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1.3 勾股定理的应用 同步考点练习
【考点1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】
【考点2应用勾股定理解决旗杆高度】
【考点3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】
【考点4应用勾股定理解决大树折断前的高度】
【考点5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
【考点6应用勾股定理解决航海问题】
【考点7应用勾股定理解决风吹荷花模型】
【考点8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】
【考点9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
【考点10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】
【考点11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】
【考点12面展开图-最短路径问题】
知识点：勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题
【考点1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】
【典例1】一架3m长的梯子，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙1.8m．
（1）如图1，AB＝3m，BC＝1.8m，求这架梯子的顶端距地面有多高？
（2）如图2，如果梯子靠墙下移，底端向右移动0.6m至点E处，求它的顶端A沿墙下移多少米？
【变式1-1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
【变式1-2】如图，梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，AB为2.5m，OB为0.7m．梯子的底端B外移0.8m到点D，当梯子顶端A沿墙下滑到点C时，求AC的长．
【变式1-3】如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m．
（1）这架梯子的顶端距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【考点2应用勾股定理解决旗杆高度】
【典例2】如图，小明为了测得学校旗杆AB的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离12m，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截BP，量得多出部分长度为4m，请你帮他计算出旗杆的高度．
【变式2-1】综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC为2米．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD为1米，以及点F到旗杆AB的距离FE为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度．
【变式2-2】如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处约2m，请设法算出旗杆的高度．
【变式2-3】小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
【考点3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】
【典例3】如图，有两棵树，分别记为AB，CD．其中一棵树AB高12米，另一棵树CD高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
【变式3-1】如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-2】有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8m B．10m C．12m D．14m
【变式3-3】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 米．
【考点4应用勾股定理解决大树折断前的高度】
【典例4】如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米．
（1）求出旗杆在离底部多少米的位置断裂；
（2）求点B到AC的距离．
【变式4-1】《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其顶端恰好着地，着地处离竹子根部6尺远，问：折处离地还有多高的竹子？（1丈＝10尺）
【变式4-2】如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？
【变式4-2】如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（AC）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【考点5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
【典例5】如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（ ）
A．9＜h＜10 B．9≤h≤10 C．5≤h≤13 D．5＜h＜13
【变式5-1】如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，茶杯的高度为 12 厘米．
【变式5-2】现将一支长16cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个底面长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为 cm．
【考点6应用勾股定理解决航海问题】
【典例6】如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上．
（1）求A处与小岛C之间的距离；
（2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时才能与小岛C的距离最短．
【变式6-1】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？
【变式6-2】如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，求此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离．
【变式6-3】已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以15km/h的速度向东航行；船B以10km/h的速度向北航行．它们离开港口2h后，相距多远？
【考点7应用勾股定理解决风吹荷花模型】
【典例7】如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'．请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？
【变式7-1】如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
【变式7-2】如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【考点8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】
【典例8】某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？
【变式8-1】某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．
