年增长的百分率为10%.
规律总结对于增长率来说，要理解常见的术语，如“增加了”“增加到”“增加了几倍”等，解决问题时，要了解和灵活应用这类术语寻找等量关系或数量关系．
变式训练
某渔船出海捕鱼，2011 ( http: / / www.21cnjy.com )年平均每次捕鱼量为10吨，2013年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2011年～2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
分析：解答此题利用的数量关系是：201 ( http: / / www.21cnjy.com )1年平均每次捕鱼量×(1－每次降低的百分率)2＝2013年平均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可．
解：设2011年～2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为x，根据题意列方程得
10×(1－x)2＝8.1，
解得x1＝0.1，x2＝－1. 9(不合题意，舍去)．
答：2011年～2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%.