第十二章 二次根式（小结与思考） 单元复习课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
第12章 二次根式
小结与思考
学习目标
1.整理、总结二次根式的相关知识，在巩固基本知识的基础上学会灵活运用;
2.感受化归的数学思想，提高探究问题的能力.
知识框架
第12章
二次根式
概念
性质
运算
二次根式
一般地，式子 (a≥0)叫做二次根式，a叫做被开方数.
最简二次根式
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
(2)被开方数中不含分母；
(3)分母中不含根号.
这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式.
同类二次根式
经过化简后，被开方数相同的二次根式
≥0，a≥0 (双重非负性)
=a (a≥0)
乘除
加减
混合运算
乘法：=(a≥0，b≥0)；除法：=(a≥0，b＞0)
二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式.
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
整式运算的法则、公式和运算率仍然适用.
考点分析
考点一　二次根式的识别
①； ②； ③； ④(m≤0)； ⑤(x、y异号)；
⑥； ⑦； ⑧(a≥0).
例1 下列各式中，哪些是二次根式 　
解：①、④、⑥、⑦、⑧是二次根式.
(1)形式上：
含有二次根号“”，注意三次根号“”等都不可以；
方法总结
判断二次根式的方法:
(2)内容上：
被开方数必须是非负数，注意被开方数可以是数、字母或含有字母的式子.
巩固练习
2．a是任意实数，下列各式中：①；②；③；
④；⑤，一定是二次根式是_________(填序号).
②③④
1．下列式子是二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
C
考点分析
考点二　二次根式有意义的条件
例2 要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？
(1) ；
(2) ；
(2)不论x取何实数，总有x2≥0，x2+1≥1，二次根式在实数范
围内总有意义；
解：(1)要使有意义，必须x-5≥0，即x≥5；
(3) ；
(4) +
例2 要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？
(3) 由题目条件，得：
解①得：x≤，
解②得：x≠，
∴不等式组的解集为：x＜．
∴当x＜时，式子 在实数范围内有意义.
考点分析
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) +
例2 要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？
(4) 由题目条件，得：
解①得：x≤，
解②得：x，
∴不等式组的解集为： 2≤x≤．
∴当2≤x≤时，式子+在实数范围内有意义.
考点分析
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) +
考点分析
变式 已知y=++x+3，求的值.
解：∵y=++x+3，
∴x-3≥0，3-x≥0，
∴x=3，故y=6，
∴==3.
方法总结
确定使代数式有意义的字母的取值范围时，常常从以下三个方面来考虑：(1)被开方数大于或等于0；
(2)分母不能为0；
(3)零次幂或负整数指数幂的底数不能为0.
巩固练习
1．下列二次根式，无论x取什么值都有意义的是(　　)
A.　　 B. C. D.
D
2．要使代数式有意义，则x的取值范围为____________.
x≥-2且x≠0
3．使代数式有意义的整数有_______________.
、、0、1
巩固练习
4. 已知，均为实数，，求的值．
解：∵，
∴
∴ ，
∴，
∴.
考点分析
例3 ，为实数，且，
化简：
解：∵式子要有意义，
∴
∴，，
∴
.
考点三　二次根式的性质
巩固练习
1. 若＝2－b，则b满足的条件是(　　)
A.b＞2 　 B.b＜2 C.b≥2 D.b≤2
D
2.化简－()2的结果是(　　)
A.－2x－1 B.2x－1 C.1 D.－1
C
巩固练习
3.若＝()2，则a应满足的条件是________.
a≥0
4.已知实数a，b满足＋|6－b|＝0，则的值为________.
5. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： ______．
类比归纳
(a≥0)与的区别与联系
表 达 式 ()2＝a(a≥0) ＝|a|
区 别 表示意义不同 表示a(a≥0)的算术平方根的平方 表示a的平方的算术平方根
取值范围不同 a为非负数，即a≥0 a取一切实数
运算顺序不同 先求非负实数a的算术平方根，然后再进行平方运算 先求实数a的平方，再求a2的算术平方根
运算结果不同 ()2＝a(a≥0) ＝|a|＝
联 系 ()2(a≥0)与的结果均为非负数，且当a≥0时，=()2
考点分析
考点四　最简二次根式的识别
(1) ；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) .
解：(1)不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
(2)不是最简二次根式，被开方数含分母．
(3)是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
(4)是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
(5)不是最简二次根式，被开方数含分母．
(6) 不是最简二次根式，被开方数含分母．
例4 判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
方法总结
判断是否是最简二次根式，满足以下三个条件：
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
(2)被开方数中不含分母；
(3)分母中不含有根号.
