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第二章
直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，能正确理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系．
2. 能正确进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化．
3. 理解一般式下直线平行与垂直的判定条件，能运用直线的一般式方程解决有关问题．
活 动 方 案
活动一 直线的一般式方程的推导
回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程：
【解析】 点斜式适用于不含直线x＝x0的直线；斜截式适用于不含垂直于x轴的直线；两点式适用于不含与x轴或y轴垂直的直线；截距式适用于不含垂直于坐标轴和过原点的直线．
思考1
(1) 这些方程分别适用于哪些情形？
(2) 这些方程有什么共同的特点？
【解析】 都是关于x和y的二元一次方程．
【解析】 任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0，y0)，当直线l的斜率为k时(此时直线的倾斜角α≠90°)，其方程为y－y0＝k(x－x0)，这是关于x，y的二元一次方程．当直线l的斜率不存在，即直线l的倾斜角α＝90°时，直线的方程为x－x0＝0，上述方程可以认为是关于x，y的二元一次方程，因为此时方程中y的系数为0.方程y－y0＝k(x－x0)和x－x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(3) 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
(4) 任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？
结论：我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
【解析】 其他几种形式的直线方程都有适用范围，而直线方程的一般式对于平面直角坐标系内的直线都适用．
思考2
直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
活动二 求直线的方程
例1 (2024全国专题练习)(1) 已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距；
(2) 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
例2 把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．
活动三 直线的一般式方程的应用
例3 设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0(m∈R)，根据下列条件分别确定m的值．
(1) 直线在x轴上的截距是－3；
(2) 直线l的斜率是1.
例4 当直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质？
(1) 与两条坐标轴都相交；
(2) 只与x轴相交；
(3) 只与y轴相交；
(4) 是x轴所在直线；
(5) 是y轴所在直线．
【解析】 (1) 当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交.
(2) 当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交．
(3) 当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交.
(4) 当A＝0，B≠0，C＝0时，直线是x轴所在直线．
(5) 当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是y轴所在直线．
例5 设直线l1的方程为A1x＋B1y＋C1＝0，其中A1B1≠0，直线l2的方程为A2x＋B2y＋C2＝0，其中A2B2≠0.
(1) 当l1∥l2时，两直线方程的系数之间有什么关系？
(2) 当l1⊥l2时，两直线方程的系数之间有什么关系？
1. 利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1B1≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2≠0)．
(1) l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2) l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2. 与已知直线平行或垂直的直线方程的求法：
(1) 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2) 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
检 测 反 馈
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【答案】 C
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2. (2024全国专题练习)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都过定点( )
A. (3,1) B. (0,1)
C. (0,0) D. (2,1)
【答案】 A
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1
3. (多选)(2023枣庄阶段练习)若ab<0，bc>0，则在下列函数图象中，不可能是直线ax＋by＋c＝0的图象的是( )
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【答案】 ACD
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4. (2024全国课时练习)已知直线l1：x－my－6＝0，l2：(m－2)x－3y－2m＝0.若l1⊥l2，则m的值为________.若l1∥l2，则m的值为________.
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1
所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
若选②： 设直线 l的斜率为k.
因为直线l与直线x＋y－1＝0垂直，
所以k·(－1)＝－1，所以k＝1，
所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
若选③：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
令x＝0，得y＝－2k＋1，所以1－2k＝－1，解得k＝1，
所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
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Thank you for watching2．2.3 直线的一般式方程
1. 掌握直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，能正确理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系．
2. 能正确进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化．
3. 理解一般式下直线平行与垂直的判定条件，能运用直线的一般式方程解决有关问题．
活动一 直线的一般式方程的推导
回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程：
思考1
(1) 这些方程分别适用于哪些情形？
(2) 这些方程有什么共同的特点？
(3) 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
(4) 任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？
结论：我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
思考2
直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
活动二 求直线的方程
例1 (2024全国专题练习)(1) 已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距；
(2) 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
①斜率是－，经过点A(8，－2)；
②经过点B(4，2)，平行于x轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).
例2 把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．
活动三 直线的一般式方程的应用
例3 设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0(m∈R)，根据下列条件分别确定m的值．
(1) 直线在x轴上的截距是－3；
(2) 直线l的斜率是1.
例4 当直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质？
(1) 与两条坐标轴都相交；
(2) 只与x轴相交；
(3) 只与y轴相交；
(4) 是x轴所在直线；
(5) 是y轴所在直线．
例5 设直线l1的方程为A1x＋B1y＋C1＝0，其中A1B1≠0，直线l2的方程为A2x＋B2y＋C2＝0，其中A2B2≠0.
(1) 当l1∥l2时，两直线方程的系数之间有什么关系？
(2) 当l1⊥l2时，两直线方程的系数之间有什么关系？
1. 利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1B1≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2≠0).
