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第一章
空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角．
2. 理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角．
3. 理解二面角与两个平面法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．
活 动 方 案
活动一 利用向量方法求两异面直线所成的角
思考1
在空间向量运算的坐标表示这一节中，已经涉及借助空间向量的坐标解决两条异面直线所成角的余弦值问题，能否总结回顾一下它的原理？
【解析】 先求出两条异面直线的方向向量，再利用空间向量的数量积公式，求出两个向量夹角的余弦值，再回到异面直线所成的角的问题．
例1 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，求直线EF和BC1所成角的大小．
利用空间向量求两条异面直线所成角的步骤：
(1) 建立适当的空间直角坐标系；
(2) 求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3) 利用向量的夹角公式求出两条直线方向向量的夹角；
(4) 结合异面直线所成角的范围得到两条异面直线所成的角.
活动二 利用向量方法求直线与平面所成角及平面与平面所
成角的大小
思考2
我们已经知道利用向量可以解决异面直线所成角的问题，能否用向量方法求直线与平面所成的角？
思考3
除了异面直线所成的角和直线与平面所成的角以外，空间中还有什么角？是否也能用向量方法去解决？
例2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
【解析】 以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角．
因为C1C⊥平面A1B1C1，
所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0,0,1)．
根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0,1,3)，Q(2，0,2)，R(0,2,1)，
利用向量方法求平面与平面所成角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小．最后结合平面与平面所成角的范围得到平面与平面所成角的大小．但求解二面角的大小时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐角还是钝角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来．
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．
【解析】 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0，0,2)，C1(0，2,2)．
易得n1＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的法向量是n2＝(x，y，z)．
空间中角的问题都可以用向量的夹角去解决，先将图形问题化为向量问题，再进行向量计算，最后回到图形问题，从而问题得以解决．
检 测 反 馈
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【解析】 因为n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°.
1. 若平面α的一个法向量为n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成角的大小为( )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
【答案】 D
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2. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°， 则BC1与A1C所成角的余弦值为( )
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【答案】 A
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3. (多选)(2024惠州统考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论中正确的是( )
A. 直线BC1与直线AD1所成角的大小为90°
B. B1D⊥平面ACD1
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【答案】 BD
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4. 已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为________.
【答案】 45°
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5. (2024深圳统考)如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥CD，AD∥BC，AD⊥AB，SB＝SD，AB＝AD.
(1) 求证：SA⊥平面ABCD；
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【解析】 (1) 如图，取BD的中点E，连接SE，AE.
因为SB＝SD，AB＝AD，
所以SE⊥BD，AE⊥BD.
又SE∩AE＝E，SE 平面SAE，AE 平面SAE，
所以BD⊥平面SAE.
因为SA 平面SAE，所以SA⊥BD.
又因为SA⊥CD，BD∩CD＝D，BD 平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
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谢谢观看
Thank you for watching1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2)
1. 理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角．
2. 理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角．
3. 理解二面角与两个平面法向量的夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．
活动一 利用向量方法求两异面直线所成的角
思考1
在空间向量运算的坐标表示这一节中，已经涉及借助空间向量的坐标解决两条异面直线所成角的余弦值问题，能否总结回顾一下它的原理？
例1 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
1. 若异面直线l1，l2所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则有cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝.它的原理是借助向量的夹角解决异面直线所成的角．
2. 求两条异面直线所成角的两个关注点：
(1) 余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角；
(2) 范围：异面直线所成角的范围是，故两条直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，求直线EF和BC1所成角的大小．
利用空间向量求两条异面直线所成角的步骤：
(1) 建立适当的空间直角坐标系；
(2) 求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3) 利用向量的夹角公式求出两条直线方向向量的夹角；
(4) 结合异面直线所成角的范围得到两条异面直线所成的角．
活动二 利用向量方法求直线与平面所成角及平面与平面所成角的大小
思考2
我们已经知道利用向量可以解决异面直线所成角的问题，能否用向量方法求直线与平面所成的角？
思考3
除了异面直线所成的角和直线与平面所成的角以外，空间中还有什么角？是否也能用向量方法去解决？
例2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
利用向量方法求平面与平面所成角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小．最后结合平面与平面所成角的范围得到平面与平面所成角的大小．但求解二面角的大小时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐角还是钝角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大小．
空间中角的问题都可以用向量的夹角去解决，先将图形问题化为向量问题，再进行向量计算，最后回到图形问题，从而问题得以解决．
1. 若平面α的一个法向量为n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3，1，3)，则平面α与β所成角的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°， 则BC1与A1C所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
3. (多选)(2024惠州统考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论中正确的是( )
A. 直线BC1与直线AD1所成角的大小为90°
B. B1D⊥平面ACD1
C. 点B1到平面ACD1的距离为
D. 直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为
4. 已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为________．
5. (2024深圳统考)如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥CD，AD∥BC，AD⊥AB，SB＝SD，AB＝AD.
