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第二章
直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
活 动 方 案
活动一 情景引入
【解析】 略
【解析】 ①已知两点可以确定一条直线；
②已知一点和一个方向可以确定一条直线．
思考1
(1) 确定一条直线的几何要素是什么？
(2) 如果一条直线只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
【解析】 给出另一个点或一个方向．
(3) 用什么量来表示直线的方向？
【解析】 相对于x轴的倾斜程度．
活动二 直线的倾斜角
思考2
用什么量来刻画直线相对于x轴的倾斜程度？
【解析】 倾斜角
结论：
倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，________与直线l________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
规定：当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为________.
倾斜角α的取值范围：____________.
x轴正向
向上
0°
0°≤α<180°
【解析】 由题意画出如下草图．由图可知，
当α为钝角时，倾斜角为α－90°；
当α为锐角时，倾斜角为α＋90°；
当α为直角时，倾斜角为0°.
例1 已知直线l过原点，直线l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角？
求直线的倾斜角主要根据定义，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A. α＋45°
B. α－135°
C. 135°－α
D. 当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
【解析】 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
【答案】 D
活动三 直线的斜率
思考3
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与点P1，P2的坐标有怎样的关系？
图1
结论：
直线的斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.
思考4
(1) 当直线确定后，k值与直线上两点的顺序是否有关？ 它的斜率是否确定？
【解析】 k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值．
(2) 当直线与x轴平行或重合时，公式是否成立？
【解析】 当直线与x轴平行或重合时，公式成立，此时斜率为0.
(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率是否存在？
【解析】 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
(4) 直线的斜率公式还可以从什么角度认识？
【解析】 斜率是直线倾斜程度的数量化，是一比值．
我们称y2－y1为纵坐标的增量(用Δy表示)，x2－x1为横坐标的增量(用Δx表示)．
例2 如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率．
直线的斜率可直接由公式计算可得．
已知点A(－3，－5)，B(1,3)，C(5，11)．求证：A，B，C三点共线．
思考5
由例2可归纳得出：
当直线的斜率为正时，直线有怎样的变化趋势？
当直线的斜率为负时，直线有怎样的变化趋势？
当直线的斜率为0时，直线有怎样的变化趋势？
当直线满足什么条件时，直线的斜率不存在？
【解析】 当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合；
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
运用斜率公式求直线斜率时，一定要注意公式中x1≠x2的条件．
思考6
直线的方向向量与斜率k有什么关系？
练习1 (2024厦门大学附属科技中学阶段测试)直线l的一个方向向量为(－1,3)，则它的斜率k等于( )
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
【答案】 A
练习2 (多选)下列说法中，正确的是( )
【解析】 对于A，当u＝0时，斜率不存在，故A错误；对于B，由方向向量与斜率的关系可得结论，故B正确；对于C，若k＝0时，方向向量不为零向量，故C错误；对于D，由d·t＝－uv＋uv＝0，故D正确．故选BD.
【答案】 BD
例3 经过点(3,2)画直线，使直线的斜率分别为：
活动四 斜率公式的简单应用
思考7
已知一点和直线的斜率，如何作直线？
【解析】 略
思考8
还有其他作法吗？
【解析】 略
已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在一条直线上，求实数a的值．
三点共线时，可以利用斜率相等，还可利用两点间距离公式等.
检 测 反 馈
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【答案】 D
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【答案】 A
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【解析】 对于A，直线的倾斜角为α，当α＝90°时，斜率不存在，故A错误；对于B，直线的倾斜角的取值范围为[0,180°)，故B错误；对于C，直线的倾斜角的取值范围为[0,180°)，则有sinα≥0，故C正确；对于D，任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为 tanα，故D正确．故选CD.
3. (多选)下列说法中，正确的是( )
A. 若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
B. 一条直线的倾斜角为－30°
C. 若直线的倾斜角为α，则sinα≥0
D. 任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα
【答案】 CD
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4. (2024北京丰台区期中)已知直线l经过点A(1,4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为________.
【答案】 (1,2)(答案不唯一)
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5. 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1) A(2,3)，B(4,5)；
(2) C(－2,3)，D(2，－1)；
(3) P(－3,1)，Q(－3,10)．
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谢谢观看
Thank you for watching2．1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率(1)
1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
活动一 情景引入
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度．如图，一辆汽车沿某条道路从点A前进到点B，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，那么DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
思考1
(1) 确定一条直线的几何要素是什么？
(2) 如果一条直线只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
(3) 用什么量来表示直线的方向？
活动二 直线的倾斜角
思考2
用什么量来刻画直线相对于x轴的倾斜程度？
结论：
倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，________与直线l________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
规定：当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为________．
倾斜角α的取值范围：____________．
例1 已知直线l过原点，直线l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角？
求直线的倾斜角主要根据定义，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A. α＋45°
B. α－135°
C. 135°－α
D. 当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
活动三 直线的斜率
思考3
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1) 已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系？
(2) 类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系？
(3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与点P1，P2的坐标有怎样的关系？
结论：
直线的斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.
过两点的直线的斜率公式：k＝(x1≠x2).
注：倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率．
思考4
(1) 当直线确定后，k值与直线上两点的顺序是否有关？ 它的斜率是否确定？
(2) 当直线与x轴平行或重合时，公式是否成立？
(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率是否存在？
(4) 直线的斜率公式还可以从什么角度认识？
我们称y2－y1为纵坐标的增量(用Δy表示)，x2－x1为横坐标的增量(用Δx表示).
对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可看作k＝.
