(共43张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.3 空间向量的综合应用
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
灵活利用空间向量解决空间中的点、线、面的位置关系及角的问题．
活 动 方 案
活动一 空间向量在立体几何中的应用
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1) 求证：PA∥平面EDB；
(2) 求证：PB⊥平面EFD；
(3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC＝1.
(1) 连接AC，交BD于点G，连接EG.
直线、平面的平行和垂直的判定及空间中的角的问题，都可以利用空间向量来解决．对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法(综合法、向量法、坐标法)．
(1) 求证：平面ADC⊥平面ABE；
(2) 求直线AD与平面ABE所成角的正切值．
因为DA 平面ADC，DC 平面ADC，DA∩DC＝D，
所以BE⊥平面ADC.
又BE 平面ABE，
所以平面ADC⊥平面ABE.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，D为AB的中点．
(1) 求证：BC1∥平面DCA1；
(2) 求平面DCA1与平面AA1C1C所成的锐二面角的余弦值．
活动二 空间向量在物理中的应用
例2 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)．
由于物理中的力也是向量，所以物理中关于矢量(向量)的问题都可以转化为数学中的向量问题解决.
检 测 反 馈
2
4
5
1
3
1. (2024南阳期末)已知过点P(x0，y0，z0)且法向量为n＝(A，B，C)的平面α的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.若平面α的方程为x＋y－z－3＝0，直线l是平面x＋2y－1＝0与 x＋z＋3＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
2
4
5
1
3
【答案】 A
2
4
5
1
3
2. 在正三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，M为棱PA上的动点，设BM与AC所成的角为α，BM与底面ABC所成的角为β，二面角M－AC－B所成的角为γ，则下列结论中正确的是( )
A. 2cos α>cos β B. 2cos αC. 2cos γ>cos β D. 2cos γ2
4
5
1
3
2
4
5
1
3
2
4
5
1
3
【答案】 B
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
【答案】 BCD
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
5. 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝AA1＝2，E，F分别是侧棱AA1，CC1的中点．
(1) 求证：四边形EBFD1为菱形；
(2) 求点C到平面BDF的距离．
2
4
5
3
1
2
4
5
3
1
谢谢观看
Thank you for watching1．4.3 空间向量的综合应用
灵活利用空间向量解决空间中的点、线、面的位置关系及角的问题．
活动一 空间向量在立体几何中的应用
例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1) 求证：PA∥平面EDB；
(2) 求证：PB⊥平面EFD；
(3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
直线、平面的平行和垂直的判定及空间中的角的问题，都可以利用空间向量来解决．对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法(综合法、向量法、坐标法).
如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝1，D，E分别是边AB，AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角ADEB，如图2，连接各点．
(1) 求证：平面ADC⊥平面ABE；
(2) 求直线AD与平面ABE所成角的正切值．
图1 图2
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，D为AB的中点．
(1) 求证：BC1∥平面DCA1；
(2) 求平面DCA1与平面AA1C1C所成的锐二面角的余弦值．
活动二 空间向量在物理中的应用
例2 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N).
由于物理中的力也是向量，所以物理中关于矢量(向量)的问题都可以转化为数学中的向量问题解决．
1. (2024南阳期末)已知过点P(x0，y0，z0)且法向量为n＝(A，B，C)的平面α的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.若平面α的方程为x＋y－z－3＝0，直线l是平面x＋2y－1＝0与 x＋z＋3＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2. 在正三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC，M为棱PA上的动点，设BM与AC所成的角为α，BM与底面ABC所成的角为β，二面角M-AC-B所成的角为γ，则下列结论中正确的是( )
A. 2cos α>cos β B. 2cos αcos β D. 2cos γ3. (多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，Q是PD的中点，则下列结论中正确的是( )
A. CQ⊥平面PAD
B. 直线PC与平面AQC所成角的余弦值为
C. 点Q到平面ABCD的距离为
D. 三棱锥BACQ的体积为6
4. 设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为锐角时，λ的取值范围是________．
5. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝AA1＝2，E，F分别是侧棱AA1，CC1的中点．
(1) 求证：四边形EBFD1为菱形；
(2) 求点C到平面BDF的距离．
【参考答案与解析】
1．4.3 空间向量的综合应用
【活动方案】
例1 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC＝1.
(1) 连接AC，交BD于点G，连接EG.
由题意，得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E.
因为底面ABCD是正方形，
所以点G是它的中心，
故点G的坐标为，
所以＝(1，0，－1)，＝，
所以＝2，即PA∥EG.
因为EG 平面EDB，PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2) 由题意，得B(1，1，0)，所以＝(1，1，－1).
因为＝，
所以·＝0＋－＝0，
所以PB⊥DE.
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF 平面EFD，DE 平面EFD，
所以PB⊥平面EFD.
(3) 已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD或其补角是平面CPB与平面PBD的夹角．
设点F的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z－1).
设＝k，
所以(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)＝(k，k，－k)，
即x＝k，y＝k，z＝1－k.
因为·＝0，所以(1，1，－1)·(k，k，1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0，
解得k＝，所以点F的坐标为.
