2023-2024学年高一数学：平面向量的概念与运算
一、平面向量的概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如力、位移等．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．
(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作(如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．
(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定．
二、向量的表示法
(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的长度(或称模)，如果向量的长度记作||．
(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母、、，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为．
三、与向量有关的概念
名称 定义 记法
零向量 长度为0的向量叫做零向量 0
单位向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 a＝b
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量
平行 向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 a∥b
规定：零向量与任何向量都平行 0∥a
说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量
四、向量的加法运算
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量．
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作＝a，＝b，则向量叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图乙所示)，作＝a，＝b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则向量＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
2．向量加法的交换律
已知向量a、b，如图所示，作＝a，＝b，如果A、B、C不共线，则＝a＋b．
作＝b，连接DC，如果我们能证明＝a，那么也就证明了加法交换律成立．
由作图可知，＝＝b，所以四边形ABCD是平行四边形，这就证明了＝a，即a＋b＝b＋a.向量的加法满足交换律．
3．向量加法的结合律
如图，作＝a，＝b，＝c，由向量加法的定义，知＝＋＝a＋b，
＝＋＝b＋c，
所以＝＋＝(a＋b)＋c，＝＋＝a＋(b＋c)．
从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律．
五、向量的减法运算
1．相反向量
定义 如果两个向量长度相等，而方向相反那么称这两个向量是相反向量
性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0
②若a、b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0
③零向量的相反向量仍是零向量
2．向量的减法
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝.如图所示
几何意义 如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
六、向量的数乘运算
1．向量的数乘
定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度 |λa|＝|λ||a|
方向 λ>0 λa的方向与a的方向相同
λ＝0 λa＝0
λ<0 λa的方向与a的方向相反
2．数乘的几何意义
λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．
3．向量数乘的运算律
向量的数乘运算满足下列运算律：
设λ、μ为实数，则
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
5．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
七、向量的数量积
1．平面向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角
记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ
规定 零向量与任一向量的数量积为0
投影 |a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
2．两个向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，
(1)a⊥b a·b＝0．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝．
(3)|a·b|≤|a||b|．
3．平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ．
(1)交换律：a·b＝b·a．
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
（一） 向量的基本概念 向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小． 1.理解向量概念应关注的两点 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． (2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 2．对平行向量、相等向量概念的理解 (1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”． (2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的． (3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 3.在平面图形中寻找共线、相等向量的方法： (1)在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量. (2)相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等且方向相同的共线向量即可. 注意：判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同. 在平面图形中找相等向量、共线向量时，要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系.
题型1：向量的基本概念 1-1．（22-23高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（ ） （1）温度 速度 位移 功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 1-2．（22-23高一下·江西赣州·期中）下列说法正确的是（ ） A．加速度、力、位移、速率、功都是数学中的向量 B． C．是的充分不必要条件 D．单位向量的方向是任意的 【答案】D 【分析】 A选项，功是标量；B选项，举出反例；C选项，考虑的方向可能为任意方向，故C错误；D选项，根据单位向量的定义进行判断. 【详解】A选项，功只有大小，没有方向，是标量，A错误； B选项，不妨设， 则，即，B错误；
C选项，，但的方向可能为任意方向，故无法得到，充分性不成立，C错误； D选项，单位向量的方向是任意的，D正确. 故选：D 1-3．（22-23高一下·天津河北·期中）下列说法中正确的是（ ） A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 B．零向量是最小的向量 C．若向量与向量平行，向量与向量平行，则向量与向量一定平行 D．单位向量的长度为1 【答案】D 【分析】 利用向量的定义与性质即可判断AB，利用零向量的特殊性即可判断C，根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对A，若向量方向不同，则终点不同，故A错误； 对B，向量无大小之分，故B错误； 对C，若，根据零向量与任何向量共线，则与可能不平行，故C错误； 对D，根据单位向量的定义知，单位向量的长度为1，故D正确. 故选：D. 1-4．（22-23高一下·河南濮阳·期中）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可. 【详解】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确； 零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量， 则不满足两向量方向相同或相反，即②错误； 同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误. 综上正确的是1个. 故选：B
（二） 向量的线性运算 1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则 (1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． (2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了． (3)向量求和的多边形法则 ①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即 ＋＋＋…＋An－2An－1＋An－1An＝ ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 2.（1）向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”． （2）由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐． （3）如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛． 3.向量的加减法运算有如下方法： (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
2)运用减法公式(正用或逆用均可)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题. 4.注意向量数乘的特殊情况： ①若λ＝0，则λa＝0； ②若a＝0，则λa＝0． 应该特别注意的是结果是向量0，而非实数0．
题型2：向量的线性运算 2-1．（23-24高一下·全国·期中）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【答案】(1) (2) (3) (4)
(5) 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 2-2．（2020高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【分析】 根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 2-3．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量
【答案】 【分析】 由等式变形可得出关于、的表达式. 【详解】因为，所以，，则. 故答案为：.
