2023-2024学年四川省绵阳中学高二（下）第二次月考数学试卷（5月份）（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳中学高二（下）第二次月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，若，，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
2.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若是与的等比中项，则的零点个数为( )
A. B. 或 C. D. 或或
4.已知在处有极值，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
5.高三班某天安排节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.设，，，，，数列，则的前项和是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，，使得成立，则的取值范围为( )
A. ， B. ，
C. D.
8.已知是自然对数的底数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求函数导数正确的是( )
A. B.
C. D.
10.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如表下列关于函数的结论正确的是( )
A. 函数的极值点的个数为
B. 函数的单调递减区间为
C. 若时，的最大值是，则的最大值为
D. 当时，方程有个不同的实根
11.已知正项数列是递增的等差数列，是公比为的等比数列，且满足，，则( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若有两个极值点，，则下面判断正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则 ______．
14.有人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中人，则所有不同的录用情况种数为______用数字作答
15.记为等差数列的前项和，若，，数列满足，当最大时，的值为______．
16.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式若对，不等式恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，在处的切线与直线平行．
求实数的值；
求函数的极值．
18.本小题分
已知数列满足，
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，．
求数列的通项公式；
若数列为递增数列，记，求数列的前项的和．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；
Ⅱ当时，求函数在上的最大值和最小值；
Ⅲ当时，对任意的正整数，求证：．
21.本小题分
已知正项数列的前项和为，且，
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
22.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若对任意，都有成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为是和的等比中项，则，
解得，由等比数列的符号特征知．
故选：．
根据等比数列的通项公式即可求解．
本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前项和的求法，解题时要认真审题，并注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题．
利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质能求出．
【解答】
解：等差数列的前项和为，
又，
．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：由是与的等比中项，得，，，
方程的判别式，因此方程无实根，
所以的零点个数为．
故选：．
根据给定条件，确定判别式的正负即可得解．
本题主要考查了等比数列的性质，还考查了函数零点的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，，
函数在处有极值，
且，
，或，，
，时恒成立，此时函数无极值点，
，，
．
故选：．
先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可．
本题考查导数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分步进行分析：将语文课与数学课看成一个整体，与英语、地理全排列，分析物理与生物安排方法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分步进行分析：
将语文课与数学课看成一个整体，与英语、地理全排列，有种情况，
若物理与生物相邻，有种安排方法，
若物理与生物不相邻，有种安排方法，
则物理与生物有种安排方法，
故有种安排方法，
故选：．
6.【答案】
【解析】解因为由，
则，
则，
则，
则，
所以是以为周期的函数，
又，
所以的前项和为：．
故选：．
根据题意得到是以为周期的函数，进而即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式及周期性在数列求和中的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由，，使得成立，
则函数的值域包含的值域．
当时，函数开口向上，对称轴，
所以在上单调递减，且，
所以；
当时，，则，
若，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，即，解得；
若，则，在上单调递增，
此时值域为，符合题意．
当时，的值域为，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为，．
故选：．
由，，使得成立，可得函数的值域包含的值域．利用二次函数的性质与导数分析和时，函数的单调性，进而求得的值域和的值域，从而求解．
本题主要考查分段函数的及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，则，
所以时，，单调递增，
又，
，
，所以．
再令，则，所以在上是增函数，
时，，即时，，故，
，即，所以．
故选：．
令，利用导数判断函数的单调性，从而可判断，再令，利用导数判断，从而可判断，从而可判断，，的大小关系．
本题主要考查利用导数判断函数的单调性，对数值大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据题意，由基本初等函数的求导公式以及积的求导法则，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由的图形可知，，，是函数的极值点，A正确；
由导函数的正负与函数单调性关系可知，的单调递减区间，，B错误；
当时，的最大值，而的最大值不是，C错误；
当时，与有个不同的交点，故D正确．
故选：．
