浙江省杭州市“桐·浦·富·兴”教研联盟2023-2024学年高二下学期5月调研测试数学试题（含答案）

2024年5月“桐·浦·富·兴”教研联盟调研测试
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.36 B.48 C.96 D.24
2.某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（ ）
A.0.15 B.0.25 C.0.3 D.0.2
3.已知随机变量的分布列如下，则（ ）
1 2 3
A. B. C. D.
4.已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲 乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（ ）
A.24 B.12 C.48 D.36
7.已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8.记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ）
A.23 B.22 C.24 D.25
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对两个变量和进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A.在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，拟合效果越好
B.若变量和具有线性相关关系，则回归直线方程至少经过样本点的其中一个点
C.建立两个回归模型，模型1的线性相关系数，模型2的线性相关系数，则模型1的线性相关性更强
D.残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好
10.已知，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，其中，则下列选项正确的是（ ）
A.若，则
B.
C.，使有两解，则
D.有最大值
非选择题部分
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列满足，且，则__________.
13.已知盒子内有大小相同，质地均匀的2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则__________.
14.已知函数满足，且，当时，，则不等式的解集为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求；
（2）求的极值.
16.（15分）
为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》 《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：
性别 体育运动 合计
喜欢 不喜欢
男生 50
女生 15
合计
（1）请根据要求完成列联表，并根据独立性检验，判断是否有的把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；
（2）为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
参考公式：.
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17.（15分）
已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.
18.（17分）
有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点处，若掷出的骰子大于或者等于3，则棋子向右移动一个单位（从0移动到1），若掷出的骰子小于或者等于2，则棋子向右移动两个单位（从0移动到2），若棋子移动到99处，则“闯关失败”，若棋子移动到100处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标处的概率为.
（1）求；
（2）求证：为等比数列（其中），并求出；
（3）若有5人同时参加此游戏，记随机变量为“闯关成功”的人数，求（结果保留两位有效数字）.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若关于的方程有两根（其中），
①求的取值范围；
②当时，求的取值范围.
2024年5月“桐·浦·富·兴”教研联盟调研测试
高二年级数学学科参考答案
选择题部分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B A D A C D
8.答案：D
解析：由，可知，
记数列和的前项和分别为和，由，得，而，，
所以.故选D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
ACD AC BD
11.答案：BD
解析：选项A：，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，无法判断的大小关系.故A错误.
选项B：，记，则，所以在上单调递增，在上单调递减，故.故B正确.
选项C：，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因此当时，仅有一解.故C错误.
选项D：，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故D正确.故选BD.
非选择题部分
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1 13. 14.
14.析：因为，所以为奇函数，故为偶函数.当时，.令，故当时，，且为偶函数.
由，故，即.
而，所以.由于为偶函数，且在递增.
因此，即.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）由题意可得.
，则
（2），当时，，所以的递增区间为；当时，，所以的递减区间为.
因此当时，取得极大值1；当时，取得极小值.
16.（15分）
解：（1）根据题意完成如下列联表，
性别 体育运动 合计
喜欢 不喜欢
男生 50 10 60
女生 25 15 40
合计 75 25 100
假设：“是否喜欢体育运动”与性别无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可以认为“是否喜欢体育运动”与性别无
关.
（2）记事件：“所选3人中至少有两位是男生”，“所选3人中有女生”
则
所以.
17.（15分）
解：（1）数列的前项和为，且，
当时，，当时，，故，
又数列为等比数列，设公比为，
（2），
，
故，
而，故，
由于当时，，故，
所以
18.（17分）
解：（1）由题意，向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为，
由此可得：.
（2）由题意，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故
所以累加可得
所以.
（3）由（2）可知，，所以，
而随机变量服从二项分布，所以.
19.（17分）
解：（1）当时，，所以，
由解得，由解得，
故的单调递增区间为的单调递减区间为；
（2）方法一
①由，即，即，
令，上式为，因为，
所以在上单调递增，故等价于，
即在上有两根，
令，则，由解得，由解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，且当时，
其图象如图所示，
所以的取值范围为.
②：令则，所以，所以，即
令，则，
令，则，所以在单调递减，
所以，即，所以在单调递减，所以
.由（*），所以，
由题①，故.
（2）方法二：
①由，即，令，
则，所以函数在单调递增.
因为，即，所以有两解，可知.
令，则在单调递增，令，
所以在单调递减，在单调递增.
因为，所以，所以.
综上的取值范围为.
②因为，所以，即，所以
令，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由题①，，所以，
可得，所以.