广东省深圳市人大附中深圳学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

人大附中深圳学校2023-2024学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷
一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知：，则的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．15
4．规定，则函数的值域为
A． B． C． D．
5．将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
A．240 B．192 C．120 D．72
6. 某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：
方案一：风险投资，有的概率获得回报元，有的概率获得回报元；
方案二：第一天获得回报元，以后每天获得的回报比前一天多元；
方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.
若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是（ ）
A.方案一 B.方案二 C.方案三 D.都可以
7. 校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ）
A．事件A与相互独立 B．事件A与为互斥事件
C． D．
8. 从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．变量x，y线性负相关且相关性较强
C．相应于点(9.5,10)的残差约为0.4 D．当x=8时，y的估计值为14.4
10．下列论述正确的有（ ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机事件，满足：，，，则事件与相互独立
C．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立
D．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为
11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分.
12.已知正实数满足，则的最小值为 .
13.关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
14．若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .
四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表.
已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计
是小米粉丝 80
非小米粉丝 40 80
总计
(1)补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关
(2)小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率.
附:，其中.
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16. 已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
17. 某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
(1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83
赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
(2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值．
附，若，则，．
18. 已知函数．
(1)讨论在区间上单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足：.求证：数列为“数列”；
(2)已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前n项和.
①求数列的通项公式；
②已知是“数列”，且对任意正整数k，都有成立，求数列公比的取值范围.
参考答案
一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B
【详解】解：令，则，所以，即.故选B.
2．C
【详解】解：由得，的充分不必要条件是的子集，C符合，故选：C.
3．A
【详解】因，
的通项公式为，
当时，，则得的展开式中的系数为；
当时，，则得的展开式中的系数为.
故的展开式中的系数为.故选：A.
4．A
【详解】试题分析：根据题意，，
函数在是增函数，，即函数的值域为，故选A.
5．A
【详解】依题意，因这个六位数中有两个“2”，故不能直接将其与其他数字全排，否则会出现重复.可将这样的偶数分成三类：
第一类，个位排4，在前面五位数位中，只需选三个排上数字3，6，9即可（剩下两个数位即排2），有种方法；
第二类，个位排6，与第一类相同，有种方法；
第三类个位排2，则前面五个数位只需将另外5个数字全排即可，有种方法.
由分类加法计数原理，不同的偶数个数为.故选：A.
6.B
【详解】解：方案一：元；方案二：元；方案三：
元，因为，故选B.
7.D
【详解】由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种，
铅球区域可能安排2人或1人，所以，
同理，，
而，，
由相互独立事件的充要条件可知，事件A与不相互独立，
故A错误；
显然，事件A与能同时发生，不为互斥事件，故B错误；
由条件概率公式知，故C错误；
，故D正确.故选：D
8.A
【详解】依题意，X的可能值为0，1，2，则有，，，
于是得，解得，袋中共有10个球，
因此，取出一白一红的概率为，解得，则，
所以取出一红一黄的概率为.
故选：A
二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. BCD
【详解】由表格知：，
所以，可得，A错误；
由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，B正确；
由，故残差为，C正确；
由，D正确；故选：BCD
10．BCD
【详解】对于A，由题意可知，故A错误；
对于B，由题意可知，
所以，所以事件A与B相互独立，即B正确；
对于C，由独立性检验的基本思想可知其正确；
对于D，将样本点代入得预测值为，
所以，故D正确.故选：BCD.
11．ACD
【详解】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，故A正确，，故B错误，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，故C正确，由于且，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分.
12. /
【详解】正实数满足，有，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.故答案为：
13.
【详解】因为不等式在上恒成立，所以，当，
所以，故答案为
14. 960
【详解】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，

则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，
剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；
所以“有序子集列”共有个.故答案为：960.
四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)没有关联
(2)
【详解】（1）
已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计
是小米粉丝 80 40 120
非小米粉丝 40 40 80
总计 120 80 200
零假设为:小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联，
由列联表中的数据，得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联；
（2）从已订购小米SU7的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，其中小米粉丝有人，非小米粉丝有人.
设3人中恰有2人是小米粉丝为事件，则．
16. (1)
(2)
【详解】（1）因为，①
当时可得，即.
当时，，②
由①-②得，即，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，
所以，
，
两式相减得，，
即，则，
故.
17. (1)分布列见解析，；
(2)或16
【详解】（1）据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布，
因此，
则，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望为.
（2）据题意可知，
那么 有，
要使取最大值，只需，
得：且，
故：当或16时，取得最大值.
18. (1)答案见解析；
(2)
【详解】（1）由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
19. (1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）设等比数列的公比为，且，
由，得，解得，
所以数列为“数列”；
（2）①因为，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以；
②由①知，，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
即恒成立，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
故，所以.