12.2证明 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第12章证明
12.2证明
教学目标
01
了解公理、证明与定理、定理的推论的含义，认识九个基本事实
02
掌握证明的一般步骤与书写规范
如图，是静的，还是动的？
01
情境引入
左右两边处于中心位置的圆大小是否相等？
01
情境引入
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是这些结论不一定正确，数学中，探索发现的结论需要加以证实。
01
情境引入
Q1：如图，两条线段AB与CD哪一条长一些？
通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：线段CD比线段AB长，故以上结论不正确。
看上去线段AB比线段CD长
But
C B D
A
01
情境引入
Q2：把图(1)长方形草坪中间1m宽的直道，改成图(2)中处处1m宽的“曲径”，这两条小道的面积相等吗？
1m

1m

图(1) 图(2)
看上去不相等，但其实相等
01
情境引入
【分析】如果将图(2)中小道左边的草坪向右平移1m，并将其与右边的草坪拼在一起，那么得到一个长为(a-1)m、宽为bm的长方形，
于是，“曲径”的面积
=“原长方形的面积”-“现长方形的面积”
=ab-b(a-1)=ab-ab+b=b(m )，
而“直道”的面积=1×b=b(m )，
1m

图(2)
∴通过图形的平移与计算可得：
两条小道的面积相等。
01
情境引入
Q3：当x=-5、-0.5、0、2、3时，分别计算代数式x -2x+2的值，你发现了什么？
x取不同的值，
x -2x+2的值都是正数
x x -2x+2
-5
-0.5
0
2
3
01
情境引入
37
3.25
2
2
5
【分析】
x -2x+2=(x -2x+1)+1=(x-1) +1，
∵(x-1) ≥0，
∴(x-1) +1≥1，
∴通过将x -2x+2变形为(x-1) +1可证：
不管x取何值，代数式x -2x+2的值都不小于1。
01
情境引入
Q4：图(1)是一张8×8的正方形纸片，把它剪成4块，按图(2)重新拼合。这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？
看上去能，但其实不能，图(2)本身就画得不对
01
情境引入
【分析】
∵8×8的正方形的面积为64，
而长为13、宽为5的长方形的面积为65，
∴这4块纸片不能拼成一个长为13、宽为5的长方形。
01
情境引入
2000多年前，古希腊数学家欧几里得对前人在数学上的成果进行了系统整理，他把人们公认的一些真命题作为公理，并以此为出发点，用推理的方法证实了一系列命题，编纂成了人类文明史上具有里程碑意义的数学巨著——《原本》。
这学期，我们也曾把一些真命题作为基本事实，并从基本事实出发证实了有关余角、补角、对顶角、平行线的一些结论。
01
情境引入
【公理、证明与定理】
依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题称为公理。
根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。
经过证明的真命题称为定理。
公理、证明与定理
02
知识精讲
【公理——九个基本事实】
①两点确定一条直线；
②两点之间，线段最短；
③过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
⑧三边分别相等的两个三角形全等；
⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
公理
02
知识精讲
待学
议一议1：完成下列推理过程。如图，已知∠CGD=∠CAB，∠ADE+∠CEF=180°，求证：∠1=∠2。
证明：∵∠ADE+∠CEF=180°（__________________________），
∴EF∥AD（__________________________），
∴∠2=∠3（__________________________）；
∵∠CGD=∠CAB（__________________________），
∴DG∥AB（__________________________），
∴∠1=∠3（__________________________）；
∵∠2=∠3（__________________________），
∴∠1=∠2（__________________________）。
已知
等量代换：
一个量用与它相等的量代替
02
知识精讲
已知
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
已证
等量代换
如上，证明过程通常包含几个推理，每个推理应包括因、果和由因得果的依据。其中，
（1）“因”是已知事项；
（2）“果”是推得的结论；
（3）“由因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等。
证明过程必须做到言必有据。
02
知识精讲
为了使证明过程表达得更加简明，前面推理所得的“果”作为下一个推理的“因”，通常可以省略不写。
eg： ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）；
∵∠CGD=∠CAB（已知），
∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）；
∵∠2=∠3（已证），
∴∠1=∠2（等量代换）。
02
知识精讲
前面已证，这边可省略
议一议2：证明：三角形的内角和定理。
已知：ABC，
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
B
C
A
（1）根据题意，画出图形
（2）结合图形，根据命题的条件与结论，写出已知与求证
02
知识精讲
证明：如图，画ABC的边BC的延长线CD，过点C画CE // AB，
B
C
A
（3）写出证明过程
D
E
2
1
这样的辅助线是从拼图得到的启发
02
知识精讲
∵CE // AB（辅助线画法），
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）；
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）。
证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：
（1）根据题意，画出图形；
（2）结合图形，根据命题的条件与结论，写出已知与求证；
（3）写出证明过程。
02
知识精讲