又点E的坐标为，
所以＝(－，，－)，
所以cos ∠EFD＝
＝＝，
所以∠EFD＝60°，
即平面CPB与平面PBD的夹角的大小为60°.
跟踪训练1 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，E，C(，1，0)，所以＝，＝，＝.
因为所以BE⊥DA，BE⊥DC.
因为DA 平面ADC，DC 平面ADC，DA∩DC＝D，
所以BE⊥平面ADC.
又BE 平面ABE，
所以平面ADC⊥平面ABE.
(2) 由(1)知＝，＝(－，0，)，＝.
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则 即
令 x＝，则y＝2，z＝，
所以n＝(，2，).
设直线AD与平面ABE所成的角为θ，
所以sin θ＝＝＝.
因为θ∈，所以θ＝，
所以tan θ＝tan ＝.
跟踪训练2 (1) 如图，以BC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB＝BC＝CA＝AA1＝2，则A(0，0，)，A1(0，2，)，D(，0，)，B(1，0，0)，B1(1，2，0)，C1(－1，2，0)，C(－1，0，0).
设平面DCA1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
又＝，＝(1，2，)，
所以
令x＝1，则z＝－，y＝1，所以n＝(1，1，－).
因为＝(－2，2，0)，
所以n·＝－2＋2＋0＝0，
所以n⊥.
又BC1 平面DCA1，所以BC1∥平面DCA1.
(2) 设平面AA1C1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
又＝(0，2，0)，＝(1，2，)，
所以
令z1＝1，则x1＝－，所以m＝(－，0，1)，
所以cos 〈m，n〉＝＝－，
所以所求锐二面角的余弦值为.
例2 如图，设水平面的单位法向量为n，其中每一根绳子的拉力均为F.
因为〈n，F〉＝30°，
所以F在n上的投影向量为|F|n，
所以8根绳子拉力的合力F合＝8×|F|n＝4|F|n.
又因为降落伞匀速下落，
所以|F合|＝|G礼物|＝1×9.8＝9.8(N)，
所以|4|F|n|＝9.8，所以|F|＝≈1.41(N).
【检测反馈】
1. A 直线l是平面x＋2y－1＝0与x＋z＋3＝0的交线，设直线l的方向向量为m＝(x，y，z)，平面x＋2y－1＝0的法向量为(1，2，0)，平面x＋z＋3＝0的法向量为(1，0，1)，则令y＝1，得x＝－2，z＝2，所以直线l的方向向量为m＝(－2，1，2).因为平面α的方程为x＋y－z－3＝0，所以n＝(1，1，－1)为平面α的法向量．设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，故直线l与平面α所成角的正弦值为.
2. B 设正三棱锥P-ABC的底面边长为6，高为t，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令M为PA的中点，则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，O1(2，3，0)，P(2，3，t)，M，所以＝，＝(3，3，0)，＝，所以cos α＝＝＝.过点M作MF∥PO1交AD于点F，所以MF＝PO1＝，∠MBF即为BM与底面ABC所成的角，所以sin β＝＝＝，所以cos β＝＝＝，所以2cos α时，2cos γcos β，故C，D错误，故选B.
3. BCD 取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP.因为△PAD为等边三角形，所以OP⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP 平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE 平面ABCD，OD 平面ABCD，所以OP⊥OE，OP⊥OD.又AD⊥OE，所以OD，OE，OP两两垂直．如图，以O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，D(，0，0)，A(－，0，0)，P(0，0，3)，C(，2，0)，B(－，2，0).因为Q是PD的中点，所以Q.平面PAD的一个法向量为m＝(0，1，0)，＝，显然m与不共线，所以CQ与平面PAD不垂直，故A不正确；＝(，2，－3)，＝，＝(2，2，0).设平面AQC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－，－).设直线PC与平面AQC所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，故cos θ＝， 故B正确；点Q到平面ABCD的距离，即为OP＝，故C正确；三棱锥B-ACQ的体积为VB-ACQ＝VQ-ABC＝S△ABC·OP＝××2×2××3＝6，故D正确．故选BCD.
4. 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1).由＝λ，得P(λ，λ，1－λ)，则＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝(－λ，1－λ，λ－1).因为∠APC为锐角，所以·＝(1－λ，－λ，λ－1)·(－λ，1－λ，λ－1)＝(λ－1)(3λ－1)>0，解得λ<或λ>1.又因为动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，所以0≤λ<，故λ的取值范围是.
5. (1) 取CD的中点G，连接AC，AG.
因为底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°，
所以△ACD为等边三角形，
所以AG⊥DC.
又AB∥CD，所以AG⊥AB.
易知AB，AG，AA1两两垂直，以A为坐标原点，AB，AG，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，C(1，，0)，D(－1，，0)，E(0，0，1)，F(1，，1)，D1(－1，，2)，
所以＝(－1，，1)＝，＝(－2，0，1)＝，
所以BF∥ED1，BE∥FD1，且||＝＝||，
所以四边形EBFD1为菱形．
(2) 设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z).
因为＝(－1，，1)，＝(－3，，0)，
所以即
取x＝1，得n＝(1，，－2).
又＝(－1，，0)，
所以点C到平面BDF的距离d＝＝＝.
