(共33张PPT)
第二章
直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程．
2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．
3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．
活 动 方 案
活动一 探究直线的点斜式方程
知识回顾：
(1) 直线倾斜角、斜率的定义：
【解析】 略
(2) 直线斜率与倾斜角的关系：
【解析】 略
(3) 直线斜率及倾斜角对直线方向变化的影响：
【解析】 略
探究：
问题1：如果直线l经过点A(－1,3)，斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么条件？
思考1
以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
问题2：设直线l经过点P0(x0，y0)，斜率为k，则直线l上不同于点P0的任意一点P(x，y)满足的方程是什么？
思考2
以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
【解析】 直线上的点的坐标都是某方程的解，该方程为直线的方程．
结论：
(1) 直线的方程：
(2) 直线的点斜式方程：
【解析】 y－y0＝k(x－x0)
【解析】 当直线l的倾斜角为0°时，tan 0°＝0，即k＝0，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0＝0，即y＝y0.当直线l的倾斜角为90°时，由于tan 90°无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.
思考3
(1) 当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？为什么？当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？为什么？
【解析】 不能，当斜率不存在时，无法使用点斜式表示．
(2) 直线的点斜式方程y＝k(x＋1)＋3能否表示经过点(－1,3)的所有直线呢？
【解析】 不是，该方程可化为y－3＝k(x－1)，但x≠1，即该方程表示除点(1,3)外，斜率为k的直线部分．
【解析】 直线l经过点P0(－2,3)，斜率k＝tan 45°＝1，代入点斜式方程，得y－3＝x＋2.
画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，则y1＝4，得点P1的坐标为(－1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示．
例1 直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
【解析】 直线斜率存在，并且知道直线的倾斜角和直线上的一点．
思考4
直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？
【解析】 y＝kx＋b
例2 已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程．
定义：
(1) 直线l与x轴交于点(a,0)，与y轴交于点(0，b)，称横坐标a为直线l在x轴上的截距(横截距)，称纵坐标b为直线l在y轴上的截距(纵截距)．
(2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程y＝kx＋b，叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
【解析】 “截距”的值有正、负、零，是实数，而“距离”一定是非负数．
思考5
“截距”与“距离”有何区别？
【解析】 方程y＝kx＋b与我们学过的一次函数表达式类似．
思考6
(1) 观察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特点？
(2) 你如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3图象的特点吗？
【解析】 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一次函数中k不能为0，b可取任何值．y＝2x－1的图象与y轴交于点(0，－1)，过第一、三、四象限；y＝3x的图象过原点，过第一、三象限；y＝－x＋3的图象与y轴交于点(0,3)，过第一、二、四象限．
活动二 直线方程的简单应用
例3 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.试讨论：
(1) l1∥l2的条件是什么？
(2) l1⊥l2的条件是什么？
【解析】 (1) 若l1∥l2, 则k1＝k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即b1≠b2；
反之，若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2.
(2) 若l1⊥l2，则k1k2＝－1；
反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2.
【解析】 图略．
(1) 这些直线在y轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0,2)．
(2) 这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．
例4 在同一平面直角坐标系中作出下列两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？
(1) y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x＋2，y＝－3x＋2；
(2) y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x＋4，y＝2x－4.
检 测 反 馈
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【答案】 A
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2. (2024大同期末质量监测)若直线l过点A(4,5)，B(1，－1)，则直线l在y轴上的截距是( )
【答案】 D
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3. (多选)(2024常德汉寿县第五中学期中)直线l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a(ab≠0)的图象可能是( )
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【答案】 BC
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4. (2024东莞实验中学月考)数学家欧拉于1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(3，0)，B(3,3)，C(0,0)，则△ABC的欧拉线方程是________.
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【答案】 y＝－x＋3
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5. (2024益阳普通高中期末质量检测)已知两点A(3，－3)和B(－1,5)．
(1) 记点A关于x轴的对称点为C，求直线BC的方程；
(2) 求线段AB的垂直平分线的方程．
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谢谢观看
Thank you for watching2．2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程．
2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．
3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．
活动一 探究直线的点斜式方程
知识回顾：
(1) 直线倾斜角、斜率的定义：
(2) 直线斜率与倾斜角的关系：
(3) 直线斜率及倾斜角对直线方向变化的影响：
探究：
问题1：如果直线l经过点A(－1，3)，斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么条件？
思考1
以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
问题2：设直线l经过点P0(x0，y0)，斜率为k，则直线l上不同于点P0的任意一点P(x，y)满足的方程是什么？
思考2
以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
结论：
(1) 直线的方程：
(2) 直线的点斜式方程：
思考3
(1) 当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？为什么？当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？为什么？
(2) 直线的点斜式方程y＝k(x＋1)＋3能否表示经过点(－1，3)的所有直线呢？
(3) 方程＝k表示的几何图形是整条直线吗？
例1 直线l经过点P0(－2，3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
思考4
直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？
例2 已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程．
定义：
(1) 直线l与x轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b)，称横坐标a为直线l在x轴上的截距(横截距)，称纵坐标b为直线l在y轴上的截距(纵截距).
(2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程y＝kx＋b，叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
思考5
“截距”与“距离”有何区别？
思考6
(1) 观察方程y＝kx＋b，它的形式具有什么特点？
(2) 你如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3图象的特点吗？
活动二 直线方程的简单应用
例3 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.试讨论：
(1) l1∥l2的条件是什么？
(2) l1⊥l2的条件是什么？
例4 在同一平面直角坐标系中作出下列两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？
(1) y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x＋2，y＝－3x＋2；
(2) y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x＋4，y＝2x－4.