议一议3：三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？
已知：ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
求证：∠ACD=∠A+∠B。
（1）根据题意，画出图形
（2）结合图形，根据命题的条件与结论，写出已知与求证
B
C
A
D
02
知识精讲
证明：
∵∠A+∠B+∠ACB=180°（已知），
且∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠ACB=∠A+∠B（等量代换）。
（3）写出证明过程
B
C
A
D
02
知识精讲
【总结】由三角形内角和定理，可以推出：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
【定理的推论】
由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论，它和定理一样，可以作为进一步证明的依据。
定理的推论
02
知识精讲
例1、4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是________。
A
【分析】
若A错，则D为最后一名，B为第一名，C为第二或第三名，符合题意；
若B错，则B为最后一名，与D矛盾；
若C错，则C是第一或最后一名，与A、D矛盾；
若D错，则没有最后一名，不符合题意。
03
典例精析
例2、下列命题中，是基本事实的是（　　）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．同角的补角相等
C．两点之间，线段最短
D．三角形任何两边的和大于第三边
D
【分析】解：A、平行于同一条直线的两条直线平行，是定理，不是基本事实；
B、同角的补角相等，是定理，不是基本事实；
C、两点之间，线段最短，是基本事实；
D、三角形任何两边的和大于第三边，是定理，不是基本事实。
03
典例精析
例3、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，证明：BE∥CF。
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式。
证明：∵∠3=∠4（已知），
∴AE∥______（________________________），
∴∠EDC=∠5（________________________）；
∵∠5=∠A（已知），
∴∠EDC=______（等量代换），
∴DC∥AB（________________________），
∴∠5+∠ABC=180°（________________________），即∠5+∠2+∠3=180°；
∵∠1=∠2（已知），
∴∠5+∠1+∠3=180°（________________________），即∠BCF+∠3=180°，
∴BE∥CF（________________________）。
BC
内错角相等，两直线平行
∠A
两直线平行，内错角相等
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
03
典例精析
例4、如图，ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，请从以下给出三个条件①∠1+∠2=180°；②∠3=∠C；③DE∥BC再选取两个为条件，剩下的一个作为结论，并请完成证明．
条件（已知）__________________________；结论（求证）__________。
【分析】证明：∵∠1是DEH的外角（已知），
∴∠1=∠3+∠4（外角的性质）；
又∵∠1+∠2=180°（已知），
∴∠3+∠4+∠2=180°（等量代换）；
∵∠3=∠C（已知），
∴∠C+∠4+∠2=180°（等量代换），即∠DEC+∠C=180°，
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）。
①∠1+∠2=180°，②∠3=∠C
③DE∥BC
03
典例精析
例5、数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式：
23×83=(2×8+3)×100+3×3=1909；
38×78=(3×7+8)×100+8×8=2964；
45×65=(4×6+5)×100+5×5=2925。
（1）请你类比上面的等式，计算：①84×24，②562；
（2）请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明。
【分析】解：（1）①84×24=(8×2+4)×100+4×4=2016，
②562=56×56=(5×5+6)×100+6×6=3100+36=3136；
03
典例精析
例5、数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式：
23×83=(2×8+3)×100+3×3=1909；
38×78=(3×7+8)×100+8×8=2964；
45×65=(4×6+5)×100+5×5=2925。
（1）请你类比上面的等式，计算：①84×24，②562；
（2）请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明。
（2）一般规律为：(10a+c)×[10×(10-a)+c]=[a×(10-a)+c]×100+c×c，
证明：左边=10a×10×(10-a)+10a×c+c×10×(10-a)+c×c
=100a×(10-a)+10ac+10c×(10-a)+c×c
=100a×(10-a)+100c+c×c
=[a×(10-a)+c]×100+c×c=右边。
03
典例精析
课后总结
【公理、证明与定理、定理的推论】
依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题称为公理。
根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。
经过证明的真命题称为定理。
由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论，它和定理一样，可以作为进一步证明的依据。
课后总结
【公理——九个基本事实】
①两点确定一条直线；
②两点之间，线段最短；
③过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
⑧三边分别相等的两个三角形全等；
⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。