（1）求BC的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
【考点9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
【典例9】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【变式9-1】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 9 s．
【变式9-2】6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式9-3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心由西向东，从A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围200km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？并说明理由．
【考点10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】
【典例10】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距7km，C，D为两村庄，DA＝3km，CB＝4km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
【变式10-1】如图在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m．
【变式10-2】滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．
【变式10-3】如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝8km，CB＝6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等．
（1）求E站应建在离A点多少km处？
（2）若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？
【考点11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】
【典例11】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式11-1】如图，在长方形ABCD中，DC＝9．在DC上找一点E，沿直线AE把△AED折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若△ABF的面积是54，则△FCE的面积＝ ．
【变式11-2】如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若AB＝12，BC＝18，则△BDE的面积＝ ．
【考点12面展开图-最短路径问题】
【典例12】长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A．25 B． C．20 D．
【变式12-1】如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm
【变式12-2】如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm
【变式12-3】如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（ ）
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
一．选择题（共13小题）
1．（2024春 临县月考）如图，明明从家里出发经过商店后前往书店（商店处不停留），步行速度为50米/分钟．出发4分钟后，爸爸发现他忘记带买书的费用，便抄近路直接前往书店送买书的费用，最终两人同时到达书店，则爸爸的平均步行速度为（ ）
A．40米/分钟 B．50米/分钟 C．60米/分钟 D．80米/分钟
2．（2024春 哈尔滨校级月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部落在距根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．12米
3．（2023秋 嵊州市期末）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．0.6米
4．（2024春 南岗区校级月考）如图，有一根电线杆在离地面9米A处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点12米远的地方，则电线杆断裂之前的长度为（ ）米．
A．12 B．15 C．21 D．24
5．（2023秋 陵水县期末）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．15m
6．（2024春 武威期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
7．（2024春 海淀区校级期中）如图，在水塔O的东北方向16m处有一抽水站A，在水塔的东南方向12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．21m B．20m C．19m D．22m
8．（2024春 潍城区期中）如图，将一根20厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h厘米，则h的取值范围是（ ）
A．h≤14 B．9≤h≤10 C．9≤h≤12 D．10≤h≤12
9．（2024春 湖北期中）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
10．（2024春 岳阳县期中）如图，将长为16cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升6cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
11．（2024 阳泉一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
12．（2024春 西山区校级期中）如图，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度向北偏西50°方向航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度向南偏西40°方向航行，航行1小时后，两船相距（ ）
A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里
13．（2024 五华区二模）如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为4cm，双翼的边缘PC＝QD＝64cm，且与闸机侧立面的夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，闸机的通道宽度为（ ）
A．64cm B．68cm C．76cm D．88cm
二．填空题（共2小题）
14．（2024春 德庆县期中）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 cm2．
15．（2024春 南宁期中）如图，测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为 cm．
三．解答题（共3小题）
16．（2024春 霞山区校级期中）“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度AD，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BC的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米；
③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米．
（1）求风筝的垂直高度AD；
（2）如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该把线再放出多少米？