（三） 向量的共线 1.向量共线定理的理解注意点及主要应用 （1）定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa． （2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0． 2.利用已知向量表示其他向量的思路： 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法. 常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即所以及(M，N均是同一平面内的任意点).
题型3：向量的共线问题 3-1．（23-24高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 【答案】
【分析】 由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可. 【详解】 由，，三点共线，可得， 又，， 则，又，不共线， 则，解得． 故答案为：． 3-2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B. 点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法： ①三点共线； ②为平面上任一点，三点共线，且. 63．（19-20高一下·海南海口·阶段练习）已知，是两个不共线的向量. (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若和共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)
【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）通过平行，必存在实数使，列方程组求出实数的值. 【详解】（1）， 又， ，，又， A，B，D三点共线； （2）向量和共线， 存在实数使， 又，是不共线，， 解得. 3-3．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】
（1）由结合平面向量的减法化简可得出关于、的表达式，再由可得出关于、的表达式； （2）由、、三点共线知，存在，使得，进而可得出，利用平面向量的基本定理可求得的值. 【详解】（1）解：因为，则，所以，， 因为为的中点，故. （2）解：因为、、三点共线，则， 所以，存在，使得，即， 所以，， 又因为，且、不共线，所以，， 所以，，故.
题型4：利用已知向量表示其他向量 4-1．（22-23高一下·贵州毕节·期中）如图，在梯形中，，分别是的中点，与相交于点，设. (1)用表示； (2)用表示. 【答案】(1) (2)
【分析】 （1）根据平面向量基本定理表达出； （2）根据三角形相似关系求出，结合（1）中结论，求出. 【详解】（1） 因为分别是的中点， 所以， 又， 所以 （2）因为， 所以∽， 由于，分别是的中点， 故， 由（1）知， 所以 . 4-2．（22-23高一下·海南·期中）如图，在中，是边上的中线，为的中点． (1)用，表示； (2)用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】
（1）（2）根据图形，利用向量的线性运算即可. 【详解】（1） 因为是边上的中线， 所以. （2）因为为的中点， 所以. 4-3．（22-23高一下·广西钦州·期中）如图，在中，，，BE与AD相交于点M． (1)用，表示，； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由BC＝4BD得出，然后可得；根据得出，然后根据即可用表示出； （2）根据A，M，D三点共线得出，然后根据平面向量基本定理得出；根据B，M，E三点共线得出，然后即可根据平面向量基本定理求出k的值，进而得出的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以． 因为，所以，
所以． （2）因为A，M，D三点共线，所以． 因为，所以，即． 因为B，M，E三点共线，所以． 因为，所以． 因为，所以，解得， 从而，，故． 4-4．（22-23高一下·江苏盐城·期中）如图，在中，点D为的中点，点E在线段上，与交于点O. (1)若，求证：； (2)若，，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由点D为的中点可得，再结合已知条件即可证明； （2）设，，，利用向量加减法法则可得，，从而可得，即可求解. 【详解】（1）因为点D为的中点，所以，
因为，， 两式相加得， 所以， 即. （2）由，得， 设，，， 则， 又. 所以， 因为，不共线，所以，解得. 4-5．（22-23高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 . 【答案】/1.25 【分析】 首先连接，根据平面向量的加法几何意义得到，即可得到答案. 【详解】连接，如图所示：
. 所以. 故答案为：
（四） 向量的数量积 求向量的数量积的两个关键点： 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路 解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
题型5：向量的数量积 5-1．（21-22高一下·北京·期中）已知向量和的夹角为，，，则等于（ ） A．15 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算求解即可. 【详解】∵向量和的夹角为，，， ∴. 故选：B. 5-2．（2011·黑龙江·三模）若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状. 【详解】∵，， ∴，两边平方，化简得∴. ∴为直角三角形. 因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形. 故选：D. 5-3．（22-23高一下·山东青岛·期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的数量积的几何意义求解. 【详解】解：如图所示： 因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点， 由图象知：， 所以， 故选；C 5-4．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ） A．4 B． C． D．2 【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合图形，由平面向量数量积的几何意义即可得到结果. 【详解】∵，∴为中点，则为直径，∴， 又∵在上的投影向量为，如图： 过作，垂足为点，∴， ∴为中点，则， ∴. 故选：A
题型6：向量数量积的应用 6-1．（17-18高一下·内蒙古·单元测试）若，，且，则（ ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】将垂直关系转化为数量积计算. 【详解】因为，所以， 由得， 即， 即， 因为，所以，所以. 故选：B 6-2．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）已知，，且则在上的投影数量为（ ）
A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，从而求得，再由投影数量的定义直接计算即可． 【详解】， ， ，即， ， 在上的投影数量为． 故选：D． 6-3．（20-21高三上·黑龙江鹤岗·期中）已知平面向量，，且，则（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意，先求出两向量与的坐标，再由模长公式建立方程，即可解得的值. 【详解】因为，， 所以，， 又，可得， 即，整理得：， 解得：. 故选：C 6-4．（21-22高一下·河南焦作·期中）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（ ） A． B． C．2 D．
【答案】B 【分析】由取得最小值得点为线段的中点，由得， 由配方可得答案. 【详解】当时，取得最小值，因为， 所以此时点为线段的中点， 因为，所以，故， 则， 因为， 故． 故选：B. 6-5．（2023·吉林·模拟预测）已知向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的数量积的定义求解即可. 【详解】设向量与的夹角为，则， 又，故. 故选：B.
