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1.2 勾股定理的逆定理 同步考点练习
【考点1：勾股定理的逆定理的运用】
【考点2：直角三角形的判断】
【考点3：勾股定理的逆定理应用】
【考点4：勾股数的应用】
知识点1：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
【考点1：勾股定理的逆定理的运用】
【典例1】（2023春 怀柔区期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．2，， C．1，2， D．6，8，10
【答案】D
【解答】解：A、∵32+42＝25，62＝36，
∴32+42≠62，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵22+（）2＝7，（）2＝5，
∴22+（）2≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+（）2＝3，22＝4，
∴12+（）2≠22，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵62+82＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2023春 郾城区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形是（ ）
A．，， B．1，2，3
C．0.3，0.4，0.5 D．，，
【答案】C
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、（）2≠（）2+（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2023春 临潼区期末）在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17
【答案】C
【解答】解：A、因为52+122＝132，所以是直角三角形，不符合题意；
B、因为62+82＝102，所以是直角三角形，不符合题意；
C、因为72+232≠252，所以不是直角三角形，符合题意；
D、因为82+152＝172，所以是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2023春 长寿区期末）若△ABC的三边长为a，b，c，则下列不是直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝7，c＝8 B．a＝1，，
C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝3，b＝4，c＝5
【答案】A
【解答】解：A、∵a2+b2＝62+72＝85，c2＝82＝64，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故A符合题意；
B、∵a2+c2＝12+（）2＝3，b2＝（）2＝3，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝1.52+22＝6.25，c2＝2.52＝6.25，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
【考点2：直角三角形的判断】
【典例2】（2023春 庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①由∠A＝∠B﹣∠C，可知：∠B＝90°，是直角三角形．
②由a2＝（b+c）（b﹣c），可得a2+c2＝b2，是直角三角形．
③由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可知不是直角三角形．
④由a：b：c＝5：12：13，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形．
故选：C．
【变式2-1】（2023春 江津区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝1：2：3 B．a2＝b2+c2
C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【答案】A
【解答】解：A、∵a：b：c＝1：2：3，
设a＝x，b＝2x，c＝3x，
∵（x）2+（2x）2≠（3x）2，
∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵a2＝b2+c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠B+∠C＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【变式2-2】（2023春 山亭区期中）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故①正确；
②∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；故②正确；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故③正确；
④∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°，
∴△ABC不是直角三角形；故④错误；
综上：能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③；
故选：A．
【变式2-3】（2023春 北京期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝b＝1，c＝
【答案】B
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2＝12+12＝2，c2＝（）2＝2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【典例3】（2023春 北京期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）△ACD为直角三角形，理由见解答；
（2）四边形ABCD的面积为．
【解答】解：（1）△ACD为直角三角形，
理由：由题意得：AC2＝32+32＝18，
CD2＝22+22＝8，
AD2＝12+52＝26，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD＝90°；
（2）在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC＝90°，
∴SRt△ABC＝AB BC＝×3×3＝；
在Rt△ACD中，AC＝，CD＝，
∴SRt△ACD＝AC CD＝×3×2＝6
∴S四边形ABCD＝SRt△ABC+SRt△ACD＝+6＝，
∴四边形ABCD的面积为．
【变式3-1】（2023春 良庆区期末）计算：如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上．
（1）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点C到AB边的距离．
【答案】（1）三角形ABC不是直角三角形，理由见解答；
（2）点C到AB边的距离为．
【解答】解：（1）三角形ABC不是直角三角形，
理由：由题意得：AC2＝12+22＝5，
AB2＝22+32＝13，
BC2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2≠AB2，
∴三角形ABC不是直角三角形；
（2）设点C到AB边的距离为h，
由（1）可得AB＝，
∵△ABC的面积＝AB h＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3，
∴h＝9﹣1﹣﹣3，
解得：h＝，
∴点C到AB边的距离为．
【变式3-2】（2023春 绵阳期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求点D到AC、BC的距离之和．
【答案】（1）见解析；
