广东省清远市五校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷（含答案）

2024年5月高二级清远五校联考
数学
时量：120分钟 满分：150分
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3 设随机变量的分布列为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4 市政府现有4个项目要安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，则不同的安排方式有（ ）
A.12种 B.14种 C.20种 D.24种
5 当时，函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7 小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（ ）
A. B. C. D.
8 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法中，正确的是（ ）
A.设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加1个单位
B.已知随机变量，若，则
C.两组样本数据和.若已知且，则
D.已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与
的残差相等，则
10.已知函数是的导函数，则下列结论中成立的（ ）
A.函数的值域与的值域相同
B.把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C.函数和在区间上都是增函数
D.若为是函数的极值点，则是函数的零点
11.拋物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景 丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.若，则点处的切线方程为
C.存在点，使得
D.面积的最小值为4
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知随机变量，若，则__________.
13.的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
14.如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16.在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项；
17.已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
18.甲 乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约.2023年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为.
人数性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数
男生 35 15
女生 40 10
（1）依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
（2）若小明通过甲 乙两地的程序的项数分别记为，分别求出与的数学期望.
参考公式与临界值表：.
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
19.已知函数
（1）是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
（2）已知是的零点，是的零点.
（i）证明：.
（ii）证明：.
2024年5月高二级清远五校联考
数学参考答案
一 单选题
1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A
8.【解析】根据
可知，
令为增函数，
所以恒成立，分离参数得，
而当时，最大值为，故.
二 多选题
9.BC 10.ACD 11.ABD
11.【解析】对于A中，设直线，联立方程组，整理得，再设，则，所以A正确；
对于B中，由抛物线.可得，则，
则过点的切线斜率为，且，即，
则切线方程为：，即，
若时，则过点的切线方程为：，所以B正确；
对于C中，由选项B可得：直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以，即，所以C错误；
对于D中，由选项B可知，过点的切线方程为，
联立直线的方程可得，
所以，
，，
则，当时，有最小值为4，所以D正确.
三 填空题
12. 13. 14.
14.【解析】由题意，当时，为柱圆的上半部分.
当时，为双曲线的下半部分；
又即，过定点（2，0）故作出的图象
考虑临界条件，当与椭圆上半部分相切时，有，
整理得，
则，
由图象解得
当与双曲线的渐近线平行时也为临界条件.
故实数的取值范围为
四 解答题
15.解：（1）设等差数列的公差为，由，得，
即
由成等比数列，得，
即，又得，
所以，
故数列的通项公式为.
（2）由，
得，
所以，
.
16.解：（1），
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以；
（2），
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合为；
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项.
17.解：（1）当时，所以，令，解得或，
当变化时，变化情况如下：
-2 1
+ 0 - 0 -
单调递增 单调递减 单调递增
故的极小值为的极大值为.
（2）法一：
令，解得
当或时，单调递增
当时，单调递减，
要使函数在区间上单调递增，需，解得：，
所以的取值范围为.
法二：，
由题知：在区间上恒成立，即恒成立
只需大于或等于的最大值或上界.
，
因为，所以，
，即，所以的取值范围为.
18.解：（1）列联表：
人数性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计
男生 35 15 50
女生 40 10 50
合计 75 25 100
根据小概率值的独立性检验，可认为这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关；
（2）由已知，小明通过甲地的每项程序的概率均为，
所以服从二项分布，即，
由题意：Y的可能取值为，
所以的数学期望.
19.（1）解：函数.
则.
当时，，
和都在上单调递增，符合题意.
当时，若和都在上的单调区间相同，
则和有相同的极值点，
由，可得，由，可得，
.
令，则，
在上单调递增，在上单调递减，
则无解.
综上，存在，使得和在上的单调区间相同，
的取值范围是.
（2）证明：
（i）由题意，有两个零点，，
若，则在上单调递增，不符合题意.
若，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
，解得，得证.
（ii）令，得，
即，令，
则，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
当时，单调递减，
当时，单调递增.
在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，
它们有公共点，如图，
故，且有.
由，得，即，又.
由，得，即，又.
由，得，即，
故.