17．（2024春 海淀区校级期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得OB＝17cm，BD＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
18．（2024春 河北期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长．
【方法应用】
如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm假设昆虫甲从盒内顶点C1开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 勾股定理的应用 同步考点练习
【考点1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】
【考点2应用勾股定理解决旗杆高度】
【考点3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】
【考点4应用勾股定理解决大树折断前的高度】
【考点5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
【考点6应用勾股定理解决航海问题】
【考点7应用勾股定理解决风吹荷花模型】
【考点8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】
【考点9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
【考点10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】
【考点11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】
【考点12面展开图-最短路径问题】
知识点：勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题
【考点1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】
【典例1】一架3m长的梯子，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙1.8m．
（1）如图1，AB＝3m，BC＝1.8m，求这架梯子的顶端距地面有多高？
（2）如图2，如果梯子靠墙下移，底端向右移动0.6m至点E处，求它的顶端A沿墙下移多少米？
【答案】（1）2.4m；
（2）0.6米．
【解答】解：（1）∵AB＝3m，BC＝1.8m，
∴AC＝＝＝2.4（m），
答：这架梯子的顶端距地面有2.4m；
（2）∵梯子靠墙下移，底端向右移动0.6m至点E处，
∴CE＝BC+BE＝1.8+0.6＝2.4（m），
∴CD＝＝＝1.8（m），
∴AD＝AC﹣CD＝2.4﹣1.8＝0.6（m）．
答：它的顶端A沿墙下移0.6米．
【变式1-1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，
由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，
∴BC2+AC2＝BE2+DE2，
即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，
解得：x＝1.5，
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．
【变式1-2】如图，梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，AB为2.5m，OB为0.7m．梯子的底端B外移0.8m到点D，当梯子顶端A沿墙下滑到点C时，求AC的长．
【答案】AC的长为0.4m．
【解答】解：由题意得：在Rt△AOB中，OB＝0.8m，AB＝2.5m，
∴OA＝＝2.4（m），
在Rt△COD中，OD＝0.8+0.7＝1.5（m），CD＝2.5m，
∴OC＝＝2（m），
∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m），
答：AC的长为0.4m．
【变式1-3】如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m．
（1）这架梯子的顶端距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【答案】（1）这架梯子的顶端距离地面有24m高；
（2）梯子的底端在水平方向滑动了8m．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，AC＝25m，AO＝7m，
所以．
答：这架梯子的顶端距离地面有24m高．
（2）因为OD＝CO﹣4＝20（m），
在Rt△EOD中，ED＝AC＝25m，
所以OE＝＝15（m）．
所以AE＝EO﹣AO＝8（m）．
答：梯子的底端在水平方向滑动了8m．
【考点2应用勾股定理解决旗杆高度】
【典例2】如图，小明为了测得学校旗杆AB的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离12m，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截BP，量得多出部分长度为4m，请你帮他计算出旗杆的高度．
【答案】旗杆高16米．
【解答】解：设旗杆高x米，
在Rt△ABC中，由勾股定理，
（x+4）2＝x2+122
解得：x＝16．
答：旗杆高16米．
【变式2-1】综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC为2米．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD为1米，以及点F到旗杆AB的距离FE为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度．
【答案】14.86米．
【解答】解：设旗杆AB的高度为x米，则绳子AF为（x+2）米，
由题意可知，BE＝FD＝1米，FE＝9.6米，AE＝AB﹣BE＝（x﹣1）米，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+EF2＝AF2，
即（x﹣1）2+9.62＝（x+2）2，
解得：x＝14.86，
答：旗杆AB的高度为14.86米．
【变式2-2】如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处约2m，请设法算出旗杆的高度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+2）米，
由勾股定理得，（x+2）2＝x2+62，
解得x＝8．
答：旗杆的高度是8米．
【变式2-3】小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，已知AC为旗杆的长，AB＝AC+1，BC＝5米，求AC
已知AC⊥BC，则由勾股定理得：
AC＝＝
解得：AC＝12，
答：旗杆的高度为12米．
【考点3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】
【典例3】如图，有两棵树，分别记为AB，CD．其中一棵树AB高12米，另一棵树CD高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
【答案】10米．
【解答】解：如图，由题意可知，AB＝12米，CD＝6米，BD＝8米，
过点C作CE⊥AB与点E，
则四边形BDCE是矩形，
∴BE＝CD＝6米，CE＝BD＝8米，
∴AE＝AB﹣BE＝6米，
∴AC＝＝＝10（米），
答：小鸟飞行的最短距离为10米．
【变式3-1】如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝＝10（米）．
故选：D．
【变式3-2】有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8m B．10m C．12m D．14m
【答案】B
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝＝10m．