（2）16.8．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，
∴BC＝15；
在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2，即122+AD2＝202，
∴AD＝16，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，
S△ADC＝S△ADE+S△CDE，
，即20DE＝16×12，
∴DE＝9.6，
，即15DF＝9×12，
∴DF＝7.2，
∴DE+DF＝9.6+7.2＝16.8．
【变式3-3】（2023春 泸县校级期中）如图所示，每个网格正方形的边长为1cm，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）求△ABC的周长．
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．
（3）求边AB上的高．
【答案】（1）；（2）锐角三角形，3.5；（3）．
【解答】解：（1）由勾股定理得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝，
则△ABC的周长为；
（2）
∵AC＝，AB＝，BC＝，
∴AC2+BC2≠AB2，
如图，△ACD中，AC2+CD2＝（）2+（）2＝10，AD2＝（）2＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠DCA＝90°，
∴∠ACB＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，
△ABC的面积S＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣﹣×2×3＝3.5；
（3）设C到AB的距离为a，
则×AB×a＝3.5，
∵AB＝，
∴a＝，
∴点C到AB边的距离是．
【考点3：勾股定理的逆定理应用】
【典例4】（2023春 虞城县期末）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）36cm2．
【解答】解：（1）直角三角形，理由如下：
在△BCD中，CD＝6，BC＝8，BD＝10，
∴CD2+BC2＝62+82＝100＝102＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形；
（2）由（1）知：△BCD是直角三角形且∠C＝90°，
∴，
过点A作AE⊥BD于E，
根据等腰三角形“三线合一”可知：点E为BD中点，
∴BE＝DE＝5，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AE＝＝12，
∴，
∴阴影部分面积为＝S△ABD﹣S△BCD＝36（cm2）．
【变式5-1】（2023春 惠城区校级期中）如图，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
【答案】四边形ABCD的面积为36．
【解答】解：如图所示，连接AC，
∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，
∴△ABC是直角三角形，
∴，，
∵CD＝12，DA＝13，AC＝5，52+122＝132，即AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，
∴，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
【变式6-2】（2023春 南开区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：∠D＝90°；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）234．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，
即∠D＝90°；
（2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCD＝ BC+AD CD，
＝
＝234．
【变式4-3】（2023春 休宁县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）AC的长为5；
（2）四边形ABCD的面积为36．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的长为5；
（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝AD CD+AC BC
＝×4×3+12×5
＝6+30
＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
知识点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【考点4：勾股数的应用】
【典例5】（2023秋 南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13
【答案】A
【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股数，符合题意；
B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；
C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股数，不符合题意；
D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
【变式5-1】（2023秋 福田区校级期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10
【答案】D
【解答】解：A、22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、82+62＝102，故是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式5-2】（2023秋 六盘水期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．1，， C．7，24，25 D．2，3，4
【答案】C
【解答】解：A．因为，不是整数，所以不是勾股数，此项不符合题意；
B．因为，不是整数，所以不是勾股数，不符合题意；
C．因为72+242＝252，所以是勾股数，此项符合题意；
D．因为22+32≠42，所以不是勾股数，此项不符合题意．
故选：C．
一．选择题（共6小题）
1．（2024春 临县月考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，11，13
【答案】C
【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，不符合题意．
B、22+32＝13≠42，不是勾股数，不符合题意．
C、32+42＝25＝52，是勾股数，符合题意．
D、52+112＝146≠132，不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
2．（2024春 凉州区期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．4，6，7
【答案】C
【解答】解：A、∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股数，故不符合题意；
B、∵32+42≠62，∴3，4，6不是勾股数，故不符合题意；
C、∵62+82＝102，∴6，8，10是勾股数，故符合题意；
D、∵42+62≠72，∴4，6，7不是勾股数，故不符合题意；
故选：C．
3．（2024春 无为市月考）若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a：b：c＝5：12：13；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④b2＝（a+c）（a﹣c）中能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
