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第1章 勾股定理 单元过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2
【答案】C
【解答】解：A、52+42≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、12+12＝（）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D、12+22≠22，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．若Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝13，a＝5，则b＝（ ）
A． B．12 C．11 D．10
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝13，a＝5，
则b＝＝＝12，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝6，AC＝5．则AD长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴，
∵AC＝5，
∴．
故选：D．
4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为，
故选：C．
5．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
【答案】C
【解答】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，故正确；
B、三条边满足关系a2＝b2﹣c2，故正确；
C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故错误；
D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故正确．
故选：C．
6．如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为28，12，则正方形C的面积是（ ）
A．4 B． C．16 D．40
【答案】C
【解答】解：根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积，
即：SA＝SB+SC，
∴SC＝SA﹣SB＝28﹣12＝16，
故选：C．
7．如图，在△ABD中，∠D＝90°．C是BD上一点，已知CB＝7，AB＝15，AD＝9，则DC的长是（ ）
A．5 B．9 C．6 D．15
【答案】A
【解答】解：∵∠D＝90°，AB＝15，AD＝9，
∴，
∴DC＝BD﹣CB＝12﹣7＝5；
故选：A．
8．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：据图可知，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，
∵+＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝AB AC＝2，
∴△ABC中BC边上的高＝＝，
故选：A．
9．如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（ ）m2．
A．24 B．30 C．48 D．60
【答案】A
【解答】解：连接AC，
∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵AB＝13m，BC＝12m，
∴AB2＝BC2+CD2，即△ABC为直角三角形，
∴这块地的面积为S△ABC﹣S△ACD＝AC BC﹣AD CD＝×5×12﹣×3×4＝24．
故选：A．
10．如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使△ABC为直角三角形，则点C的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【解答】解：如图所示，
共有6个格点使△ABC为直角三角形．
故选：B．
11．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．17m B．18m C．25m D．26m
【答案】A
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
12．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
1+ab×4＝41，
解得ab＝20，
∵a2+b2＝41，
∴（a+b）2﹣2ab＝41，
∴（a+b）2＝41+2ab＝41+2×20＝81，
∴a+b＝9或a+b＝﹣9（不合题意，舍去），
即a+b＝9，
故选：A．
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 13 ．
【答案】13．
【解答】解：根据勾股定理得，斜边长＝＝13，
故答案为：13．
14．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB＝4cm，BC＝10cm，则BD＝ 1.6 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠B＝∠B，∠BDA＝∠BAC，
∴△ABD∽△CBA，
∴＝，
∵AB＝4cm，BC＝10cm，
∴BD＝＝1.6（cm），
故答案为：1.6．
15．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
16．如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 18米 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边，
∴AB2+AC2＝BC2，
∵AB＝5米，AC＝12米，
∴BC＝＝13米，
大树折断前的高度为AB+BC＝5米+13米＝18米．
故答案为：18米．
17．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 10 cm．
【答案】10．
【解答】解：如图1，
∵AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，
∴BM＝9﹣3＝6，BN＝5+3＝8，
∴MN＝＝10；
如图2，
∵AB＝9cm，BC＝GF＝6cm，BF＝5cm，
∴PM＝9﹣3+3＝9，NP＝5，
∴MN＝＝，
∵10＜，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10．
故答案为：10．
18．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 2 m．
【答案】2．
【解答】解：如图所示：由题意可得，AC＝6m，AB＝10m，
则BC＝＝＝8（m），
A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，
故B′C＝＝＝6（m），
则梯子底端B向左滑动：BC﹣B′C′＝8﹣6＝2（m）．
故答案为：2．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．若AC＝，CD＝5，BC＝13，求AB的长．
【答案】15．
【解答】解：因为CD⊥AB，所以∠CDA＝∠CDB＝90°．
在Rt△ADC中，AD＝．
在Rt△BDC中，BD＝．
所以AB＝AD+BD＝3+12＝15．
20．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）证明△ABC是直角三角形；
（2）求BC边上的高．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2．
【解答】（1）证明：根据题意得，AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
由（1）知，AB＝，AC＝2，BC＝5，∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝AB AC，
∴AD＝＝＝2，
即BC边上的高为2．
21．（8分）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面3m处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点离树根部的距离为2m，若在该树正上方离地面7m处有高压电线l，请判断，该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可知BC＝3m，AC＝2m，根据勾股定理可求得：AB＝＝＝（m），
故大树的高度为（3+）m，
∵13＜16，
∴＜4，3+＜7，
∴该树不会触碰到电线．
22．（8分）一块木板如图所示，已知AB＝15，BC＝20，DC＝60，AD＝65，∠B＝90°，木板的面积是多少？
【答案】600．
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
根据勾股定理得：AC＝＝＝25，
在△ADC中，DC＝60，AD＝65，
∴DC2+AC2＝AD2，
∴∠DCA＝90°，
则S木板＝S△ADC﹣S△ABC＝×60×25﹣×15×20＝750﹣150＝600．
23．（10分）如图，已知四边形ABCD，AC⊥BD，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，猜想a2，b2，c2，d2之间的关系，用等式表示出来，并证明．
【答案】a2+c2＝b2+d2，理由见解析．
【解答】解：a2+c2＝b2+d2，理由为：
