2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
2.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线平行的直线的方程是( )
A. B. C. D.
4.已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.如图，在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，点满足，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行亦称占行、净行、丑行、杂行、武行、流行某次京剧表演结束后个表演者七行中每行人排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是( )
A. B. C. D.
7.已知，，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知曲线的方程为，则下列说法正确的是( )
A. 存在实数，使得曲线为圆
B. 若曲线为椭圆，则
C. 若曲线为焦点在轴上的双曲线，则
D. 当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值
11.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过，，三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则( )
A. 观测点，之间的距离是
B. 圆的方程为
C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为
D. 小汽车不会进入安全预警区
12.已知椭圆：过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是( )
A. 的离心率为
B. 的方程为
C. 若，则
D. 若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中的常数项为______．
14.新高考模式下，“”中“”是数学、语文、外语三个必选的主科，“”是物理、历史二选一“”是在地理、生物、化学、政治中选两科已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为______．
15.九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，现有如图所示的“堑堵”，其中，，若“堑堵”的体积为，则“堑堵”的外接球的表面积为______．
16.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点在第二象限，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知两点，，直线：．
若直线经过点，且，求直线的方程；
若圆的圆心在直线上，且，两点在圆上，求圆的方程．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．
求角；
若，的面积为，求的周长．
19.本小题分
甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，若甲赢而乙输，则甲得分；若甲输而乙赢，则甲得分；若甲和乙同时赢或同时输，则甲得分设甲赢教练的概率为，乙赢教练的概车为，每轮比赛结果相互独立．
求在一轮比赛中，甲得分的分布列；
求前两轮比赛中甲得分之和为的概率．
20.本小题分
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线的方程．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面与平面垂直，，分别为，的中点．
求证：平面；
求二面角的平面角的余弦值．
22.本小题分
在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作直线交于，两点与，不重合，直线与的交点是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：按上、下两条线路分为两类，上线路中有条，下线路中有条．
故不同的线路可以有条．
故选：．
根据分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由已知，得，
所以的虚部为．
故选：．
先由等式，反解出，再利用复数的除法运算法则，求出复数即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设与直线平行的直线的方程为，
将点代入得，解得，
所以所求直线的方程为．
故选：．
利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解．
本题考查直线方程的点斜式，两条直线的平行关系，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等轴双曲线的方程为，
将点代入，得，解得，
所以双曲线的标准方程为．
故选：．
设出等轴双曲线的标准方程，将点代入即可求解．
本题考查双曲线的标准方程及几何性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意知：．
故选：．
根据空间向量的线性运算求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：先将生行、旦行、武行、流行这人全排列，有种，
产生个空，再将净行、丑行、杂行这人插入个空中，有种，
所以不同的排法总数是．
故选：．
由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：由已知得：，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
故选：．
由点到平面的距离的向量求法即可求得．
本题考查点到平面的距离的求法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，半径为，
圆：和两点，，
圆上至少存在一点，使得，则，
圆与圆：的位置关系为相交、内切或内含，所以，
又，所以，即．
故选：．
求解圆的圆心与半径，结合，推出，得到，然后求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，向量的数量积的应用，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，，所以，故选项A正确；
对于选项B，，所以，故选项B错误；
对于选项C，，，所以，故选项C正确；
对于选项D，，不存在实数，使得，故与不平行，故选项D错误．
故选：．
由向量模、数量积的坐标公式，以及向量共线定理逐一判断每一选项即可求解．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：曲线为圆即，A正确；
为椭圆，，，，B错误；
为焦点在轴上的双曲线，C正确；
是椭圆，，此时焦距，不是定值，D错误．
故选：．
按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可．
本题主要考查双曲线的性质和椭圆的性质，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意，得，，所以，
即观测点，之间的距离是，故A错误；
设圆的方程为，因为圆经过，，三点，
所以，解得，
所以圆的方程为，故B正确；
小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是，
所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C正确；
圆化为标准方程为，
圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D错误．
