23.4几何图形中的概率（第2课时）（教学课件）-八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

2023-2024学年八年级下册数学同步精品课堂（沪教版）
第 23章 概率初步
23.4几何图形中的概率（第2课时）
学习目标
1.知道与几何图形有关的概率问题和等可能试验中的概率问题可以相互转化.（重点）
2.初步学会运用转化思想和所学计算公式来解决简单的概率问题.
生活中有些等可能试验与长度、面积或体积等有关,相关的概率问题可以通过有关度量计算来解决;还有些概率问题可以利用图形来进行分析和研究,把问题转化为度量计算再解决
情景引入
例1.将圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图所示，任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.求指针分别落在“红色”、“黄色”、“绿色”扇形内的概率.
新知探究
解：根据扇形所涂的颜色，把圆心角相同的8个扇形依次编号为红1、绿1、黄1、绿2、黄2、绿3、黄3、绿4.并规定，从逆时针方向看，每条边界属于其后的扇形，转盘停止时，指针所在的扇形有8个等可能的结果.
设事件A：“指针落在红色区域内”；事件B：“指针落在黄色区域内”；事件C：“指针落在绿色区域内”.
事件A包含其中的1个结果，得P（A）＝????????.
?
事件B包含其中的3个结果，即指针落在编号为黄1、黄2或黄3的扇形内，所以P（B）＝????????.
?
事件C包含其中的4个结果，即指针落在编号为绿1、绿2、绿3或绿4的扇形内，所以P（C）＝????????=????????.
?
为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。
1
6
8
A
4
5
7
B
联欢晚会游戏转盘
1
6
8
开始
A装置
4
5
7
4
5
7
4
5
7
B装置
由图知：可能的结果为：
（1，4），（1，5），（1，7），（6，4），（6，5），（6，7），（8，4），（8，5），（8，7）。共计9种
设事件A“A盘指针所指数字较大”包含其中的5种结果
设事件B“B盘指针所指数字较大”包含其中的4种结果
∴P(A)= , P(B)= . ∴P(A)＞ P(B)
∴选择A装置的获胜可能性较大。
4
5
7
1
6
8
B
A
用表格表示
(1,4)
(1,5)
(1,7)
(6,4)
(6,5)
(6,7)
(8,4)
(8,5)
(8,7)
从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。
∴P(A)= , P(B)= .

∴P(A)＞ P(B)
∴选择A装置的获胜可能性较大。
例题4、如图，转盘A等分为三个扇形，号码为①、②、③；转盘B分为两个扇形（即半圆），号码为①、②.甲乙两位同学想这样玩游戏：甲任意转动A盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为偶数，那么乙胜.判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游戏规则.
解：用树形图展示一次游戏的所有等可能的结果，
如图所示，共有6个等可能的结果：（① ①）、（①②）、（②①）、（②②）、（③①）、（③②）.
设事件D：“两号码之积为奇数”；
事件E：“两号码之积为偶数”
事件 D 包含其中的2个结果：(①,①)、(③,①)，
所以，P ( D )=26=13.
事件 E 包含其余的4个结果，所以， P ( E )=46=23.
?
为了公平起见，可更改游戏规则.如改为"两号码之和为奇数，甲胜；两号码之和为偶数，乙胜"，其余不变．
这样，两号码之和分别是2、3、3、4、4、5，其中奇数3个，偶数3个．两人获胜的概率都是12，可见这个游戏规则是公平的．
?
甲胜的概率比乙胜的概率小 26=13 ，可见这个游戏规则对乙很有利，是不公平的.
?
例题5、甲乙两人相约下午1时至2时在某公共汽车站乘车，已知该站在下午1时30分和2时准点各发一班车，假设因堵车的影响，甲乙两人在1时至2时之间任一时刻到达车站的可能性相等，如果两人到车站后见车就上，那么两人同乘一辆车的概率是多少？
分析：甲乙两人到达车站的时刻在1时至2时之间，其中有无数个等可能时刻.把两人到达车站的时刻用有序数对来表示，则在平面内可得到相应的点.这样两人到达车站的所有可能的时刻对应于一个平面区域，问题就转化为区域面积的计算.
解 将下午 1时至2 时以1时 30 分这一时刻为界划为前、后两个时间段,前段从下午1时至1时 30 分(含此时刻)之间，后段从下午 1时 30 分至2 时(含此时刻)之间.
因为甲乙两人在下午1时至 2 时之间任一时刻到达车站的可能性相等,而前、后两段的时间又一样长,所以相对于前、后两个时间段而言,如果把甲或乙在其中一个时间段内到达车站看作一种情况,那么由这两人到达车站的时刻所确定的结果共有四种，即两人同在前段、两人同在后段、甲在前段乙在后段、乙在前段甲在后段，而且这四种结果是等可能的.
