上海市大同中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题(含解析)

2023学年第二学期5月学情调研
高一数学 90分钟 满分100分
班级__________姓名___________学号_________
一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）
1.设是等差数列，且，，则的通项公式为__________.
2.已知数列中，，，则数列的前9项和等于__________.
3.数列中，，，为的前项和.若，则__________.
4.已知数列是等比数列，且，则的值为_________.
5.已知数列的前项和满足，则其通项公式为__________.
6.已知向量，，且向量与共线，则实数_______.
7.数列的前项和，首项为1，对于任意正整数，都有，则______.
8.等差数列的前项和为，，，则______.
9.在平面直角坐标系中，已知，，C，D为y轴上两个动点，且，则的最小值为________.
10.已知是等比数列，，，则____________.
11.已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前100项的和为_____________.
12.已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为____________.
二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）
13.已知方程的两虚根为，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C.， D.，
14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1），（2），（3）；相应的在向量运算中，下列式子：（1），（2），（3）；正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
15.若，则在中，正数的个数是（ ）
A.16 B.72 C.86 D.100
16.设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“数列”.关于命题：①存在等差数列，使得它是“数列”；②若是首项为正数、公比为的等比数列，则，是为“数列”的充要条件.下列判断正确的是（ ）
A.①和②都为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①和②都为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.
在中，角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，其中，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分.
已知复数，（，为虚数单位）.
（1）若为实数，求；
（2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求.
19.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、燃油费、养护保险费.某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费为2万元，以后每一年的燃油费都比前一年增加0.2万元.现购买一辆该型号的汽车，解答以下问题：
（1）若每年养护保险费均为1万元.设年后支出的总费用为万元，求的表达式；
（2）由于部件老化和事故多发，前6年中，每年养护保险费均为1万元，从第7年起，每年的养护保险费都比前一年增加10%.设使用n年后的年平均支出费用为，当时，最小.请列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）.
20.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.
已知数列满足，（，）.又数列满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列是严格增数列，求的取值范围.
21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
已知以为首项的数列满足：.
（1）当时，且，写出，；
（2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围；
（3）记为的前项和，当时.
①给定常数，求的最小值；
②对于数列，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？请说明理由.
参考答案
一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）
1.【答案】
【解析】∵，∴，∴，∴.
2.【答案】27
【解析】∵时，，且
∴是以为首项，为公差的等差数列
∴.
3.【答案】6
【解析】∵，，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，∴.
4.9
【详解】由等比数列的性质知：，，，
所以，又，
所以.
5.
6.【答案】-2
【详解】因为向量，，
所以向量与，因为向量与共线
所以，解得.故答案为：-2.
7.【答案】31
【详解】由题意数列的前5项构成首项为1，公比为2的等比数列，
若从第5项起的数构成一个新的数列，则它的首项为，公差为-2，
所以由题意.
故答案为：31.
8.【答案】
【解析】
试题分析：设等差数列的首项为，公差为，
由题意有：，解得，
数列的前项和，
裂项有：，据此：
.
9.【答案】-3
【解析】
【分析】设C，D的坐标，利用向量的坐标运算求解.
【详解】设，
1.若，则，，
可得，
当时，取到最小值-3；
2.若，则，，
可得，
当时，取到最小值-3；
综上所述：取到最小值-3.
故答案为：-3.
10.设等比数列的公比为，由解得
所以，于是.
因为，所以数列是以8为首项、以为公比的等比数列.
因此.
11.319
【详解】，，则当时，，于是得，即，而，即，因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，
，
因为数列在区间内的项的个数，则有，
，
，，
所以数列的前100项的和为1×3+2×12+3×48+4×37=319.
12.【答案】27
【解析】设，
则
，
由得，，，，所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，
，为等差数列项数，且.
由，，∴，，
得满足条件的最小值为27.
二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）
13.A 14.B 15.C
16.C【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列:为“数列”，则有，
即，，，
于是，
依题意，任意的，，函数，在单调递减，值域是，
因此，所以是为“数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故选:C
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17.解答：（1）在中，.
由正弦定理，得.
（2）在中，由余弦定理，有，代入数值得，解得.
18.解（1）.
由为实数，得，解得，故.
（2）由题意，，，且.
于是，解得，故.
19.解答：设第年的燃油费为万元，有.
（1）.
（2）设第年的养护保险费为万元，有
当时，使用年后的总养护保险费为.
由（1），使用年后的总支出费用为.
故，利用计算器可得.
20.解答：（1）当时，，即，亦即.
又，故，所以数列是等比数列.
（2）由（1），，即，.
由题意，对任意的正整数成立，对任意的正整数成立.
因为数列严格增，且对任意的正整数成立，所以，又，因此的取值范围是.
21.解答：（1），因为，所以.
同理，可求得.
（2）由题意，当时，，此时，
当时，，符合题意.
于是，当时，，即.
对于数列，有，由，可得.
因此，的取值范围为.
（3）①由，得.
，
将代入上式，并化简得.
由于，当为奇数时，的最小值为，此时.
当为偶数时，的最小值为，此时.
②满足条件的数列存在，但不唯一.
数列可以是0，-1，0，-1，0，-1，0，-1；
0，1，-2，1，-2，1，-2，-1.