故选：．
由两点间距离公式可求判断；设圆的方程为，代入点的坐标可求圆的方程判断；求得汽车行驶路线所在直线的方程为判断；判断直线与圆的位置关系判断．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，，则，即，
因为，在椭圆上，所以，，两式相减得：
，
所以，
所以，又，
所以，即，又，
所以，离心率，故A正确；
因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为，故B错误；
若，则直线的方程为，
联立，得，所以，，
所以，故C正确；
若，则直线的方程为．
假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，，的中点为，
所以，．
因为，关于直线对称，
所以且点在直线上，即．
又，在椭圆上，所以，，两式相减得：
，
所以，
即，
所以，即，
联立，解得，
所以，又，
所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，
所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称，故D错误．
故选：．
利用点差法确定，关系，结合，有求得离心率；根据椭圆过定点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆上存在，两点并设其中点坐标利用点差法确定，验证，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，点差法的应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：的展开式中的通项公式为，
令，
，此时．
故答案为：．
根据二项式定理展开式的通项公式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由全概率公式，得，
即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为．
故答案为：．
根据古典概型相关知识可解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图所示的“堑堵”，其中，，
若“堑堵”的体积为，
则“堑堵”的体积，所以，
将“堑堵”置于边长为的正方体中，
此时“堑堵”的外接球即为正方体的外接球，外接球的直径为，
所以“堑堵”的外接球的表面积．
故答案为：．
根据“堑堵”的体积求出，将“堑堵”置于边长为的正方体中，此时“堑堵”的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的对角线可得答案．
本题考查了“堑堵”外接球的表面积计算，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：易知抛物线的焦点，
因为，
又，
所以为等边三角形，
此时，，
所以直线的方程为，
不妨设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
解得．
故答案为：．
由题意，根据题目所给信息以及抛物线的定义得到为等边三角形，设出的方程和，两点的坐标，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合，列出等式再进行求解即可．
本题考查抛物线的定义，考查了逻辑推理和运算能力．
17.【答案】解：直线：的斜率为，
设直线的斜率为，由，得，解得，
又直线经过点，
所以直线的方程为，即．
方法一：，所以的中垂线的斜率为，
又的中点为，所以的中垂线的方程为，即．
因为，两点在圆上，所以圆心在的中垂线上，
又圆心在直线上，由得即圆心的坐标为，
又圆的半径，
所以圆的方程为．
方法二：因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心的坐标为，半径为，
所以圆的方程为，
又，两点在圆上，
所以，解得
所以圆的方程为．
【解析】易知直线：的斜率为，再根据结合直线经过点求解；
方法一：求得的中垂线方程，再由圆心在直线上，由求得圆心即可；
方法二：根据圆的圆心在直线上，可设圆心的坐标为，半径为，再由，两点在圆上，代入圆的方程求解．
本题主要考查直线和圆的位置关系与应用，圆的方程的求法，是中档题．
18.【答案】解：向量，，因为，
可得：，
由正弦定理可得：，
即，
由余弦定理：，
所以，
又，
所以；
，，
由三角形面积公式，得，
解得，
所以为等腰三角形，
所以，
又，
即，
所以的周长为．
【解析】由向量平行，可得，再由正弦定理和余弦定理可得的值，进而求出角的大小；
由三角形的面积可得，进而求出角的大小，由正弦定理可得边的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题设，的可能取值为，，，
则，
，
，
的分布列为：
设第一轮比赛中甲得分为，第二轮比赛中甲得分为，前两轮比赛中甲得分之和为为事件，
则事件包含，；，；，，且，；，；，两两互斥，
又每轮比赛结果相互独立，
所以，
即前两轮比赛中甲得分之和为的概率为．
【解析】由甲、乙与教练比赛的结果相互独立，分别计算随机变量取，，时的概率，从而得出分布列；
设第一轮比赛中甲得分为，第二轮比赛中甲得分为，前两轮比赛中甲得分之和为分解为三个两两互斥的事件：，；，，，，计算它们的概率和即可．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，考查了互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
20.【答案】解：由题可知，其中，所以，
又点在椭圆上，所以，即，解得，，
所以椭圆的方程为．
由椭圆的方程，得，
所以，
设，其中，，因为，
所以，
又点在椭圆上，所以，
联立方程组，得，
解得或舍，
当时，，即或．
所以当的坐标为时，直线的方程为；
当的坐标为时，直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
【解析】利用给的条件列方程求得，的值，进而得到椭圆的标准方程；
联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】证明：取的中点，连接，因为为的中点，则，
因为为正三角形，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，则，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，解得，
取，则，所以，
印，即，所以平面；
解：由知，，，
设平面的法向量为，
则，解得，
令，则，，所以，
由题可得，平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，
所以．
【解析】由面面垂直的性质定理结合条件可得，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，再由向量法证明直线与平面垂直即可；
由向量法求二面角即可．
本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题．
22.【答案】解：设，则，
所以，即，
故曲线的方程为；
根据题意，直线的斜率不为，设直线的方程为，
由消去并整理得，
，
设，，则，
因为，，所以可设直线的方程为，
直线的方程为，
所以直线，的交点的坐标满足．
而
，
因此，即点在定直线上，且定直线的方程为．
【解析】设，由斜率公式得到方程，整理即可得解；
依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，即可得到直线，的交点的坐标满足，根据韦达定理求出，即可求出，从而得解．
本题考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数学运算能力，属于中档题．
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