6-6．（22-23高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D
一、单选题
1．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【答案】C
【分析】
根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
2．（22-23高一下·山东滨州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】
利用向量的相关性质逐项判断即可.
【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；
对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误；
对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确；
对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.
故选：C.
3．（22-23高二上·浙江台州·开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
【答案】D
【分析】
根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．
对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确；
故选：D．
4．（22-23高一下·北京·期中）设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确.
【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误；
由向量的三角形法则可得，即B错误；
易知，所以可得，即C错误；
由向量的减法法则可得，所以D正确；
故选：D
5．（2023高一·全国·专题练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
【详解】
由题意可得：.
故选：C．
6．（22-23高一下·新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
【答案】D
【分析】
根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案.
【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；
向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.
故选：D
7．（22-23高一下·北京·期中）给出下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若且，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.
【详解】
对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，
对于B，若，，则，∴B正确，
对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，
对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.
故选：B．
8．（21-22高一下·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（ ）
A．若ABCD为平行四边形，则 B．若，，则
C．互为相反向量的两个向量模相等 D．
【答案】B
【分析】
根据向量的相关概念和线性运算逐项分析判断.
【详解】对于A：若ABCD为平行四边形，则，故A正确；
对于B：若，则与任何向量均平行，
可得，，但不一定平行，故B错误；
对于C：相反向量：模长相等，方向相反的向量互为相反向量，
所以互为相反向量的两个向量模相等，故C正确；
对于D：因为，故D正确；
故选：B.
9．（22-23高一下·山西运城·期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】A
【分析】
利用向量共线定理求解即可
【详解】因为向量与方向相同，
所以存在唯一实数，使，
因为向量，不共线，
所以，解得或（舍去），
故选：A
10．（22-23高一下·云南西双版纳·期中）在四边形中，若，且，则（ ）
A．在四边形是矩形
B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形
D．在四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】
由平面向量加法的平行四边形法则可判断为平行四边形，再由向量加法、减法运算和模的含义可得对角线相等，然后可判断四边形形状.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，
又，所以，即对角线相等，所以四边形为矩形.
故选：A
11．（22-23高一下·全国·期中）平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：，则下列结论正确的是（ ）
A．在上，且 B．在上，且
C．在上，且 D．点为的重心
【答案】A
【分析】
根据平面向量线性运算求得正确答案.
【详解】
依题意，，，
，所以三点共线，所以A选项正确.
故选：A
12．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④.
【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；
对于②，若，，则，②对；
对于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；
对于④，取，则、不一定共线，④错；
对于⑤，若、、、是不共线的四点，
当时，则且，此时，四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，
所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
13．（22-23高三上·四川成都·期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误；
选项B，当时，有，，但可以和不平行，故选项B错误；
选项C，若，由向量相等的条件知：，故选项C正确；
选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.
故选：C
14．（22-23高一下·河南驻马店·期中）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断.
【详解】因为，，，，
所以，
所以是等边三角形．
故选：A．
15．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）以下结论中错误的是（ ）
A．若，则
B．若向量，则点与点不重合
C．方向为东偏南的向量与北偏西的向量是共线向量
D．若与是平行向量，则
【答案】D
【分析】
利用向量共线的基本定理可判定A、C、D选项，利用向量相等的性质可以判断B选项.
【详解】
对于A选项，若，则，则，故A说法正确；
对于B选项，若向量，则两向量的起点都是A，点与点不重合，故B说法正确；
对于C选项，方向为东偏南的向量与北偏西的向量可知，两个向量方向相反，是共线向量，故C说法正确；
对于D选项，若与是平行向量，则，两向量的模长不一定相等，故D说法错误；
故选：D.