议一议
继续研究上述例题 5.设甲到达车站的时刻为下午 1时 分乙到达车站的时刻为下午 1时 y 分,其中 0解：设甲到达车站的时刻为1时x分，乙到达车站的时刻为1时y分，则 ， .
如图，只有当点（x，y）落在阴影区域时，甲乙两人才能同乘一辆车.设事件A：“甲乙两人同乘一辆车”。
则P（A）＝
1.利用概率的意义来说明,当陨石坠落到地球上时,是落在陆地的可能性大,还是落人海洋的可能性大?
2.在如图所示的游戏转盘中,CE、DF 是直径,转动转盘,求指针落在蓝色区域的概率(当指针落在扇形边界时统计在逆时针方向相邻的扇形内).
课本练习
3. 某人午觉醒来发现手表停了,于是打开收音机等整点报时,问等待时间不超过 20分钟的概率是多少?
4. 在如图所示的图案中,蓝白两色的直角三角形、弓形分别全等,将它作为一个游戏盘,游戏的规则是:按一定的距离向盘中投镖一次,扎在蓝色区域为甲胜,扎在白色区域为乙胜,扎在边界上则不计胜负.你认为这个游戏公平吗?为什么?
1.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为　 　．
【解析】解：根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值；
由题意可得：正方形纸边长为4cm,其面积为16cm2，
圆的半径为1cm,其面积为πcm2，
故其概率为 ???????????? ．
?
随堂检测
2.欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，那么油滴落入孔中的概率为　　．
【解析】解：∵S正方形=1，S圆=( ???????? )2×π= ???????????? ，
∴P= ???????????????? = ???????????? ．
?
故答案为： ???????????? ．
?
3.在如图所示的圆形射击靶中，所有黑、白正三角形都全等．小明向靶子射击一次，若子弹打中靶子，则子弹刚好穿过黑色区域的概率是　　．
【解析】解：因为黑白正三角形都全等，且黑色正三角形的个数与白正三角形的个数之比是1：2，
所以黑白正三角形的面积的和之比是1：2，
又因为黑白弓形的半径都是正三角形的边长，并且圆心角都是120°，
所以黑白两色的弓形的面积也分别相等，
因为黑白两色的弓形的个数之比是1：2，
所以黑白两色的弓形的面积的和之比是1：2，
所以黑白两色区域面积之比是1：2，
所以子弹刚好穿过黑色区域的概率是 ???????? ，
故答案为： ???????? ．
?
4.一位汽车司机准备去商场购物，然后他随意把汽车停在某个停车场内，如图，停车场分A，B两区，停车场内一个停车位置正好占一个方格且一个方格除颜色外完全一样，则汽车停在A区深色区域的概率是　 　，停在B区深色区域的概率是　 　．
_____________
【解析】解：A、B区共有13个方格，A中颜色深的区域有2个，
则汽车停在A区深色区域的概率是 ???????????? ，
B中深色区域有4个，停在B区深色区域的概率是 ????????????
?
5.假如小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？（图中每一块方砖除颜色外完全相同）
P(停在黑砖上)=
16
4
=
4
1
6.在边长为1的正方形ABCD中作一内切圆O，并向正方形ABCD中掷点M，设M在正方形ABCD中均匀分布，试求M落在圆O中的概率。
分析：由于正方形ABCD是一个面积已知的固定区域，向正方形ABCD中随机地投掷一个质点M，若质点M在正方形ABCD中的分布是均匀的，则质点M落在正方形内某个区域的可能性只与区域的面积成正比，而与区域的形状和位置无关。
7.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，AB 为转盘直径，如图所示，并规定：顾客消费100 元（含100 元） 以上，就能获得一次转转盘的机会， 如果转盘停止后，指针正好对准 9 折、8 折、7 折区域，顾客就可以获得相应的优惠.
（1）某顾客正好消费99 元，是否可以获得转转盘的机会？
（2）某顾客正好消费120 元，他转一次转盘获得三种打折优惠的概率分别是多少？
解：（1）根据规定，消费100 元（含100 元）以上才能获得一次转转盘的机会，而99 元小于100 元，故不能获得转转盘的机会.
（2）若获得9 折优惠，则概率P（9 折）＝90°360?°＝14；
若获得8 折优惠，则概率P（8 折）＝ 60°360?°＝ 16 ；
若获得7 折优惠，则概率P（7 折）＝30°360?° ＝112 .
?
课堂小结
1．可以利用图形的面积关系来计算事件的概率；
2．可以采用列举、树形图、坐标系等方法列出所有的等可能结果。
3.怎样利用几何图形求概率？
P(A)=事件A发生的所有可能结果所组成的区域的长度（面积或体积）所有可能结果所组成的区域的长度（面积或体积）