河北省衡水市武邑中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题(含解析)

河北省衡水市武邑中学2023-2024学年高二下学期第二次月考
数学试题
注意事项：
1．本试卷分Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．若随机变量，且，则（ ）
A．0.29 B．0.71 C．0.79 D．0.855
3．已知圆，直线，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，是方程的两根，则的前6项和为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．8
5．随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据：
20 25 30 35 40
5 7 8 9 11
用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（ ）（单位：百件）
A．11.2 B．11.75 C．12.2 D．12
6．已知双曲线为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，依次类推，曲线在处的切线交轴于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．设，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则的最小值为 B．若，则
C．“”是“”的充分不必要条件 D．若，则
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A． B．若为线段CQ上的一个动点，则的最大值为3
C．点到直线CQ的距离是 D．直线AM与平面所成角正弦值的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设，则______.
13．在数列中，，若，则______．
14．有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知是各项均为正数的等比数列，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，分别为AD，AB的中点，且．
（1）证明：．
（2）若，求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
17．（本小题15分）在平面直角坐标系xOy中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点P，M为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于两点，设直线AF、BF的斜率分别为．
①求证：为定值；
②求面积的最大值．
18．（本小题17分）已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值集合；
（2）设为整数，若对任意正整数都有，求的最小值．
19．（本小题17分）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量．这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征．（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布．这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息．由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的．事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）．熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底．采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性．例如，投掷一次硬币提供了的信息，而掷次就为位．更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量．在1948年，克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滴．而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻．设随机变量所有取值为，定义的信息熵．
（1）若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
（2）若，求此时的信息熵．
河北武邑中学2023-2024学年下学期高二年级第二次月考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A B C D D A ABC BCD BD
1．【答案】D
【详解】由题意，，所以．故选：D．
2．【答案】B
【详解】因为，又，所以，所以．故选：B．
3．【答案】A
【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1．
因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交，
所以圆心到直线的距离，解得．
其必要不充分条件是把的取值范围扩大，
所以选项中只有是的必要不充分条件．故选：A
4．【答案】B
【详解】因为是方程的两根，所以，
又因为是等差数列，根据等差数列的性质有：，
设的前6项和为，则．故选：B
5．【答案】C
【详解】因为，
所以回归直线过点，故，解得，
所以，将代入中，得，
即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为12.2百件．故选：C．
6．【答案】D
【详解】由题意设OP直线方程为直线方程为，
设
则，
同理，
所以，即．故选：D
7．【答案】D
【详解】由，则，所以，
则函数在处的切线为，令，解得，即，
同理可得曲线在处的切线方程为，
令，解得，即，
所以，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
所以．
故选：D
8．【答案】A
【详解】令，则，
当时，，则单调递增，所以，
即，则；
令，则，当时，单调递增，
所以，即，即．综上所述，．故选：A．
9．【答案】ABC
【详解】对A，由，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对B，因为，即，所以，所以，故B正确；
对C，当时，，所以，故充分性成立；
当，即或，故不一定成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对D，当时，不成立，故D错误．故选：ABC
10．【答案】BCD
【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故c，k的值分别是和2，故D正确．故选：BCD．
11．【答案】BD
【详解】对于项，因为
所以，故A项错误；
对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
设点，使，
则，故，则
，
因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故B项正确；
对于C项，又，则，
故得：，
则点到直线CQ的距离为：，故C项错误；
对于D项，设平面的一个法向量为
所以，取，所以
由，则，由，
又，当且仅当时，取等号
知，D项正确．故选：BD
12．【答案】
【详解】因为，所以，
所以．故答案为：
13．【答案】5
【详解】由得，
因为，所以数列是首项为81，公比为的等比数列，
所以，所以，
当时，，所以数列为递减数列．
若，则有，即，
得，又因为，所以．故答案为：5．
14．【答案】
【详解】根据乘法原理和加法原理得到．
奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为，
根据乘法原理和加法原理得到，
两式相减得到．故答案为：．
15．【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，
即，…………………………………………………………………………………………2分
解得（舍）或．………………………………………………………………………………4分
．………………………………………………………………………………6分
（2），………………………………………………………………………………8分
．…………………………………………………………………9分
，………………………………………………………………10分
相减得：，，…………………………………………………………………12分
所以．………………………………………………………………………………13分
16．【详解】（1）连接BD，EF，因为底面ABCD是菱形，E，F分别为AD，AB的中点，
所以，所以，……………………………………………………………1分
又平面PEF，………………………………………………………2分
所以平面PEF，…………………………………………………………………………………………3分
因为平面PEF，所以．……………………………………………………………………4分
（2）因为是AD的中点，所以．…………………………………………………5分
又平面ABCD，……………………………………………………6分
所以平面ABCD．………………………………………………………………………………………7分
连接EB，以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，…8分
如图所示．设，则，
设是平面PDF的法向量，由，
得取，可得，……………………………………………10分
设是平面PBC的法向量，
由，得取，可得，………………………12分
所以，…………………………………………………………14分
所以平面PBC与平面PDF夹角的余弦值为．……………………………………………………15分
17．【详解】（1）因为，所以，………………………………………………………………1分
又，所以，所以．……………………………………………………2分
所以，……………………………………………………………………………………………………3分
所以椭圆的标准方程为………………………………………………………………………4分
（2）①当AB的斜率为0时，显然…………………………………………………5分
当AB的斜率不为0时，设，
由得，………………………………………………………6分
设，故有，……………………………………7分
所以．
因为，……………………………………………9分
所以．综上所述，恒有为定值………………………………………………………10分
·，……………………………………………11分
即，…………………13分
当且仅当，即时取等号（此时适合），………………………14分
所以面积的最大值为……………………………………………………………………………15分
18．【详解】（1），……………………………………………………………………………1分
当时，恒成立，所以在上单调递增，，
所以时，时，，所以不恒成立；………………………………3分
当时，，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得最小值，…………………………5分
若恒成立，则，即，………………………………………6分
设，
，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得最小值，……………………………………………………8分
所以只有，能使，………………………………………………………9分
综上可知，的取值集合为；…………………………………………………………………………10分
（2）由（1）可知，当时，，只有当时，等号成立，…………………………11分
所以，……………………………………………13分
这个式子相乘得，………………………………14分
的值随着n的变大而变大，所以当n趋向于无穷大时，趋向于，…………15分
所以，………………………………………………………………16分
若对任意正整数都有为整数，
所以的最小值为2…………………………………………………………………………………………17分
19．【详解】（1）当时，，………………2分
令，
则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，……………………………………………6分
所以当时，取得最大值，最大值为……………………………………………7分
（2）因为，
所以，…………………………………………………………9分
故，……………………………………………………………10分
而，……………………………………………………………………11分
于是，………………………………13分
整理得
令，
则，
两式相减得
因此，…………………………………………………………………………………………16分
所以…………………………………………17分