故选：B．
【变式3-3】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 13 米．
【答案】13．
【解答】解：过B作BC∥地面，连接AB，
，
由题意得，BC＝12米，AC＝12﹣7＝5（米），
由勾股定理得，AB＝＝13（米），
故答案为：13．
【考点4应用勾股定理解决大树折断前的高度】
【典例4】如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米．
（1）求出旗杆在离底部多少米的位置断裂；
（2）求点B到AC的距离．
【答案】（1）旗杆在离底部6米的位置断裂；
（2）点B到AC的距离为4.8米．
【解答】解：（1）设AB＝x米，
∵AB+AC＝16，
∴AC＝（16﹣x）米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8米，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，
即（16﹣x）2＝x2+82，
解得：x＝6，
答：旗杆在离底部6米的位置断裂；
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D，
则S△ABC＝AC BD＝AB BC，
∴AC BD＝AB BC，
由（1）可知，AC＝16﹣6＝10（米），
∴BD＝＝＝4.8（米），
答：点B到AC的距离为4.8米．
【变式4-1】《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其顶端恰好着地，着地处离竹子根部6尺远，问：折处离地还有多高的竹子？（1丈＝10尺）
【答案】8．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（18﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（18﹣x）2，
解得：x＝8，
答：原处还有8尺高的竹子．
【变式4-2】如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为4m，旗杆离地面3m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为＝5（m），
所以旗杆折断之前高度为3m+5m＝8m．
【变式4-2】如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（AC）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；
（2）距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．
【解答】（1）解：由题意，知AC+BC＝8m．
因为∠A＝90°，
设AC长为x m，则BC长（8﹣x）m，
则42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故旗杆距地面3m处折断；
（2）如图．
因为点D距地面AD＝3﹣1＝2（m），
所以B'D＝8﹣2＝6（m），
所以，
所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．
【考点5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
【典例5】如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（ ）
A．9＜h＜10 B．9≤h≤10 C．5≤h≤13 D．5＜h＜13
【答案】B
【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大为：22﹣12＝10（cm）．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
此时杯内筷子长度：（cm），
此时h最小为：22﹣13＝9（cm）．
故h的取值范围是：9≤h≤10．
故选：B．
【变式5-1】如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，茶杯的高度为 12 厘米．
【答案】12．
【解答】解：如图所示：
∵AB＝5cm，AC＝20﹣7＝13cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
BC＝＝＝12（厘米），
∴茶杯的高度为12厘米．
故答案为：12．
【变式5-2】现将一支长16cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个底面长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：由题意可得，
底面长方形的对角线长为：＝10（cm），
故水槽中的水深至少为：＝2（cm），
故答案为：2．
【考点6应用勾股定理解决航海问题】
【典例6】如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上．
（1）求A处与小岛C之间的距离；
（2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时才能与小岛C的距离最短．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作BH⊥AC于H．
∵∠CBD＝∠CAB+∠BCA，∠CAB＝30°，∠CAD＝60°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°
∴BA＝BC＝30×＝20海里．
∵BH⊥AC，
∴AH＝HC＝AB cos30°＝10海里，
∴AC＝2AH＝20海里．
（2）作CE⊥AB交AB的延长线于T．
在Rt△BCT中，BT＝BC cos60°＝10海里，
∴时间t＝＝小时＝20分钟．
∴当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短．
【变式6-1】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？
【答案】能，理由见解析．
【解答】解：能，
理由：∵OA＝10×2＝20（海里），OB＝7.5×2＝15（海里），
∵AB＝25（海里），
∴202+152＝252，即OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°．
∵∠BOC＝45°，
∴∠AOC＝45°，
答：“中山”号沿西北方向航行．
【变式6-2】如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，求此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离．
【答案】30海里．
【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，
故AB＝2AP＝60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP＝＝＝30（海里）．
【变式6-3】已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以15km/h的速度向东航行；船B以10km/h的速度向北航行．它们离开港口2h后，相距多远？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵船A以15km/h的速度向东航行，船B以10km/h的速度向北航行，它们离开港口2h后，
∴AO＝30km，OB＝20km，
在Rt△AOB中，
AB＝＝＝10（km），
答：离开港口2h后，两艘船相距10km．
【考点7应用勾股定理解决风吹荷花模型】
【典例7】如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'．请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设池塘水的深度是x尺，则这根芦苇的长度是（x+1）尺，
由题意得：∠ACB'＝90°，B'C＝＝5（尺），
在Rt△CAB′中，由勾股定理得：AC2+B′C2＝AB′2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