(1) 求证：SA⊥平面ABCD；
(2) 已知SA＝AB＝AD＝1，BC＝2，＝λ(0<λ<1)，若平面BDN与平面SDC夹角的余弦值为，求实数λ的值．
【参考答案与解析】
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2)
【活动方案】
思考1：先求出两条异面直线的方向向量，再利用空间向量的数量积公式，求出两个向量夹角的余弦值，再回到异面直线所成的角的问题．
例1 以{，，}作为基底，
则＝－＝－，
＝(＋).
设向量与的夹角为θ，
则直线AM和CN夹角的余弦值等于|cosθ|.
·＝(＋)·＝||2－·＋·－·＝－＋－＝.
又△ABC和△ACD均为等边三角形，
所以||＝||＝，
所以cos θ＝＝＝，
所以直线AM和CN夹角的余弦值为.
跟踪训练 以直线BA，BC，BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝1，则B(0，0，0)，E，F，C1(0，1，1)，
所以＝，＝(0，1，1)，
所以cos 〈，〉＝＝＝，
所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.
思考2：类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．如图，直线AB与平面α相交于点B.设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝||＝.
思考3：空间中还有平面与平面所成的角，也可以用向量方法去解决．
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．类似于两条异面直线所成的角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||＝.
例2 以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角．
因为C1C⊥平面A1B1C1，
所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1).
根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)，
所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2).
设n2＝(x，y，z)，则
所以所以
取n2＝(3，4，2)，
则cos 〈n1，n2〉＝＝.
设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝，
故平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为.
跟踪训练 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2)，C1(0，2，2).
易得n1＝(1，1，0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的法向量是n2＝(x，y，z).
因为＝(－2，2，－2)，＝(－2，0，0)，
所以
令z＝1，解得x＝0，y＝1，故n2＝(0，1，1).
设二面角B1-A1C-C1的大小为θ，
显然θ为锐角，
所以cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝，
所以θ＝，即二面角B1-A1C-C1的大小为.
【检测反馈】
1. D 因为n1·n2＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°.
2. A 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A1(3，0，3)，B(0，4，0)，C1(0，0，3)，所以＝(3，0，3)，＝(0，－4，3)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以直线BC1与A1C所成角的余弦值为.
3. BD 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1).对于A，＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，所以＝，可得BC1∥AD1，故A错误；对于B，＝(－1，－1，－1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，所以·＝0，·＝0，所以B1D⊥AD1，B1D⊥AC.又AC∩AD1＝A，AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，故B正确；对于C，因为B1D⊥平面ACD1，所以是平面ACD1的一个法向量．又＝(－1，0，－1)，所以点B1到平面ACD1的距离为＝||＝，故C错误；对于D，设直线B1C与平面ACD1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝，所以直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为＝，故D正确．故选BD.
4. 45° 建立如图所示的空间直角坐标系．设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(0，1，0).取PD的中点E，则E，所以＝.易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，cos 〈，〉＝，故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
5. (1) 如图，取BD的中点E，连接SE，AE.
因为SB＝SD，AB＝AD，
所以SE⊥BD，AE⊥BD.
又SE∩AE＝E，SE 平面SAE，AE 平面SAE，
所以BD⊥平面SAE.
因为SA 平面SAE，所以SA⊥BD.
又因为SA⊥CD，BD∩CD＝D，BD 平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
(2) 由(1)可知，SA⊥平面ABCD，且AD⊥AB，故以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为SA＝AB＝AD＝1，BC＝2，＝λ(0<λ<1)，
所以A(0，0，0)，B(0，1，0)，D(1，0，0)，S(0，0，1)，C(2，1，0)，
则＝(2，1，－1)，＝(1，1，0)，＝(1，0，－1)，
所以＝(2λ，λ，－λ)，可得N(2λ，λ，1－λ)，
所以＝(1，－1，0)，＝(2λ，λ－1，1－λ).
设平面SDC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝1，
所以m＝(1，－1，1).
设平面BDN的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
令x2＝1，可得y2＝1，z2＝，
所以n＝.
因为平面BDN与平面SDC夹角的余弦值为，
所以|cos 〈m，n〉|＝||＝＝，
解得λ＝或λ＝0，
因为0<λ<1，所以λ＝.
