2023-2024学年河南省商丘市二十校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省商丘市二十校联考高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲同学计划分别从份不同的语文试卷、份不同的数学试卷中各任选份试卷练习，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D. 或
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.从，，，，，，，，，这个数字中不放回地依次取个数，记“第一次取到的是偶数”为事件，“第二次取到的是奇数”为事件，则( )
A. B. C. D.
5.五一放假期间，名男生和名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与名同学站成一排合影留念，若名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
7.在的展开式中，项的系数为( )
A. B. C. D.
8.数学中“凸数”是一个位数不低于的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于的三位数中“凸数”的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量的数学期望，则
B. 若随机变量的方差，则
C. 将一枚硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布
D. 从男女共名学生中随机选取名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布
10.已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，独立，则
D. 若，互斥，则
11.随机地向个器皿内投放种不同的食物给只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量为空器皿个数，则下列说法正确的是( )
A. 随机变量的取值为，， B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项为______．
13.已知随机变量，且，则函数的最小值为______．
14.第届世界大学生夏季运动会于年月日在成都开幕大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，且．
求与的值；
求的值．
16.本小题分
某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀．
估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数参考数据：若，则，，．
17.本小题分
某班共有团员人，其中男团员人，女团员人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选人参加学校的团员座谈会用数字作答
若至少有名组长当选，求不同的选法总数；
若至多有名女团员当选，求不同的选法总数；
若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数．
18.本小题分
在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置道面试题目，每道题分已知某学生对于前道题，每道题答对的概率均为；对于第道题，答对的概率为记该学生的总得分为．
求该学生前道题至少答对道题的概率；
求的分布列及数学期望．
19.本小题分
冗余系统是指为增加系统的可靠性，而采取两套或两套以上相同、相对独立配置的设计冗余系统因为前期投入巨大，后期的维护成本高，所以只有在高风险行业应用比较广泛，如：金融领域、核安全领域、航空领域、煤矿等领域某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，升级后的设备控制系统由偶数个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立当控制系统有不少于一半的元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行记有个元件组成时设备正常运行的概率为例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率．
若，求；
已知升级后的设备控制系统原有个元件，现再增加个相同的元件，若对都有，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．
故选：．
利用分步乘法计数原理进行求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：随机变量的分布列为：
则由离散型随机变量的分布列的性质，得：
，
即，
解得或，
当时，，不符合分布列的性质，
所以．
故选：．
利用随机变量的分布列的性质求解．
本题考查随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以，且，
解得或舍去．
故选：．
根据组合数、排列数公式得到方程，解得即可．
本题考查了组合数、排列数公式，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：在事件发生后，只有个数字，其中有个奇数，所以．
故选：．
根据实际情况缩小样本空间，利用古典概型求概率公式得到条件概率．
本题主要考查条件概率，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：
第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有种；
第二步：相邻女生排在一起有种；
第三步：名男生排在剩下的位置有种．
因此名女生相邻且农场主站在中间共有种站法．
故选：．
农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解．
本题主要考查排列组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：随机变量，则有，
由，解得，
所以．
故选：．
由二项分布的期望和方差公式，解出，，由二项分布的概率公式求．
本题考查二项分布的期望和方差公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为，，，，，，
则的展开式中项的系数为，
所以的展开式中项的系数为．
故选：．
利用二项式系数的性质列式求解即可．
本题考查二项式定理，考查运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
三位数中“凸数”的百位是时，
若其十位数字为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
若其十位数字为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
若其十位数字为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
此时有个“凸数”；
三位数中“凸数”的百位是时，
若其十位数字为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
若其十位数字为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
若其十位数字为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
此时有个“凸数”；
三位数中“凸数”的百位是时，
若其十位数字为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
若其十位数字为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
此时有个“凸数”；
三位数中“凸数”的百位是时，
其十位数字只能为，个位数字都有种情况，此时有个“凸数”，
此时有个“凸数”；
综合可得：共有个符合题意的“凸数”．
故选：．
根据题意，按“凸数”的百位数字分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：因为，故A正确；
对于：因为，故B错误；
对于：根据二项分布的概念可知随机变量，故C正确；
对于：根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确．
故选：．
利用离散型随机变量的期望的性质可判断；利用离散型随机变量的方差的性质可判断；利用二项分布的概念可判断；利用超几何分布的概念可判断．
本题考查了离散型随机变量的概率分布，期望和方差的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A中：，故选项A错误，选项B正确；
选项C中：，独立，则，则，故选项C正确；
选项D中：，互斥，则，根据条件概率公式，
故选项D正确．
故选：．
结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断．
本题考查了条件概率的概率公式的应用，独立事件概率公式以及互斥事件概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得随机变量的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以，
故A，B错误，，D正确．
故选：．
根据古典概型的概率公式，结合排列组合求解个数，即可求解分布列，进而结合选项即可逐一求解．
本题考查了离散型随机变量的概率分布及期望和方差的计算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：的展开式中的通项公式为，
令，
，此时．
故答案为：．
根据二项式定理展开式的通项公式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为随机变量，且，
所以，解得，
所以函数，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该函数的最小值为．
故答案为：．
由正态分布曲线的对称性可知，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，
则与互斥，根据题意得：
，，，
则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为：
．
故答案为：．
设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，则与互斥，利用全概率公式能求出运动员甲第二天去餐厅用餐的概率．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：由，得，
令，得；
由可知，
令，得，
令，得，
，得，
所以，
所以．
【解析】结合二项式系数的性质即可求解，然后令可求；
利用赋值法，结合二项式系数的性质可求．
本题主要考查了二项式系数及系数的性质的应用，赋值法的应用，属于基础题．
16.【答案】解：设学生的物理得分为随机变量，则，所以，，
所以，
，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为．
由题意，得，，
即，，
所以
所以．
又，所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人．
【解析】由计算可得；，由此计算可得．
本题考查正态分布的应用，属于中档题．
17.【答案】解：方法一分类讨论法：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二总体剔除法：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
根据题意可知，至多有名女团员含有四种情况：有名女团员，有名女团员，有名女团员，没有女团员，
故共有种．
根据题意可知，既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长不当选，男组长当选，从剩余名男团员，名女团员中选人，其中至少选择名女团员，有种；
第二类：女组长当选，有种．
故共有种．
【解析】采用分类讨论或总体剔除法计算即可；
采用分类讨论计算即可；
采用分类讨论计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
18.【答案】解：设事件表示“该学生前道题至少答对道题”，
则；
由题意可知，的取值可能为，，，，，
则，，，，
，
所以的分布列为：
所以．
【解析】利用独立事件的概率乘法公式求解；
由题意可知，的取值可能为，，，，，再利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，，，
因为各元件之间相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
；
若控制系统增加个元件，则现在有个元件，至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为，
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作，
其概率为，
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，
其概率为，
所以
因为对，都有，所以对恒成立，
即对恒成立．
由，当时，所以，
所以的取值范围是．
【解析】正常工作的元件个数服从于二项分布，利用概率公式求；
分情况讨论原系统中正常工作的元件个数，计算，由求的取值范围．
本题主要考查了二项分布的概率公式，考查了概率的应用，属于中档题．
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