(1) l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2) l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2. 与已知直线平行或垂直的直线方程的求法：
(1) 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2) 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
1. 已知直线l过点(－2，1)，且倾斜角是，则直线l的方程是( )
A. x＋y＋1＝0 B. y＝－x
C. x＋2＝0 D. y－1＝0
2. (2024全国专题练习)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都过定点( )
A. (3，1) B. (0，1) C. (0，0) D. (2，1)
3. (多选)(2023枣庄阶段练习)若ab<0，bc>0，则在下列函数图象中，不可能是直线ax＋by＋c＝0的图象的是( )
A B C D
4. (2024全国课时练习)已知直线l1：x－my－6＝0，l2：(m－2)x－3y－2m＝0.若l1⊥l2，则m的值为________．若l1∥l2，则m的值为________．
5. 在①倾斜角比直线y＝x－1的倾斜角小；②与直线x＋y－1＝0垂直；③在y轴上的截距为－1，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答：
问题：已知直线l过点(2，1)，且________，求直线l的方程．
【参考答案与解析】
2．2.3 直线的一般式方程
【活动方案】
点斜式：y－y0＝k(x－x0)；斜截式：y＝kx＋b；两点式：＝；截距式：＋＝1.
思考1：(1) 点斜式适用于不含直线x＝x0的直线；斜截式适用于不含垂直于x轴的直线；两点式适用于不含与x轴或y轴垂直的直线；截距式适用于不含垂直于坐标轴和过原点的直线．
(2) 都是关于x和y的二元一次方程．
(3) 任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0，y0)，当直线l的斜率为k时(此时直线的倾斜角α≠90°)，其方程为y－y0＝k(x－x0)，这是关于x，y的二元一次方程．当直线l的斜率不存在，即直线l的倾斜角α＝90°时，直线的方程为x－x0＝0，上述方程可以认为是关于x，y的二元一次方程，因为此时方程中y的系数为0.方程y－y0＝k(x－x0)和x－x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(4) 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－ 的直线；特别地，当A＝0，B≠0时，它表示垂直于y轴的直线；当B＝0，A≠0时，它表示垂直于x轴的直线．因此，在平面直角坐标系中，任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线．
思考2：其他几种形式的直线方程都有适用范围，而直线方程的一般式对于平面直角坐标系内的直线都适用．
例1 (1) 由直线l的一般式方程2x－3y＋6＝0，得斜截式方程为y＝x＋2，截距式方程为＋＝1，斜率为，在x轴，y轴上的截距分别为－3，2.
(2) ①由点斜式，得y－(－2)＝－(x－8)，
化为一般式为x＋2y－4＝0.
②由斜截式，得y＝2，
化为一般式为y－2＝0.
③由截距式，得＋＝1，
化为一般式为2x－y－3＝0.
④由两点式，得＝，
化为一般式为x＋y－1＝0.
例2 将直线l的一般式方程化为斜截式y＝x＋3.
因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3.
在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6，即直线l在x轴上的截距是－6.
由上面可得直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－6，0)，B(0，3)，
过A，B两点作直线，就得直线l(如图).
例3 (1) 由题意，得直线l过点(－3，0)，
所以－3＋0－2m＋6＝0，解得m＝.
(2) 由题意，得－＝1，解得m＝－1.
例4 (1) 当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交.
(2) 当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交．
(3) 当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交.
(4) 当A＝0，B≠0，C＝0时，直线是x轴所在直线．
(5) 当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是y轴所在直线．
例5 (1) 若l1∥l2且不重合时，则＝≠，即或
(2) 直线l2的方程可化为y＝－x－，直线l2的方程可化为y＝－x－.若l1⊥l2，则·＝－1，即A1A2＋B1B2＝0.
【检测反馈】
1. C 由于直线l过点(－2，1)，且倾斜角是，故直线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0.
2. A 直线方程可转化为(x－3)k－y＋1＝0，令解得所以直线过定点(3，1).
3. ACD 由直线ax＋by＋c＝0及ab<0，bc>0，可知直线斜率k＝－>0，直线在y轴上的截距y＝－<0，故满足条件的只有B，所以不可能是A，C，D.故选ACD.
4. －1 由l1⊥l2，得1·(m－2)＋m·3＝0，解得m＝，故当l1⊥l2时，m＝；由两直线平行，得1×(－3)－(－m)×(m－2)＝0，解得m＝－1或m＝3.当m＝3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m＝－1.
5. 若选①：因为直线y＝x－1的斜率为，
所以直线y＝x－1的倾斜角为，
所以直线l的倾斜角为－＝，
所以直线l的斜率k＝tan ＝1，
所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
若选②： 设直线 l的斜率为k.
因为直线l与直线x＋y－1＝0垂直，
所以k·(－1)＝－1，所以k＝1，
所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
若选③：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
令x＝0，得y＝－2k＋1，
所以1－2k＝－1，解得k＝1，
所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