∴x+1＝12+1＝13，
答：池塘水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺．
【变式7-1】如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
【答案】B
【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝14尺，所以B'C＝7尺
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2
∴72+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝25，
∴这根芦苇长25尺，
∴水的深度是25﹣1＝24（尺），
故选：B．
【变式7-2】如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【答案】C
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
【考点8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】
【典例8】某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？
【答案】30m/s，超速了．
【解答】解：可疑汽车超速；理由如下：
∵AC⊥BC，AB＝500m，AC＝400m，
∴根据勾股定理可得：，
∴该汽车的速度为，
∵27m/s＜30m/s，
∴可疑汽车超速了．
【变式8-1】某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．
（1）求BC的长．
（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．
【答案】（1）40m；
（2）这辆小汽车超速了，理由见解析．
【解答】解：（1）根据题意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m，
∴BC＝＝＝40（m），
答：BC的长为40m；
（2）这辆小汽车超速了，理由如下：
∵该小汽车的速度为40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h，
∴这辆小汽车超速了．
【考点9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
【典例9】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【答案】（1）会受到这次台风的影响；
（2）12小时．
【解答】解：（1）A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝320千米，
∴AD＝AB＝160千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：25×（13﹣5）＝200（千米），
∵160千米＜200千米，
∴A城市会受到这次台风的影响；
（2）如图2，以A为圆心，200千米为半径作⊙A交BC于E、F，
则AE＝AF＝200千米，
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝2＝240（千米），
∴台风影响该市的持续时间t＝240÷20＝12（小时）．
【变式9-1】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 9 s．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝150米，
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝150米，
∵AB＝150米，AC＝120米，
∴由勾股定理得：BC＝90米，CD＝90米，即BD＝180米，
∵72千米/小时＝20米/秒，
∴影响时间应是：180÷20＝9（秒）．
故答案为：9．
【变式9-2】6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC BC＝CD AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240km，
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED＝（km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为25千米/小时，
∴200÷25＝8（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【变式9-3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心由西向东，从A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围200km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？并说明理由．
【答案】（1）∠ACB＝90°；
（2）海港C不受台风影响．理由见解答过程．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，
又∵AB＝500km，
∴AC2+BC2＝3002+4002＝5002＝AB2，
∴△ABC 是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）海港C不受台风影响，理由如下：
过点C作 CD⊥AB，
∵△ABC 是直角三角形，，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240km，
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
200＜240，
∴海港C不受台风影响．
【考点10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】
【典例10】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距7km，C，D为两村庄，DA＝3km，CB＝4km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
【答案】4km．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝7﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝32+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝42+（7﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：32+x2＝42+（7﹣x）2，
解得：x＝4，
所以，AE的长为4km．
【变式10-1】如图在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 15 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
设树高为x m，则CD＝x﹣10，
则题意可知BD+AB＝10+20＝30，
∴AC＝30﹣CD＝30﹣（x﹣10）＝40﹣x，
∵△ABC为直角三角形，
∴AC2＝AB2+BC2，即（40﹣x）2＝202+x2，
解得x＝15，即树高为15m，
故答案为：15．
【变式10-2】滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．
【答案】滑道AC的长度为2.5m．
【解答】解：设AC＝x m，则AE＝AC＝x m，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，
由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣0.5）2+1.52＝x2，
解得x＝2.5
故滑道AC的长度为2.5m．