16．（22-23高一下·江苏南京·期中）设，都是非零向量，下列四个条件中，使得成立的条件是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】
根据单位向量的含义结合向量同向还是反向，一一判断各选项，即得答案.
【详解】
由题意可知分别表示与，同向的单位向量，
对于A，当时，，反向，，A错误；
对于B，，则，反向时，，B错误；
对于C，当时，，C正确；
对于D，且时，有可能是 ，此时，D错误，
故选：C
17．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
18．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，再利用投影数量的定义可求得结果.
【详解】因为，则，，
则，可得，
所以，在方向上的投影.
故选：D.
19．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．，且与方向相反
C． D．，无论什么关系均可
【答案】A
【分析】对两边平方得到，结合平面向量数量积公式得到，从而，且与方向相同.
【详解】，两边平方得，
化简得，即，
又，其中为，的夹角，
因为，为非零向量，所以，则.
故，且与方向相同.
故选：A
20．（2024·广东佛山·二模）已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若，则，即，
与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设与的夹角为，则，，
所以，故选项B 说法错误；
选项C：若，则，
所以，，即，
所以，
又，所以，故选项C说法错误；
选项D：因为，，
所以，化简得，
设与的夹角为，则，，所以，
所以，即，所以，故选项D说法正确；
故选：D
21．（2020·陕西咸阳·三模）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可得，结合数量积的运算律可推出，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
即,即，
又，所以，即，
而，所以，
故选：B
22．（2018·河北石家庄·一模）若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量模的关系式，可选择设，化简此式推得，求得，继而利用向量的夹角公式即可求得.
【详解】
设，则.
由，可得，
故以为邻边的平行四边形是矩形，且，
设向量与的夹角为θ，则cos θ＝,
又，所以.
故选：D.
23．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以.
故选：D
二、多选题
24．（22-23高一下·安徽六安·期中）已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若，满足，且与同向，则
【答案】BD
【分析】
根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确；
对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误；
故选：BD
25．（22-23高一下·四川南充·期中）给出下列命题正确的是（ ）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则
D．若四边形满足，则四边形是平行四边形
【答案】BD
【分析】
根据单位向量以及相反向量可判断AB，由向量以及相等向量可判断AD.
【详解】对于A,单位向量是模长相等，方向不一定相同，故A错误，
对于B，由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量，故B正确，
对于C，向量不可以比较大小，故C错误,
对于D，，则，且,故为平行四边形，故D正确，
故选：BD
26．（22-23高一下·陕西咸阳·期中）下列说法中，错误的有（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
【答案】ABC
【分析】
利用向量的概念、相等向量、共线向量的概念一一判定即可.
【详解】对于A项，可知向量与向量方向相反故非相等向量，A错；
对于B项，由于向量具有方向，故不能判定大小，其模有大小，B错；
对于C项，向量的平行包含重合，但有向线段平行与重合是两个概念，C错；
对于D项，共线向量所在的直线可以是平行也可以重合，D正确.
故选：ABC
27．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
28．（22-23高一下·陕西西安·期中）下列命题正确的的有（ ）
A．
B．
C．若，则共线
D．，则共线
【答案】ABC
【分析】
根据向量的数乘运算判断A，B；由共线向量的定义判断C，D.
【详解】解：对于A，，故正确；
对于B，，故正确；
对于C，因为，所以，所以共线，故正确；
对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.
故选：ABC.
29．（22-23高一下·山西大同·期中）下列命题中是假命题的为（ ）
A．已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B．若，共线，则
C．已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底
D．若，，三点共线，则
【答案】AB
【分析】
A中，共线向量有可能有零向量，所以不能作为基底，判断A的真假；B中，共线向量不一定相等，判断B的真假；C中，由向量的基底的定义及向量的基本性质，可得，不共线，判断C的真假；D中，由三点共线的性质可判断D的真假．
【详解】
A中，若或中至少一个为零向量时，，就不能作为基底，所以A不正确；
B中，若，共线，而，的方向不一定相同，且模长也不一定相等，所以B不正确；
C中，因为是平面的一个基底，则与不共线，而，所以，不共线，所以可以作为该平面的基底，所以C正确；
D中，由题得得，，即，
即，即，所以D正确；
故选：AB．
30．（22-23高一下·河南郑州·期中）在中，点满足，过点的直线与、所在的直
线分别交于点、，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．为定值
D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】
根据题意，利用向量的线性运算，得到，结合、、三点共线，求得，再化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
如图所示，因为，即，所以，
又因为，，
所以，，所以，
因为、、三点共线，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：BCD．
31．（22-23高一下·四川眉山·期中）若都是非零向量，且，则（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
【答案】AC
【分析】
根据相等向量的概念判断各选项即可.