由已知结合导数正负与单调性及极值关系分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了导数正负与函数单调性关系的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
因为，所以，
又，所以，
因为是正项递增的等差数列，故，所以，故A正确；
由，得，即，所以，故B正确；
因为，
所以，
又，所以，即，故C正确；
因为，所以或，
当时，，，所以，所以D错误．
故选：．
设等差数列的公差为，根据是正项递增的等差数列，可判断；由已知条件可得，由可得，即可判断；根据基本不等式可判断；当时，，即可判断．
本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意知：定义域为，；
当时，，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
有且仅有一个极值点，不合题意；
当时，令，则；
当，即时，恒成立，即恒成立，
在上单调递增，无极值点，不合题意；
当，即且时，令，解得：，；
当时，，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
有且仅有一个极值点，不合题意；
当时，，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值点为，极小值点为，满足题意；
对于，，是方程的两根，，A正确；
对于，当时，，当时，单调递减，
，B正确；
对于，，，
，；
，，
，C错误；
对于，，
，是方程的两根，，，
，
令，，
在上单调递增，，，D正确．
故选：．
求导后，分别在、、和的情况下，讨论单调性，从而得到极值点个数，确定；利用韦达定理可判断A正确；根据单调性可知，得到B正确；
利用可化简，结合可知C错误；将化简成关于的函数，利用导数可求得最值，知D正确．
本题主要考查根据函数极值点个数求解参数范围，并判断相关结论；解题关键是能够采用讨论含参数函数单调性的方法，讨论得到函数极值点个数，从而确定满足题意的参数的取值范围，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
令得，，
解得，
故答案为：．
先求出导函数，再令即可求出的值．
本题主要考查了导数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
四人中有人被录取，有种不同的录用情况；
四人都被录取，需要先将人分为组，再将分好的组安排给所学校，有种不同的录用情况；
则有种种不同的录用情况．
故答案为：．
根据题意，分种情况讨论：四人中有人被录取，四人都被录取，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
即，
即，
又，
，
，
，
令，则，
故当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；
的单调性与的单调性相同，
而，，
故当最大时，；
故答案为：．
由等差数列的性质可得，化简可得，再由求得，从而写出，构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而确定最值．
本题考查了等差数列及导数的综合应用，应用了构造法，属于中档题．
16.【答案】．
【解析】解：定义在上的函数关于轴对称，
函数为上的偶函数，
令，则，为奇函数，
，
当时，不等式，
，在单调递增，
函数在上单调递增，
对，不等式恒成立，
，
即，
，
当时，，
则，
则，，单调递减，
，，单调递增，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
，
当时，，则，则，
则的取值范围是．
故答案为：．
构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立，分离参数求最值即可求解．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题意可知，，
，，．
，
，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，无极小值．
【解析】由求出实数的值；
利用导数得出的单调性，进而得出极值．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值等知识，属于基础题．
18.【答案】解：数列满足，
．
．
，
数列是等比数列，首项为，公比为．
数列的前项和．
【解析】利用“累加求和”即可得出；
，利用等比数列的前项和公式即可得出．
本题考查了“累加求和”、等差数列与等比数列的前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：设公差为，则，
即，
解得或，
所以或；
因为数列为递增数列，则，
所以，
所以，
有，
两式相减，有
，
即．
【解析】先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件，等比中项的性质与等差数列的求和公式列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列的通项公式；
由知，则，然后利用错位相减法即可求解．
本题考查了等差数列的通项及错位相减法求和，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ由已知：，
依题意：对恒成立，
，对恒成立，即，对恒成立，
，即．
Ⅱ当时，，，
若，则，
若，则，
故是函数在区间上唯一的极小值点，也就是最小值点，
故．
又，，则，
，
，，
在上最大值是，
在上最大值为，最小值为．
Ⅲ当时，由知，在是增函数．
当时，令，则，，
即．
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值最值，属于较难题．
Ⅰ若函数在上是增函数，对恒成立，分离参数转化为求函数的最值即可求解．
Ⅱ时，求的导数，再令导数等于，得到的的值为函数的极值点，在借助函数在上的单调性，判断函数当为何值时有最大值，何时有最小值．
Ⅲ借助中判断的函数在上是增函数，把证明转化为比较函数值大小的问题．
21.【答案】解：由且，
可得，即，
解得，
即有，
可得数列是首项和公差均为的等差数列，
则，即，
当时，，对也成立，
则的通项公式为；
，
则数列的前项和．
【解析】由等差数列的定义和通项公式，结合当时，，可得所求；
由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解当时，，定义域为，
，
设，，则，
在上递增，
，当时，，
则，当时，，则，
的减区间为，增区间为．
由题意可得，令，，
则，，
令，，则，
为上的增函数，，
当时，，恒成立，即恒成立，
在上单调递增，而，
当时，，
当时，对任意，恒成立；
当时，，，
由零点存在性定理得，，，
为上的增函数，
当时，，即，
当时，单调递减，
当时，，
这与对任意，恒成立矛盾，
不合题意．
综上，的取值范围是．
【解析】求出导数，令，结合导数可知在上递增且，再求出的单调区间；
求出导数，令，运用研究单调性可知，当时，运用导数研究单调性即可，当时，运用导数及零点存在性定理可得当时，，与已知相矛盾，进而可求得结果．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
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