【变式10-3】如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝8km，CB＝6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等．
（1）求E站应建在离A点多少km处？
（2）若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？
【答案】（1）6km；
（2）2小时．
【解答】解：（1）设AE＝x km，则BE＝（14﹣x）km，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2，CE2＝BC2+BE2，
∵C，D两商场到E站的距离相等，
∴DE＝CE，
∴DE2＝CE2，
∴AD2+AE2＝BC2+BE2，
即82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6，
答：E点应建在离A点6km处；
（2）由（1）可知，AE＝6km，
∴DE＝＝＝10（km），
∴10÷5＝2（h），
答：若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要2小时．
【考点11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】
【典例11】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
由折叠的性质可知，∠DCA＝∠D′CA，
∴∠CAF＝∠D′CA，
∴FA＝FC，
在Rt△BFC中，BF2+BC2＝CF2，即42+（8﹣AF）2＝AF2，
解得，AF＝5，
则△AFC的面积＝×5×4＝10，
故选：C．
【变式11-1】如图，在长方形ABCD中，DC＝9．在DC上找一点E，沿直线AE把△AED折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若△ABF的面积是54，则△FCE的面积＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：因为△ABF的面积是54，AB＝DC＝9，
即BF AB＝54，
所以BF＝12．
因为AB＝9，BF＝12，
所以AF＝＝15，
因为BC＝AD＝AF＝15，
所以CF＝BC﹣BF＝15﹣12＝3．
设DE＝x，则CE＝9﹣x，EF＝DE＝x．
则x2＝（9﹣x）2+32，
x＝5．
所以DE的长为5．
所以EC的长为4．
所以△FCE的面积＝EC CF＝×4×3＝6．
故答案为：6．
【变式11-2】如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若AB＝12，BC＝18，则△BDE的面积＝ 78 ．
【答案】78．
【解答】解：由折叠可知，∠CBD＝∠EBD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝18，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
设BE＝DE＝x，则AE＝18﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
即122+（18﹣x）2＝x2，
解得：x＝13，
∴DE＝13，
∴S△BDE＝DE×AB＝×13×12＝78，
故答案为：78．
【考点12面展开图-最短路径问题】
【典例12】长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A．25 B． C．20 D．
【答案】A
【解答】解：展开前面和左面，如图：
；
展开后面和上面，如图：
；
展开上面和左面，如图：
；
∵，
∴，
∴需要爬行的最短距离是25，
故选：A．
【变式12-1】如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm
【答案】C
【解答】解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高分别为24dm，3dm，3dm，
∴MN＝＝30（dm），
即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm，
故选：C．
【变式12-2】如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm
【答案】D
【解答】解：如图，将圆柱展开：
∵圆柱高8cm，底面周长为12cm，
∴BC＝8cm，AC＝6cm，
根据勾股定理得：AB＝＝10（cm），
即爬行的最短路程是10cm，
故选：D．
【变式12-3】如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（ ）
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
【答案】B
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，
则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长．
∵圆柱的底面周长是32cm，高是24cm，
∴AB2＝322+242＝1600（cm），
∴AB＝40cm．
故选：B．
一．选择题（共13小题）
1．（2024春 临县月考）如图，明明从家里出发经过商店后前往书店（商店处不停留），步行速度为50米/分钟．出发4分钟后，爸爸发现他忘记带买书的费用，便抄近路直接前往书店送买书的费用，最终两人同时到达书店，则爸爸的平均步行速度为（ ）
A．40米/分钟 B．50米/分钟 C．60米/分钟 D．80米/分钟
【答案】B
【解答】解：爸爸走的路程为（米）
爸爸用的时间是（300+400）÷50﹣4＝10，
∴爸爸的平均步行速度为500÷10＝50（米/分钟）
故选：B．
2．（2024春 哈尔滨校级月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部落在距根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．12米
【答案】C
【解答】解：如图所示：
在△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝3m，AC＝4m，
∴BC＝＝＝5（m），
∴AB+BC＝3+5＝8（m），
即这棵大树在折断前的高度为8m，
故选：C．
3．（2023秋 嵊州市期末）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．0.6米
【答案】B
【解答】解；在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，
则AC＝m＝2.4m，
∵AC＝AA1+CA1
∴CA1＝2m，
∵在直角△A1B2C中，AB＝A1B1，且A1B2为斜边，
∴CB2＝＝＝1.5m，
∴BB2＝CB1﹣CB＝1.5m﹣0.7m＝0.8m
故选：B．
4．（2024春 南岗区校级月考）如图，有一根电线杆在离地面9米A处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点12米远的地方，则电线杆断裂之前的长度为（ ）米．
A．12 B．15 C．21 D．24
【答案】D
【解答】解：由题意可得：在Rt△ABC中，AB＝9米，BC＝12米，
∴（米），
故这根高压电线杆断裂前高度为：9+15＝24（米）．
答：此电线杆原来长度为24米．
故选：D．
5．（2023秋 陵水县期末）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．15m
【答案】C
【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
即旗杆的高度为12米．
故选：C．
6．（2024春 武威期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
【答案】B
【解答】解：如图，由题意得：AC＝10×5＝50（cm），
BC＝20×6＝120（cm），
故AB＝＝＝130（cm），
故选：B．
7．（2024春 海淀区校级期中）如图，在水塔O的东北方向16m处有一抽水站A，在水塔的东南方向12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．21m B．20m C．19m D．22m