例2 如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率．
直线的斜率可直接由公式计算可得．
已知点A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11).求证：A，B，C三点共线．
思考5
由例2可归纳得出：
当直线的斜率为正时，直线有怎样的变化趋势？
当直线的斜率为负时，直线有怎样的变化趋势？
当直线的斜率为0时，直线有怎样的变化趋势？
当直线满足什么条件时，直线的斜率不存在？
运用斜率公式求直线斜率时，一定要注意公式中x1≠x2的条件．
思考6
直线的方向向量与斜率k有什么关系？
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
练习1 (2024厦门大学附属科技中学阶段测试)直线l的一个方向向量为(－1，3)，则它的斜率k等于( )
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
练习2 (多选)下列说法中，正确的是( )
A. 若直线的一个方向向量为d＝(u，v)，则直线l的斜率为
B. 若直线的斜率为，则直线l的一个方向向量为d＝(u，v)
C. 若直线的斜率为k，则直线l的一个方向向量为d＝(k，k2)
D. 若直线的一个方向向量为d＝(u，v)，则直线的一个法向量为t＝(－v，u)
活动四 斜率公式的简单应用
例3 经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：
(1) ； (2) －.
思考7
已知一点和直线的斜率，如何作直线？
思考8
还有其他作法吗？
已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在一条直线上，求实数a的值．
三点共线时，可以利用斜率相等，还可利用两点间距离公式等.
1. (2024梅州统考)若过点M(－1，m)，N(1，0)的直线的倾斜角为，则实数m的值为( )
A. －2 B. － C. D. 2
2. (教材改编题)已知直线l经过点A(0，1)与B(1，1－)，则直线l的一个方向向量、直线l的斜率与倾斜角分别是( )
A. (1，－)，－，120° B. (1，)，，120°
C. (1，－)，－，60° D. (1，)，，60°
3. (多选)下列说法中，正确的是( )
A. 若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B. 一条直线的倾斜角为－30°
C. 若直线的倾斜角为α，则sin α≥0
D. 任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tan α
4. (2024北京丰台区期中)已知直线l经过点A(1，4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为________．
5. 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1) A(2，3)，B(4，5)；
(2) C(－2，3)，D(2，－1)；
(3) P(－3，1)，Q(－3，10).
【参考答案与解析】
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率(1)
【活动方案】
情境引入：略
思考1：(1) ①已知两点可以确定一条直线；
②已知一点和一个方向可以确定一条直线．
(2) 给出另一个点或一个方向．
(3) 相对于x轴的倾斜程度．
思考2：倾斜角
结论：x轴正向 向上 0° 0°≤α<180°
例1 由题意画出如下草图．由图可知，
当α为钝角时，倾斜角为α－90°；
当α为锐角时，倾斜角为α＋90°；
当α为直角时，倾斜角为0°.
综上，直线l转动前的倾斜角为
跟踪训练 D 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
思考3：(1) 向量＝(，1)，且直线OP的倾斜角为α.由正切函数的定义，有tan α＝＝.
(2) 向量＝(－1－，1－0)＝(－1－，1)，平移向量到，则点P的坐标为(－1－，1)，且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义，有tan α＝＝1－.
(3) 一般地， 如图1，当向量的方向向上时，＝(x2－x1，y2－y1).平移向量到，则点P的坐标为(x2－x1，y2－y1)，且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tan α＝.
图1
同样，当向量的方向向上时，如图2，＝(x1－x2，y1－y2)，也有tan α＝＝，
图2
综上，直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐标有如下关系：tan α＝.
思考4：(1) k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值．
(2) 当直线与x轴平行或重合时，公式成立，此时斜率为0.
(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
(4) 斜率是直线倾斜程度的数量化，是一比值．
例2 设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
跟踪训练 因为kAB＝＝2，kBC＝＝2，
且直线AB，BC都经过点B，所以A，B，C三点共线．
思考5：当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合；
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
思考6：直线P1P2的方向向量坐标为(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其中一个方向向量为＝(1，k).
练习1：A 直线l的一个方向向量为(－1，3)，则斜率k＝＝－3.
练习2：BD 对于A，当u＝0时，斜率不存在，故A错误；对于B，由方向向量与斜率的关系可得结论，故B正确；对于C，若k＝0时，方向向量不为零向量，故C错误；对于D，由d·t＝－uv＋uv＝0，故D正确．故选BD.
例3 (1) 根据斜率＝，斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度后仍在此直线上．将点(3，2)沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度后得点(7，5)，即可确定直线，如图1.
(2) 因为－＝，所以将点(3，2)沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向下平移3个单位长度后得点(7，－1)，即可确定直线，如图2.
图1 图2
思考7：略
思考8：略
跟踪训练 kAB＝＝， kBC＝＝.
因为A，B，C三点在一条直线上，所以kAB＝kBC, 即＝， 解得a＝2或a＝.
【检测反馈】
1. D 由题意，得kMN＝＝tan ＝－1，解得m＝2.
2. A 由已知可得＝(1，1－)－(0，1)＝(1，－)是直线l的一个方向向量，所以直线的斜率k＝＝－，直线的倾斜角θ满足tan θ＝－，0°≤θ<180°，则θ＝120°.
3. CD 对于A，直线的倾斜角为α，当α＝90°时，斜率不存在，故A错误；对于B，直线的倾斜角的取值范围为[0，180°)，故B错误；对于C，直线的倾斜角的取值范围为[0，180°)，则有sin α≥0，故C正确；对于D，任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为 tan α，故D正确．故选CD.
4. (1，2)(答案不唯一) 不妨令直线l的一个方向向量为(x，y)，则k＝，所以可以取x＝1，则y＝2，此时直线l的一个方向向量为(1，2)(答案不唯一).
5. (1) 存在．
直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1.
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2) 存在．
直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1.
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3) 不存在．
因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