1.下列二次根式中属于最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
巩固练习
D
2.若是最简二次根式，则m、n的值为_______________.
3.若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是___．
m=0，n=-1
2
巩固练习
4. 若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．
解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式，
解得： ，
且符合题意，
.
考点分析
考点五　同类二次根式
例5 已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积．
解：，
∵与为同类二次根式，
∴，
解得：，
这两个二次根式的积为．
2.若与最简二次根式是同类二次根式，则a＝________.
1
巩固练习
1.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是(　　)
A.与 B.与 C.与 D.与
D
3.若两个最简二次根式与可以合并，则a=_____，b=_______.
1
1
考点分析
考点六　二次根式的运算
(1) (--3)×；
例6 计算：
解：(1)原式=(-2-)×2
=(-3)×2
=-18；
巩固练习
(2) (-1)2+×(+2)-(+1)(-1).
解：(2)原式=3-2++2-(-+-1)
=3-2+2-+-+1
=4+-.
例6 计算：
方法总结
(2)进行二次根式的混合运算时，整式运算的法则、公式和运算率仍然适用.
二次根式混合运算：
(1)确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左向右的顺序进行，有括号的先算括号内的．
巩固练习
1.如果＝－x，那么x的取值范围是(　　)
A.x≤0 B.x≥－3 C.－3≤x≤0 D.x≤－3或x≥0
C
2.化简a的结果是(　　)
A. B. C.－ D.－a
C
巩固练习
3.下列计算中，结果正确的是(　　)
A.×＝3 B.＋＝2
C.÷＝ D.－＝－
C
4.△ABC的两边长分别为2，5，则第三边的长度不可能为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
A
巩固练习
5．比较大小：
① ；
② ；
③．
＞
＜
＜
6.计算：
(1) ×-÷；
解：(1)原式=2-
=
=-；
(2)(+1)(-1)-(-1)2
(2)原式=4-6-(3-2+)
=-2-1-
=-.
巩固练习
巩固练习
7.已知：如图，中，，，，求：的面积；斜边的长．
B
A
C
解：中，，，
，
的面积；
中，，，
，
由勾股定理得：，
即的长是．
8.二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处．
解：（1）原式
=
=
；
(1)计算：；
巩固练习
(2)比较：与的大小；
，
，即，
；
(2)
=
=
，
巩固练习
(3)化简：．
(3)
=
=
=
．
巩固练习
考点分析
考点七　与二次根式有关的化简求值
例7 已知a=-2，b=+2，分别求下列代数式的值：
(1)a2b-ab2； (2)a2+ab+b2.
解：(1)∵a=-2，b=+2，
∴a2b-ab2=ab(a-b)
=(-2)(+2)(-2--2)
=[()2-22]×(-4)
=(-1)×(-4)
=4.
(2)∵a=-2，b=+2,
∴a2+ab+b2
=(a+b)2-ab
=(-2++2)2-(-2)(+2)
=(2)2-[()2-22]
=12+1
=13.
巩固练习
1. 化简()2022 ()2023的结果为( )
A．﹣﹣2 B．﹣2 C．+2 D．﹣1
C
2. 已知，则( )
A． B．6 C．4 D．12
C
巩固练习
3.已知x＝，y＝，求下列各式的值：
(2)x2－2xy＋y2.
(1)x2－y2；
解：(1)当x＝，y＝时，
原式＝(x＋y)(x－y)
＝()×()
＝2×(1－)
＝2－2.
(2)当x＝，y＝时，
原式＝(x－y)2
＝
＝
＝3－2.
巩固练习
4.已知a＝，求式子的值.
解：∵a＝=2-，
∴a-1＜0.
原式=＝
＝2--1+
＝3.
巩固练习
5. 已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值．
解：∵，
∴，
由题意得，，
∴．
巩固练习
6.设一个三角形的三边长分别为a，b，c，p＝(a＋b＋c)，则有下列面积公式：
S＝(海伦公式)，S＝ (秦九韶公式).
(1)当a＝7，b＝8，c＝9时，请你利用海伦公式求三角形的面积；
解：∵p＝ ＝12，
∴由海伦公式得
S＝＝ ＝12 .　
巩固练习
(2)当a＝，b＝2，c＝3时，请你利用秦九韶公式求三角形的面积.
解：由秦九韶公式得
S＝
＝
＝
＝ .
课堂小结
谈谈你本节课的收获是什么？