【详解】由相等向量的概念可知，由都是非零向量，且，
则方向相同，长度相等，故AC正确，B错误；
而，故D错误.
故选：AC.
32．（22-23高一下·江苏连云港·期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
【答案】ACD
【分析】
A由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；B由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；C由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；D令，，则为的重心，由此求出面积比即可.
【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又∵，∴，∴，
∴为的重心，故选项A正确；
对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，
则，，
∵，∴，
∴，∴，，∴，，
∴，分别是，边上的垂直平分线，
∴，为的外心，故选项B错误；
对于C，作角的内角平分线与边交于点，
∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，
∴（），∴（），
∴，∴，∴，为等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴为等边三角形，故选项C正确；
对于D，设，，由得，
则由选项A可知，为的重心，设的面积，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，故选项D正确.
故选：ACD.
33．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】结合正八边形的几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，，
在中，
正八面体的边长为，
三角形是等腰直角三角形，所以，所以，A选项正确.
由于，所以三角形是直角三角形，所以，B选项错误.
因为，，
，D选项正确.
由于，，
所以三角形是直角三角形，且，所以C选项正确.
故选：ACD.
三、填空题
34．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，，，为平面上的四个点，则 .
【答案】
【分析】
利用平面向量的线性运算化简即可.
【详解】.
故答案为：.
35．（22-23高一下·上海长宁·期中）若，，则 .
【答案】/
【分析】
根据计算得到答案.
【详解】
故答案为：
36．（22-23高一下·湖南常德·期中）如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用表示向量
（2）用表示向量
【答案】
【分析】
根据图形进行向量线性运算即可.
【详解】，
为的中点，，可得，
，．
∵，则
∴，
故答案为：；.
37．（22-23高三上·湖北·期中）设点M是的对角线的交点，O为任意一点，满足，则为 ．
【答案】4
【分析】
由为， 中点可得，，两式相加即可.
【详解】因为M是的对角线的交点，所以为中点，
故，所以，故
同理：，
所以，故，
故答案为：4.
38．（22-23高一下·重庆·期中）在中，是的中点，点在上，满足，设，则 （用 表示）．
【答案】
【分析】
根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得结果.
【详解】如下图示，.
故答案为：
39．（23-24高三上·广东梅州·期中）正六边形的中心是点，以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量共有 个，与的模相等且夹角为的向量共有 个．
【答案】
【分析】
直接写出符合条件的向量即可得个数.
【详解】与相等的向量有，共个，
与的模相等且夹角为的向量有，共个.
故答案为：；.
40．（21-22高一下·浙江金华·期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示
的正五角星中，，，，，是正五边形的五个顶点，且，若，则 （用表示）.
【答案】
【分析】
使用平面向量线性运算知识进行求解即可.
【详解】由已知，结合正五角星的图形，有
，
∵与方向相同，，
∴.
故答案为：.
41．（22-23高一下·北京顺义·期中）如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么 .
【答案】1
【分析】
可作单位向量，从而可用表示向量，根据平面向量基本定理即可得出关于的方程组，求解
即可.
【详解】如图所示，作单位向量,
则，，
所以.
又，所以,
所以，解得，
所以.
故答案为:1.
42．（22-23高一下·江西九江·期中）如图，在中，点是的中点,点在边上，且满足，交于点，设，则 ； .
【答案】
【分析】
根据向量共线定理表示出，从而求出，即可求解出
【详解】
设,
根据向量共线定理，得：
，
所以
又因为
所以
解得：，即，
代入
解得：,
则有
故答案为：； ；
【点睛】根据向量共线定理求解，通过的关系找到突破点求解即可；
43．（21-22高一下·山东日照·期中）将函数的图像和直线的所有交点从左到右依次记为，若点坐标为，则 .
【答案】
【分析】作出函数图象，利用函数的对称性及向量的加法运算即可求解.
【详解】如图，因为函数的图像关于点对称，直线也关于点对称，
所以与与都关于对称，
因为，，
所以
因为点，，所以
即，
故答案为：.
四、解答题
44．（22-23高一下·江西赣州·期中）如图，在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．
(1)用和分别表示和；
(2)若直线交于点，交于点，交于点，，求最小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将用表示，再根据三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，
，
；
（2）由，
得，
，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为.
45．（22-23高一下·山东·期中）如图，在梯形ABCD中，，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设，．
(1)用，表示；
(2)用，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设知且，根据用表示出即可；
（2）由题意可得，再用表示出即可.
【详解】（1）在中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，且，
故.
（2）因为，所以，则，
故
.