∵四边形ABCD，AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
∴a2＝OA2+OB2，b2＝OB2+OC2，c2＝OC2+OD2，d2＝OD2+OA2，
∴a2+c2＝OA2+OB2+OC2+OD2，b2+d2＝OB2+OC2+OD2+OA2，
∴a2+c2＝b2+d2．
24．（10分）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．
（1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 （填“长方形”或“正方形”），其面积为 （用含a、b的代数式表示）；
（2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性；
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长．
【答案】（1）正方形，（b﹣a）2；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）由题意知：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，
EF＝FG＝GH＝HE＝b﹣a，
∴四边形EFGH是一个正方形，且边长为（b﹣a），
故答案为：正方形，（b﹣a）2；
（2）∵S正方形ABCD＝4×SRt△ABE+S正方形EFGH，
∴c2＝4×ab+（b﹣a）2，
整理，得a2+b2＝c2，
故a2+b2＝c2的正确；
（3）∵ABCD是长方形，△AFE是由△ADE折叠得到的，
∴AF＝AD＝BC＝20，DC＝AB＝12，EF＝DE，
在Rt△ABF中，
∵AB＝12，
∴由勾股定理，得BF＝＝＝16，
∴CF＝BC﹣BF＝20﹣16＝4，
设EF＝x，则EC＝DC﹣DE＝12﹣x，
在Rt△EFC中，
由勾股定理，得EF2＝CF2+EC2，
即x2＝42+（12﹣x）2，
解得x＝，
即EF的长为．
25．（10分）小颖与爸爸妈妈在公园里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°，直线OA与地面交于一点F．
（1）△OBD和△COE全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小颖的？
（3）求秋千的起始位置A处与距地面的高度．
【答案】（1）△OBD≌△COE．理由见解答过程；
（2）爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小颖的；
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．
【解答】解：（1）△OBD≌△COE．理由如下：
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠COE＝∠OBD，
∵∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD，CE分别为1.8m和2.4m，
∴OD＝2.4m，OE＝1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝2.4﹣1.8＝0.6（m）．
∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DF＝1.2m，
∴EF＝DF+DE＝1.8（m）．
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小颖的；
（3）∵OA＝OB＝＝＝3（m），
∴AF＝OD+DF﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）．
∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．
26．（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿BC方向移动，A到BC的距离AD＝30，在距台风中心50的圆形区域都将受到台风的影响．
（1）台风中心经过多长时间将到达D点？
（2）A城受这次台风的影响有多长时间？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝78，AD＝30，
则BD＝＝72，
∵台风中心以每小时20的速度沿BC方向移动，
∴72÷20＝3.6（小时），
答：台风中心经过3.6小时将到达D点；
（2）如图所示：当AE＝AF＝50，则DE＝＝40，
故EF＝80，
则80÷20＝4（小时）．
答：A城受这次台风的影响的时间为4小时．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 勾股定理 单元过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2
2．若Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝13，a＝5，则b＝（ ）
A． B．12 C．11 D．10
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝6，AC＝5．则AD长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
5．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
6．如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为28，12，则正方形C的面积是（ ）
A．4 B． C．16 D．40
7．如图，在△ABD中，∠D＝90°．C是BD上一点，已知CB＝7，AB＝15，AD＝9，则DC的长是（ ）
A．5 B．9 C．6 D．15
8．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（ ）m2．
A．24 B．30 C．48 D．60
10．如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使△ABC为直角三角形，则点C的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
11．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．17m B．18m C．25m D．26m
12．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 ．
14．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB＝4cm，BC＝10cm，则BD＝ cm．
15．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
16．如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 ．
17．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm．
18．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 m．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．若AC＝，CD＝5，BC＝13，求AB的长．
20．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）证明△ABC是直角三角形；
（2）求BC边上的高．
21．（8分）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面3m处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点离树根部的距离为2m，若在该树正上方离地面7m处有高压电线l，请判断，该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．
22．（8分）一块木板如图所示，已知AB＝15，BC＝20，DC＝60，AD＝65，∠B＝90°，木板的面积是多少？
23．（10分）如图，已知四边形ABCD，AC⊥BD，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，猜想a2，b2，c2，d2之间的关系，用等式表示出来，并证明．
24．（10分）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．
（1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 （填“长方形”或“正方形”），其面积为 （用含a、b的代数式表示）；
（2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性；
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长．
25．（10分）小颖与爸爸妈妈在公园里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°，直线OA与地面交于一点F．
（1）△OBD和△COE全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小颖的？
（3）求秋千的起始位置A处与距地面的高度．
26．（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿BC方向移动，A到BC的距离AD＝30，在距台风中心50的圆形区域都将受到台风的影响．
（1）台风中心经过多长时间将到达D点？
（2）A城受这次台风的影响有多长时间？