1. (2024山东联合质量检测)已知直线y＝x的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的两倍，则实数m的值为( )
A. －3 B. － C. D. 3
2. (2024大同期末质量监测)若直线l过点A(4，5)，B(1，－1)，则直线l在y轴上的截距是( )
A. B. 3 C. － D. －3
3. (多选)(2024常德汉寿县第五中学期中)直线l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a(ab≠0)的图象可能是( )
A B C D
4. (2024东莞实验中学月考)数学家欧拉于1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，0)，则△ABC的欧拉线方程是________．
5. (2024益阳普通高中期末质量检测)已知两点A(3，－3)和B(－1，5).
(1) 记点A关于x轴的对称点为C，求直线BC的方程；
(2) 求线段AB的垂直平分线的方程．
【参考答案与解析】
2．2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
【活动方案】
知识回顾：略
问题1：当点P(x，y)在直线l上运动时(除点A外)，点P与定点A(－1，3)所确定的直线的斜率恒等于－2，所以由斜率公式，得k＝＝－2，即点P的坐标(x，y)满足y＝－2x＋1.
思考1：若点P′(x′，y′)的坐标满足方程y＝－2x＋1，即y′＝－2x′＋1.当x′＝－1时，y′＝3，此时点P′与点A重合，即点P′在直线l上；当x≠－1时，y′－3＝－2[x′－(－1)]，即＝－2，这表明过点P′，A的直线l1的斜率为－2.因为直线l，l1的斜率都为－2，且都过点A，所以它们重合，从而点P′在直线l上，因此以方程y＝－2x＋1的解为坐标的点也都在直线l上．
问题2：由斜率公式，得k＝，即y－y0＝k(x－x0).
思考2：若点P1(x1，y1)的坐标x1，y1满足关系式y－y0＝k(x－x0)，则y1－y0＝k(x1－x0).当x1＝x0时，y1＝y0，这时点P1与P0重合，显然有点P1在直线l上；当x1≠x0时，k＝，这表明过点P1，P0的直线l1的斜率为k，因为直线l，l1的斜率都为k，且都过点P0，所以它们重合，所以点P1在直线l上，因此以方程y－y0＝k(x－x0)的解为坐标的点也都在直线l上．
结论：(1) 直线上的点的坐标都是某方程的解，该方程为直线的方程．
(2) y－y0＝k(x－x0)
思考3：(1) 当直线l的倾斜角为0°时，tan 0°＝0，即k＝0，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0＝0，即y＝y0.当直线l的倾斜角为90°时，由于tan 90°无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.
(2) 不能，当斜率不存在时，无法使用点斜式表示．
(3) 不是，该方程可化为y－3＝k(x－1)，但x≠1，即该方程表示除点(1，3)外，斜率为k的直线部分．
例1 直线l经过点P0(－2，3)，斜率k＝tan 45°＝1，代入点斜式方程，得y－3＝x＋2.
画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，则y1＝4，得点P1的坐标为(－1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示．
思考4：直线斜率存在，并且知道直线的倾斜角和直线上的一点．
例2 y＝kx＋b
思考5：“截距”的值有正、负、零，是实数，而“距离”一定是非负数．
思考6：(1) 方程y＝kx＋b与我们学过的一次函数表达式类似．
(2) 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一次函数中k不能为0，b可取任何值．y＝2x－1的图象与y轴交于点(0，－1)，过第一、三、四象限；y＝3x的图象过原点，过第一、三象限；y＝－x＋3的图象与y轴交于点(0，3)，过第一、二、四象限．
例3 (1) 若l1∥l2, 则k1＝k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即b1≠b2；
反之，若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2.
(2) 若l1⊥l2，则k1k2＝－1；
反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2.
例4 图略．
(1) 这些直线在y轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0，2).
(2) 这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．
【检测反馈】
1. A 直线y＝x＋1的斜率为，则倾斜角为.因为直线y＝x的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的两倍，所以直线y＝x的倾斜角为，所以直线y＝x的斜率为－＝，解得m＝－3.
2. D 由题意，得直线l的斜率k＝＝2，再由点斜式方程，得y－5＝2(x－4)，化简，得y＝2x－3，令x＝0，得直线l在y轴上的截距为－3.
3. BC 由题意，得直线l1的斜率为a，该直线在y轴上的截距为b；直线l2的斜率为－b，该直线在y轴上的截距为a.对于A，由直线l1的图象，得由直线l2的图象，得即故A不满足条件；对于B，由直线l1的图象，得由直线l2的图象，得即故B满足条件；对于C，由直线l1的图象，得由直线l2的图象，得即故C满足条件；对于D，由直线l1的图象，得由直线l2的图象，得即故D不满足条件．故选BC.
4. y＝－x＋3 如图，易得△ABC为等腰直角三角形，故其垂心为点A(3，0).设△ABC的外心为点M，则M为斜边BC的中点，即M.由题意，得△ABC的欧拉线即直线AM，其斜率为kAM＝＝－1，故其方程为y＝－(x－3)，即y＝－x＋3.
5. (1) 由题意，得点A(3，－3)关于x轴的对称点为C(3，3).
又因为点B(－1，5)，
所以直线BC的斜率为k＝＝－，
所以直线BC的方程为y－3＝－(x－3)，
即y＝－x＋.
(2) 因为两点A(3，－3)和B(－1，5)，
所以其中点为D(1，1).
又直线AB的斜率为k1＝＝－2，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为k2＝－＝，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋.