46．（23-24高三上·辽宁·期中）如图，在中，是边上的中线．
(1)取的中点，试用和表示；
(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，为的中点，所以，
又为的中点，
所以．
（2）由，，，
得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
47．（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）设向量，不共线．若，．若A，B，C三点共线，求实数的值．
【答案】2.
【分析】
根据给定条件，利用平面向量基本定理列式计算作答.
【详解】因为A，B，C三点共线，则，存在实数，使得，而，．
因此，即，又向量，不共线，
于是，解得，
所以实数的值是2.
48．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
49．（22-23高一下·山东潍坊·期中）设，是平面内不平行的非零向量，，.
(1)证明：，组成平面上向量的一组基底；
(2)请探究是否存在实数k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）证明不共线即可；
（2）设，然后可建立方程组求解即可.
【详解】（1）假设共线，设，
则，
因为，是平面内不平行的非零向量，所以，无解，
所以不共线，所以，组成平面上向量的一组基底，
（2）假设存在实数k，使得和平行，
设，则，
因为，是平面内不平行的非零向量，所以，解得，
所以存在实数k，使得和平行，.
50．（22-23高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.
(1)当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，
①求的最小值；
②设的面积为，的面积为，求的最小值.
(2)若的面积为，，且，，，，，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1可得的关系，再利用基本不等式即可得解；
②利用三角形的面积公式结合条件可得，然后利用基本不等式求解即可；
（2）设D为BC的中点，从而可得，则，再结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）
①因为，所以，
又，
因为E，O，F三点共线，所以，
所以，
当且仅当取等号，
所以的最小值为；
②，
又由①知，
所以
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为；
（2）
设D为BC的中点，则，
所以，
所以，
又，
，
所以，
所以，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1得出的关系，是解决本题的关键.
51．（22-23高一下·浙江绍兴·期中）在中，为的中点，为的中点，过点作一条直线分别交线段，于点，．
(1)若，，，，求；
(2)求与面积之比的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意求得，再结合数量积的运算律即可求解；
（2）先设，再根据题意求得，再根据平面向量基本定理，基本不等式和三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）依题意可得，，
又，则，
所以，
所以，
所以，
故．
（2）设，
由为的中点，为的中点，
则，
又三点共线，则，
所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，即．
52．（23-24高三上·天津河西·期中）如图，中，是的中点，与交于点.
(1)用表示；
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据题意，由平面向量的减法运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，再由三点共线定理，即可得到结果；
（3）根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）.
（2）因为三点共线，所以，解得.
（3），由（1）可知，
所以，得，
则，
所以
所以的最大值为.
53．（23-24高二上·北京·期中）记所有非零向量构成的集合为，对于，定义，
(1)若，求出集合中的三个元素；
(2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据集合新定义设，列式化简可得，即可得答案；
（2）先证明中向量都是共线向量，设，根据集合新定义推出，，可得，结合为共线向量，推得，即可证明结论.
【详解】（1）设，由得，
即，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9，
故中的三个元素为；
（2）先证明中向量都是共线向量，
不妨设，
因为，所以中至少有一个不为0，
若，记，
显然，即，故，
任取，因为，所以，
故，则，
故，则，则问题得证；
若，同理可证明，其中；
故综合上述中向量都是共线向量，
因为，所以不妨设，
则由定义知，即，同理，
故，则，
同理可得，故为共线向量，
即存在实数，使，即，
因为，所以，所以，
记，则，
即一定存在实数，且，使得.