【答案】B
【解答】解：由题意可知，∠AOB＝90°，OA＝16m，OB＝12m，
∴AB＝（m），
故选：B．
8．（2024春 潍城区期中）如图，将一根20厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h厘米，则h的取值范围是（ ）
A．h≤14 B．9≤h≤10 C．9≤h≤12 D．10≤h≤12
【答案】D
【解答】解：当筷子垂直于水杯底面放置时，筷子露在杯子外面的长度最长，最长为20﹣8＝12（cm），
当筷子如图所示放置时，筷子露在杯子外面的长度最短，最短为：20﹣＝10（cm），
∴h的取值范围是10≤h≤12，
故选：D．
9．（2024春 湖北期中）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
【答案】D
【解答】解：如图，由题意可知，AE＝2.4米，BE＝0.7米，CD＝1.5米，AB＝BC，
由勾股定理得，AB＝＝2.5（米），
∴BC＝2.5米，
∴BD＝＝2（米），
∴DE＝BD+DE＝2.7米，
即小巷的宽度为2.7米，
故选：D．
10．（2024春 岳阳县期中）如图，将长为16cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升6cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【解答】解：，CD＝6cm；
∴AD＝BD，
；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4cm；
故选：A．
11．（2024 阳泉一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
【答案】A
【解答】解：连接BD，
∵BC＝9m，CD＝12m，∠C＝90°，
∴BD＝＝＝15（m），
∵AB＝25m，AD＝20m，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝＝204（平方米），
∴204×200＝40800（元），
答：铺满该区域需要的费用是40800元，
故选：A．
12．（2024春 西山区校级期中）如图，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度向北偏西50°方向航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度向南偏西40°方向航行，航行1小时后，两船相距（ ）
A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里
【答案】A
【解答】解：如图：连接AB，
由题意得：AO＝32×1＝32（海里），BO＝1×24＝24（海里），∠AOM＝50°，∠BON＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON＝90°，
∴AB＝＝＝40（海里），
∴两船相距40海里，
故选：A．
13．（2024 五华区二模）如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为4cm，双翼的边缘PC＝QD＝64cm，且与闸机侧立面的夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，闸机的通道宽度为（ ）
A．64cm B．68cm C．76cm D．88cm
【答案】B
【解答】解：如图所示过P作PE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，
则Rt△PCE中，∠ECP＝30°，PC＝64cm，
PE＝PC＝32cm，
同理可得，QF＝32cm，
又∵点P与Q之间的距离为4cm，
∴闸机的通道宽度为32+4+32＝68（cm），
故选：B．
二．填空题（共2小题）
14．（2024春 德庆县期中）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 64 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图可知正方形的边长为＝8cm，正方形的面积为8×8＝64cm2．
15．（2024春 南宁期中）如图，测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为 3 cm．
【答案】3．
【解答】解：根据题意得：BC＝8﹣2＝6cm，
∵D为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴＝3（cm），
故答案为：3．
三．解答题（共3小题）
16．（2024春 霞山区校级期中）“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度AD，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BC的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米；
③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米．
（1）求风筝的垂直高度AD；
（2）如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该把线再放出多少米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（2）由题意可得，
BC＝15米，AB＝17米，BC⊥AD，CD＝1.7，
∴AC＝＝＝8（米），
∴AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7（米），
即风筝的垂直高度AD的长为9.7米；
（2）∵小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，
∴上升后的CA＝8+12＝20（米），BC＝15米，
∴上升后的BA＝＝＝25（米），
∵25﹣17＝8（米），
∴他应该把线再放出8米．
17．（2024春 海淀区校级期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得OB＝17cm，BD＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）7cm．
【解答】（1）证明：∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA．
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD；
（2）解：在Rt△OBD中，＝15（cm），
由（1）得OE＝BD＝8cm，
∴DE＝OD﹣OE＝15﹣8＝7（cm）．
18．（2024春 河北期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm假设昆虫甲从盒内顶点C1开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】（1）蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm；
（2）昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲．
【解答】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF就是蜘蛛走的最短路，
∵∠SNF＝90°，FN＝18﹣2＝16cm，SN＝60＝30（cm），
∴SF＝（cm），
∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm；
（2）如图2，设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，
设爬行捕捉到昆虫甲需x秒．
如图2，∵长方体的棱长AB＝BC＝6cm，AA1＝CC1＝14cm
∴AF＝1 x＝x cm，CF＝1 x＝x cm，CF＝（14﹣x）cm，AC＝12cm，
∴x2＝122+（14﹣x）2，
解得．
答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲．