故△ABC是直角三角形；
②a：b：c＝5：12：13，设a＝5k，则b＝12k，c＝13k
可得：a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝（13k）2＝c2，
故△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角，
故△ABC不是直角三角形；
④b2＝（a﹣c）（a+c）＝a2﹣c2，
即 b2＝a2﹣c2，
故△ABC是直角三角形；
∴能判定△ABC是直角三角形的有3个，
故选：C．
4．（2024春 越秀区校级期中）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为AB＝13，BC＝3，CD＝4，AD＝12，∠C＝90°，则这块菜地的面积为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
【答案】D
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝4，
∴由勾股定理得，BD2＝BC2+CD2＝32+42＝25，
∴BD＝5，
∵AB＝13，AD＝12，
∴AB2＝132＝169，AD2＝122＝144，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形且∠ADB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ADB
＝
＝6+30
＝36，
即这块菜地的面积为36，
故选：D．
5．（2024春 思明区校级期中）如图，在2×3的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则∠AMB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接AB，
由题意得，，，，
∴AM2+AB2＝BM2，AM＝AB，
∴△ABM是等腰直角三角形，且∠BAM＝90°，
∴∠AMB＝45°，
故选：C．
6．（2023秋 莲都区期末）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD的长度是（ ）
A．5 B．6.5 C．6 D．13
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝169，AC2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
又∵CD是斜边AB边上的中线，
∴，
故选：B．
二．填空题（共3小题）
7．（2024春 拜城县期中）测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为 30 平方米．
【答案】30．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴三角形花园是直角三角形，且5米，12米是两条直角边，
∴这块花园的面积为平方米，
故答案为：30．
8．（2024春 路桥区期中）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，则四边形ABCD面积是 36 ．
【答案】36．
【解答】解：如图，连接BD，
在Rt△ABD中，AB＝3，DA＝4，
根据勾股定理得，BD＝＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB AD+BC BD
＝×3×4+×12×5
＝36．
故答案为：36．
9．（2023秋 方城县期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，若设边BC的长为a，边AC的长为b，边AB的c，则BD＝．当a＝6，b＝5，c＝7时，BD＝ 5 ．
【答案】5．
【解答】解：依题意：把a＝6，b＝5，c＝7代入，
得．
故答案为：5．
三．解答题（共5小题）
10．（2023秋 五华县期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝CD＝2，．（1）求AC的长；
（2）四边形ABCD的面积．
【答案】（1）2；
（2）4+2．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
在Rt△ABC中，；
（2）∵AC2+CD2＝（2）2+22＝24，AD2＝（2）2＝24，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝BC AB+CD AC
＝×2×4+×2×2
＝4+2．
11．（2024春 黄石期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为对角线，DE⊥AC于E，AB＝8，BC＝6，，．
（1）确定∠ADC的度数；
（2）求线段DE的长．
【答案】（1）∠ADC＝90°；
（2）2．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∵，，（2）2+（2）2＝102，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，AC为斜边，
∴∠ADC＝90°；
（2）由（1）知，∠ADC＝90°，AC＝10，
∵DE⊥AC于E，，，
∴AC DE＝AD CD，即DE＝＝＝2．
12．（2024春 京山市期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）∠BCD是直角吗？为什么？
【答案】（1）14.5；
（2）∠BCD是直角，理由见解答．
【解答】解：（1）四边形ABCD的面积＝5×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×4﹣1﹣×1×2＝14.5；
（2）∠BCD是直角，理由如下：
连接BD，
∵BC2＝22+42＝20，CD2＝12+22＝5，BD2＝32+42＝25，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD是直角．
13．（2023春 辛集市期末）材料阅读：给定三个数a、b、c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a、b、c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3、4、5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5、12、13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8、15、17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，故8、15、17是为勾股数．
（2）∵72+242＝252
∴该三角形是直角三角形
∴其面积＝×7×24＝84．
（3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24；
当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2．
故其周长为24或14+2．
14．（2022秋 南关区校级期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
【答案】96．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10．
∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×10×24﹣×6×8＝120﹣24＝96．
故阴影部分的面积是96．中小学教育资源及组卷应用平台
1.2 勾股定理的逆定理 同步考点练习
【考点1：勾股定理的逆定理的运用】
【考点2：直角三角形的判断】
【考点3：勾股定理的逆定理应用】
【考点4：勾股数的应用】
知识点1：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
【考点1：勾股定理的逆定理的运用】
【典例1】（2023春 怀柔区期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．2，， C．1，2， D．6，8，10