【点睛】
难点点睛：本题考查了集合的新定义问题，解答时要注意理解新定义，并能根据该定义去解决问题，难点在于第二问的证明，解答时要首先证明中向量都是共线向量，然后推出，结合为共线向量，推得，即可证明结论.2023-2024学年高一数学：平面向量的概念与运算
一、平面向量的概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如力、位移等．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．
(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作(如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．
(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定．
二、向量的表示法
(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的长度(或称模)，如果向量的长度记作||．
(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母、、，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为．
三、与向量有关的概念
名称 定义 记法
零向量 长度为0的向量叫做零向量 0
单位向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 a＝b
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量
平行 向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 a∥b
规定：零向量与任何向量都平行 0∥a
说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量
四、向量的加法运算
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量．
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作＝a，＝b，则向量叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图乙所示)，作＝a，＝b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则向量＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
2．向量加法的交换律
已知向量a、b，如图所示，作＝a，＝b，如果A、B、C不共线，则＝a＋b．
作＝b，连接DC，如果我们能证明＝a，那么也就证明了加法交换律成立．
由作图可知，＝＝b，所以四边形ABCD是平行四边形，这就证明了＝a，即a＋b＝b＋a.向量的加法满足交换律．
3．向量加法的结合律
如图，作＝a，＝b，＝c，由向量加法的定义，知＝＋＝a＋b，
＝＋＝b＋c，
所以＝＋＝(a＋b)＋c，＝＋＝a＋(b＋c)．
从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律．
五、向量的减法运算
1．相反向量
定义 如果两个向量长度相等，而方向相反那么称这两个向量是相反向量
性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0
②若a、b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0
③零向量的相反向量仍是零向量
2．向量的减法
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝.如图所示
几何意义 如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
六、向量的数乘运算
1．向量的数乘
定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度 |λa|＝|λ||a|
方向 λ>0 λa的方向与a的方向相同
λ＝0 λa＝0
λ<0 λa的方向与a的方向相反
2．数乘的几何意义
λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．
3．向量数乘的运算律
向量的数乘运算满足下列运算律：
设λ、μ为实数，则
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
5．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
七、向量的数量积
1．平面向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角
记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ
规定 零向量与任一向量的数量积为0
投影 |a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
2．两个向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，
(1)a⊥b a·b＝0．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝．
(3)|a·b|≤|a||b|．
3．平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ．
(1)交换律：a·b＝b·a．
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
（一） 向量的基本概念 向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小． 1.理解向量概念应关注的两点 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． (2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 2．对平行向量、相等向量概念的理解 (1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”． (2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的． (3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 3.在平面图形中寻找共线、相等向量的方法： (1)在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量. (2)相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等且方向相同的共线向量即可. 注意：判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同. 在平面图形中找相等向量、共线向量时，要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系.
题型1：向量的基本概念 1-1．（22-23高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（ ） （1）温度 速度 位移 功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 1-2．（22-23高一下·江西赣州·期中）下列说法正确的是（ ） A．加速度、力、位移、速率、功都是数学中的向量 B． C．是的充分不必要条件 D．单位向量的方向是任意的 1-3．（22-23高一下·天津河北·期中）下列说法中正确的是（ ） A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 B．零向量是最小的向量 C．若向量与向量平行，向量与向量平行，则向量与向量一定平行 D．单位向量的长度为1 1-4．（22-23高一下·河南濮阳·期中）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
（二） 向量的线性运算 1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则 (1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边
形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． (2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了． (3)向量求和的多边形法则 ①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即 ＋＋＋…＋An－2An－1＋An－1An＝ ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 2.（1）向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”． （2）由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐． （3）如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛． 3.向量的加减法运算有如下方法： (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)； 2)运用减法公式(正用或逆用均可)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题. 4.注意向量数乘的特殊情况： ①若λ＝0，则λa＝0； ②若a＝0，则λa＝0． 应该特别注意的是结果是向量0，而非实数0．
题型2：向量的线性运算 2-1．（23-24高一下·全国·期中）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 2-2．（2020高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 2-3．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量
（三） 向量的共线 1.向量共线定理的理解注意点及主要应用
（1）定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa． （2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0． 2.利用已知向量表示其他向量的思路： 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法. 常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即所以及(M，N均是同一平面内的任意点).
题型3：向量的共线问题 3-1．（23-24高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 3-2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为 A． B． C． D． 3-3．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值.
题型4：利用已知向量表示其他向量 4-1．（22-23高一下·贵州毕节·期中）如图，在梯形中，，分别是的中点，与相交于点，设. (1)用表示； (2)用表示. 4-2．（22-23高一下·海南·期中）如图，在中，是边上的中线，为的中点． (1)用，表示； (2)用，表示． 4-3．（22-23高一下·广西钦州·期中）如图，在中，，，BE与AD相交于点M． (1)用，表示，； (2)若，求的值． 4-4．（22-23高一下·江苏盐城·期中）如图，在中，点D为的中点，点E在线段上，与交于点O.
(1)若，求证：； (2)若，，求实数的值. 4-5．（22-23高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .
