(共26张PPT)
第二章
直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．
活 动 方 案
活动一 巩固直线的倾斜角与斜率的概念
1. 直线的倾斜角与斜率是如何定义的？
【解析】 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．
2. 如何证明三点共线？
【解析】 如果已知三点A，B，C，可以取AB，BC，AC分别算出两点斜率，若三个斜率相等，则A，B，C三点共线．
活动二 探究直线倾斜角和斜率的关系
探究：
(1) 直线的倾斜角α与斜率k存在怎样的关系？
【解析】 当直线的倾斜角α为锐角时，直线的斜率的符号为正，此时k＝tan α；
当直线的倾斜角α为钝角时，直线的斜率的符号为负，此时k＝－tan(π－α)；
当直线的倾斜角α为直角时，直线的斜率不存在．
因此，当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足k＝tan α.
(2) 直线的倾斜角α的变化对直线的斜率k的变化有怎样的影响？
例1 如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)．
(1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________.
【解析】 k1>k2>k3 α3>α1>α2
活动三 利用直线的倾斜角和斜率解决简单的问题
例2 已知两点A(－2，－3)，B(3,0)，过点P(－1，2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
检 测 反 馈
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【解析】 由题图可知，k1<0，k2<0，k3>0，且k1>k2，所以k3>k1>k2，k1－k2>0，k2k3<0.故选A.
1. (2023西宁阶段练习)如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论中正确的是( )
A. k3>k1>k2 B. k1－k2<0
C. k2k3>0 D. k3>k2>k1
【答案】 A
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【答案】 B
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3. (多选)(2024大庆外国语学校开学质量检测)在平面直角坐标系中，下列说法中不正确的是( )
A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率
B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C. 若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α
D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
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【解析】 对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率，故A错误；对于B，当直线的倾斜角为45°时，斜率为1，当直线的倾斜角为135°时，斜率为－1，故B错误；对于C，若一条直线的倾斜角为α＝90°，则该直线的斜率不存在，故C错误；对于D，当直线与x轴 垂直时，直线的倾斜角是90°，当直线与y轴垂直时，直线的倾斜角是0°，即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，故D正确．故选ABC.
【答案】 ABC
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4. 已知点P(x，－2)在A(－1,1)，B(1,7)两点所连的直线上，则实数x的值为________.
【答案】 －2
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5. 如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
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谢谢观看
Thank you for watching2．1.1 倾斜角与斜率(2)
掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．
活动一 巩固直线的倾斜角与斜率的概念
1. 直线的倾斜角与斜率是如何定义的？
2. 如何证明三点共线？
活动二 探究直线倾斜角和斜率的关系
探究：
(1) 直线的倾斜角α与斜率k存在怎样的关系？
(2) 直线的倾斜角α的变化对直线的斜率k的变化有怎样的影响？
例1 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
直线的倾斜角和斜率都是反映该直线的倾斜程度，它们之间的关系是k＝tan α，而当知道直线上两点的坐标时，k＝(x1≠x2).
已知M(2m＋3，m)，N(m－2，1).
(1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________．
活动三 利用直线的倾斜角和斜率解决简单的问题
例2 已知两点A(－2，－3)，B(3，0)，过点P(－1，2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
利用正切函数y＝tan x在区间∪上的图象及单调性来解决直线的倾斜角和斜率之间的变化关系．
1. (2023西宁阶段练习)如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论中正确的是( )
A. k3>k1>k2 B. k1－k2<0
C. k2k3>0 D. k3>k2>k1
2. 斜率为－(a∈R)的直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. (多选)(2024大庆外国语学校开学质量检测)在平面直角坐标系中，下列说法中不正确的是( )
A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率
B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C. 若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α
D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
4. 已知点P(x，－2)在A(－1，1)，B(1，7)两点所连的直线上，则实数x的值为________．
5. 如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
【参考答案与解析】
2．1.1 倾斜角与斜率(2)
【活动方案】
1. 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．
2. 如果已知三点A，B，C，可以取AB，BC，AC分别算出两点斜率，若三个斜率相等，则A，B，C三点共线．
探究：(1) 当直线的倾斜角α为锐角时，直线的斜率的符号为正，此时k＝tan α；
当直线的倾斜角α为钝角时，直线的斜率的符号为负，此时k＝－tan (π－α)；
当直线的倾斜角α为直角时，直线的斜率不存在．
因此，当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足k＝tan α.
(2) 当倾斜角α∈时，k≥0，且k随α的增大而增大；
当倾斜角α∈时，k<0，且k随α的增大而增大；
当倾斜角α＝时，k不存在．
例1 直线AB的斜率kAB＝＝；
直线BC的斜率kBC＝＝＝－；
直线CA的斜率kCA＝＝＝1.
由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角．
跟踪训练1 由题意，得kMN＝＝.
(1) 当倾斜角为锐角时，则kMN＝>0，
解得m>1或m<－5.
(2) 当倾斜角为钝角时，则kMN＝<0，
解得－5(3) 当倾斜角为直角时，则kMN不存在，
此时2m＋3＝m－2，解得m＝－5.
跟踪训练2 k1>k2>k3 α3>α1>α2
例2 由题意，得直线PA的斜率是k1＝5, 直线PB的斜率是k2＝－.
当直线l由PA变化到与y轴平行位置PC时， 它的倾斜角由锐角α(tan α＝5)增至90°，斜率的变化范围是[5，＋∞)；当直线l由PC变化到PB位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是.
综上，斜率k的取值范围是∪[5，＋∞).
【检测反馈】
1. A 由题图可知，k1<0，k2<0，k3>0，且k1>k2，所以k3>k1>k2，k1－k2>0，k2k3<0.故选A.
2. B 由于0>－≥－1，设直线的倾斜角为α，则0≤α<π，－1≤tan α<0，所以≤α<π.
3. ABC 对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率，故A错误；对于B，当直线的倾斜角为45°时，斜率为1，当直线的倾斜角为135°时，斜率为－1，故B错误；对于C，若一条直线的倾斜角为α＝90°，则该直线的斜率不存在，故C错误；对于D，当直线与x轴 垂直时，直线的倾斜角是90°，当直线与y轴垂直时，直线的倾斜角是0°，即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，故D正确．故选ABC.
4. －2 因为点P(x，－2)在A(－1，1)，B(1，7)两点所连的直线上，所以kPA＝kAB，即＝，解得x＝－2.
5. 因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝.
因为DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都是0.
由菱形的性质可得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝，
直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.
