(共26张PPT)
新课标 北师大版
七年级下册
4.5利用三角形全等测距离
第四章
三角形
学习目标
1.能利用三角形的全等解决实际问题,体会数学源于生活,服务于生活.
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
新课引入
1.判定三角形全等有哪些方法?
(1)“SSS”:三边对应相等的两个三角形全等.
(2)“ASA”:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(3)“AAS”:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
(4)“SAS”:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
新课引入
下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事:
在一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望。为了炸掉这个碉堡,需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,如何估测这个距离呢?
你能替这位战士想想办法吗?
核心知识点一
探究学习
利用三角形全等测距离
他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上;接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离.
这位聪明的八路军战士的方法如下:
步测距离
碉堡距离
由战士所讲述的方法可知:战士的身高AH不变,战士与地面是垂直的(AH⊥BC);视角∠HAC=∠HAB,战士要测的是敌碉堡(B)与我军阵地(H)的距离,战士的结论是只要按要求(如图)测得HC的长度即可.(即BH=HC)
A
B(敌)
C
H(我)
(1)战士所讲述的方法中,已知条件是什么?
(2)请用所学的数学知识说明BH=CH的理由.
A
B(敌)
C
H(我)
解:在△AHB与△AHC中,
∠BAH=∠CAH
AH=AH
∠BHA=∠CHA
所以△AHB≌△AHC(ASA).
所以BH=CH.
碉堡的距离
步测的距离
不可测量的距离
可测量的距离
三角形全等
通过刚才的故事,能否谈谈你的收获?
做一做:
小明在上周末游览风景
区时,看到了一个美丽的
池塘 ,他想知道最远两点
A、B之间的距离,但是他没有船,不能直接去测。
手里只有一根绳子和一把尺子,他怎样才能测出A、
B之间的距离呢?
A、B间有多远呢?
B
A
●
●
一个叔叔帮小明出了这样一个主意: 先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离.
已知的是什么
求证的什么
C
B
A
·
·
·
·
·
D
E
小颖将条件标注在图中,并得出了结论.你理解她的意思吗
C
B
A
·
·
·
·
·
D
E
小明是这样想的:
△ABC≌ △ DEC
AC=DC
∠ACB= ∠ DCE
BC=EC
AB=DE
你还有其它的方案吗 小组讨论,交流.展示方案.
其他方案一:
D
C
B
A
·
E
·
·
·
·
△ABE≌△DCE
∠ABE=∠ DCE=90°
BC=EC
∠AEB=∠DEC
AB=CD
理由:
你还有其它的方案吗 小组讨论,交流.展示方案.
△ABD≌ △ CDB
AD=BC
∠ADB=∠CBD
DB=BD
AB=CD
理由:
B
A
·
C
D
·
·
其他方案二:
你还有其它的方案吗 小组讨论,交流.展示方案.
C
·
D
△ABD≌ △ CBD
AD=DC
∠ADB=∠CDB
DB=BD
AB=CB
B
理由:
A
.
·
·
其他方案三:
例:如图,在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A,B,隔河相对,在无任何过河工具的情况下,你能测量出两座宝塔间的距离吗?说说你的方法和理由.
解:能.如图,沿河岸作射线BF,且使BF⊥AB,在BF上截取BC=CD,过D点作DE⊥BF,使点E,C,A在同一条直线上,则DE的长就是两座宝塔A、B间的距离.
理由如下:因为在△ACB和△ECD中,
所以△ACB≌△ECD,所以AB=DE.
随堂练习
1.如图要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB 的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,可以证明△EDC≌△ABC,得ED=AB,因此,测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
B
A
●
●
D
C
E
F
B
2.山脚下有A,B两点,要测出A,B两点间的距离.在地上取一个可以直接到达A,B点的点O,连接AO并延长到C,使AO=CO;连接BO并延长到D,使BO=DO,连接CD.可以证△ABO≌△CDO,得CD=AB,因此,测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
D
D
B
A
C
O
3.把等腰直角三角形ABC,按如图所示立在桌上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点距离桌面5 cm和3 cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离DE的长为( )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.求不出来
C
4.如图,AB、CD表示两根长度相等的铁条,若O是AB、CD的中点,经测量AC=15 cm,则容器的内径长为 ( )
A.12 cm B.13 cm
C.14 cm D.15 cm
D
5. 如图,两根长12m的绳子,一端系在旗杆上的同一位置,另一端分别固定在地面上的两个木桩上(绳结处的误差忽略不计),现在只有一把卷尺,如何来检验旗杆是否垂直于地面?请说明理由。
解:用卷尺测量出BD、CD,看它们是否相等,
若BD=CD,则AD⊥BC。
理由如下:
∵在△ABD和△ACD中,AB=AC, BD=CD, AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠ADB=∠ADC,
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
即AD⊥BC。
6.某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20步有一树C,继续前行20步到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;
④测得DE的长就是河宽AB.
请你证明他们做法的正确性.
证明:如图,由做法知:
在Rt△ABC和Rt△EDC中,
∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA)
∴AB=ED
即他们的做法是正确的.
课堂小结
知识:利用三角形全等测距离的目的:变不可测距离为可测距离.
依据:全等三角形的性质.
关键:构造全等三角形.
方法:(1)延长法构造全等三角形;
(2)垂直法构造全等三角形.
谢谢聆听