（四） 向量的数量积 求向量的数量积的两个关键点： 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路 解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
题型5：向量的数量积 5-1．（21-22高一下·北京·期中）已知向量和的夹角为，，，则等于（ ） A．15 B．12 C．6 D．3 5-2．（2011·黑龙江·三模）若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 5-3．（22-23高一下·山东青岛·期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5-4．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ） A．4 B． C． D．2
题型6：向量数量积的应用 6-1．（17-18高一下·内蒙古·单元测试）若，，且，则（ ） A． B．6 C．3 D． 6-2．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）已知，，且则在上的投影数量为（ ） A． B． C． D． 6-3．（20-21高三上·黑龙江鹤岗·期中）已知平面向量，，且，则（ ） A．1 B．2 C． D．4 6-4．（21-22高一下·河南焦作·期中）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 6-5．（2023·吉林·模拟预测）已知向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6-6．（22-23高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ） A． B．
C． D．
一、单选题
1．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
2．（22-23高一下·山东滨州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．（22-23高二上·浙江台州·开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
4．（22-23高一下·北京·期中）设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高一·全国·专题练习）（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一下·新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
7．（22-23高一下·北京·期中）给出下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若且，则 D．若，，则
8．（21-22高一下·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（ ）
A．若ABCD为平行四边形，则 B．若，，则
C．互为相反向量的两个向量模相等 D．
9．（22-23高一下·山西运城·期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
10．（22-23高一下·云南西双版纳·期中）在四边形中，若，且，则（ ）
A．在四边形是矩形
B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形
D．在四边形是平行四边形
11．（22-23高一下·全国·期中）平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：，则下列结论正确的是（ ）
A．在上，且 B．在上，且
C．在上，且 D．点为的重心
12．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
13．（22-23高三上·四川成都·期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
14．（22-23高一下·河南驻马店·期中）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
15．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）以下结论中错误的是（ ）
A．若，则
B．若向量，则点与点不重合
C．方向为东偏南的向量与北偏西的向量是共线向量
D．若与是平行向量，则
16．（22-23高一下·江苏南京·期中）设，都是非零向量，下列四个条件中，使得成立的条件是（ ）
A． B． C． D．且
17．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知向量、满足，则在方向上的投影数量为（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．，且与方向相反
C． D．，无论什么关系均可
20．（2024·广东佛山·二模）已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
21．（2020·陕西咸阳·三模）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2018·河北石家庄·一模）若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
23．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．（22-23高一下·安徽六安·期中）已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若，满足，且与同向，则
25．（22-23高一下·四川南充·期中）给出下列命题正确的是（ ）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则
D．若四边形满足，则四边形是平行四边形
26．（22-23高一下·陕西咸阳·期中）下列说法中，错误的有（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
27．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，
且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（22-23高一下·陕西西安·期中）下列命题正确的的有（ ）
A．
B．
C．若，则共线
D．，则共线
29．（22-23高一下·山西大同·期中）下列命题中是假命题的为（ ）
A．已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B．若，共线，则
C．已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底
D．若，，三点共线，则
30．（22-23高一下·河南郑州·期中）在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．为定值
D．的最小值为
31．（22-23高一下·四川眉山·期中）若都是非零向量，且，则（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
32．（22-23高一下·江苏连云港·期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
33．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
34．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，，，为平面上的四个点，则 .
35．（22-23高一下·上海长宁·期中）若，，则 .
36．（22-23高一下·湖南常德·期中）如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用表示向量
（2）用表示向量
37．（22-23高三上·湖北·期中）设点M是的对角线的交点，O为任意一点，满足，则为 ．
38．（22-23高一下·重庆·期中）在中，是的中点，点在上，满足，设，则 （用 表示）．
39．（23-24高三上·广东梅州·期中）正六边形的中心是点，以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量共有 个，与的模相等且夹角为的向量共有 个．
40．（21-22高一下·浙江金华·期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，，，，，是正五边形的五个顶点，且，若，则 （用表示）.
41．（22-23高一下·北京顺义·期中）如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么 .
42．（22-23高一下·江西九江·期中）如图，在中，点是的中点,点在边上，且满足，交于点，设，则 ； .
43．（21-22高一下·山东日照·期中）将函数的图像和直线的所有交点从左到右依次记为，若点坐标为，则 .
四、解答题
44．（22-23高一下·江西赣州·期中）如图，在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．
(1)用和分别表示和；
(2)若直线交于点，交于点，交于点，，求最小值.
45．（22-23高一下·山东·期中）如图，在梯形ABCD中，，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设，．
(1)用，表示；
(2)用，表示．
46．（23-24高三上·辽宁·期中）如图，在中，是边上的中线．
(1)取的中点，试用和表示；
(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．
47．（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）设向量，不共线．若，．若A，B，C三点共线，求实数的值．
48．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
49．（22-23高一下·山东潍坊·期中）设，是平面内不平行的非零向量，，.
(1)证明：，组成平面上向量的一组基底；
(2)请探究是否存在实数k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
50．（22-23高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.
(1)当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，
①求的最小值；
②设的面积为，的面积为，求的最小值.
(2)若的面积为，，且，，，，，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值.
51．（22-23高一下·浙江绍兴·期中）在中，为的中点，为的中点，过点作一条直线分别交线段，于点，．
(1)若，，，，求；
(2)求与面积之比的最小值．
52．（23-24高三上·天津河西·期中）如图，中，是的中点，与交于点.
(1)用表示；
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
53．（23-24高二上·北京·期中）记所有非零向量构成的集合为，对于，定义，
(1)若，求出集合中的三个元素；
(2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得.