【变式1-1】（2023春 郾城区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形是（ ）
A．，， B．1，2，3
C．0.3，0.4，0.5 D．，，
【变式1-2】（2023春 临潼区期末）在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17
【变式1-3】（2023春 长寿区期末）若△ABC的三边长为a，b，c，则下列不是直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝7，c＝8 B．a＝1，，
C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝3，b＝4，c＝5
【考点2：直角三角形的判断】
【典例2】（2023春 庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（2023春 江津区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝1：2：3 B．a2＝b2+c2
C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【变式2-2】（2023春 山亭区期中）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【变式2-3】（2023春 北京期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝b＝1，c＝
【典例3】（2023春 北京期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式3-1】（2023春 良庆区期末）计算：如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上．
（1）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点C到AB边的距离．
【变式3-2】（2023春 绵阳期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求点D到AC、BC的距离之和．
【变式3-3】（2023春 泸县校级期中）如图所示，每个网格正方形的边长为1cm，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）求△ABC的周长．
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．
（3）求边AB上的高．
【考点3：勾股定理的逆定理应用】
【典例4】（2023春 虞城县期末）如图，等腰三角形ABD的腰长为13cm，底边BD＝10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
【变式5-1】（2023春 惠城区校级期中）如图，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春 南开区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：∠D＝90°；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式4-3】（2023春 休宁县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
知识点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【考点4：勾股数的应用】
【典例5】（2023秋 南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13
【变式5-1】（2023秋 福田区校级期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10
【变式5-2】（2023秋 六盘水期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．1，， C．7，24，25 D．2，3，4
一．选择题（共6小题）
1．（2024春 临县月考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，11，13
2．（2024春 凉州区期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．4，6，7
3．（2024春 无为市月考）若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a：b：c＝5：12：13；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④b2＝（a+c）（a﹣c）中能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024春 越秀区校级期中）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为AB＝13，BC＝3，CD＝4，AD＝12，∠C＝90°，则这块菜地的面积为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
5．（2024春 思明区校级期中）如图，在2×3的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则∠AMB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
6．（2023秋 莲都区期末）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD的长度是（ ）
A．5 B．6.5 C．6 D．13
二．填空题（共3小题）
7．（2024春 拜城县期中）测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为 平方米．
8．（2024春 路桥区期中）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，则四边形ABCD面积是 ．
9．（2023秋 方城县期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，若设边BC的长为a，边AC的长为b，边AB的c，则BD＝．当a＝6，b＝5，c＝7时，BD＝ ．
三．解答题（共5小题）
10．（2023秋 五华县期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝CD＝2，．（1）求AC的长；
（2）四边形ABCD的面积．
11．（2024春 黄石期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为对角线，DE⊥AC于E，AB＝8，BC＝6，，．
（1）确定∠ADC的度数；
（2）求线段DE的长．
12．（2024春 京山市期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）∠BCD是直角吗？为什么？
13．（2023春 辛集市期末）材料阅读：给定三个数a、b、c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a、b、c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3、4、5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5、12、13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边．（如题图所示）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8、15、17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
14．（2022秋 南关区校级期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
