(共23张PPT)
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2．3.2 两点间的距离公式
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握平面上两点间的距离公式．
2. 会运用坐标法证明简单的平面几何问题．
3. 渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与数形结合思想．
活 动 方 案
活动一 探究平面上两点间的距离公式
1. 回忆初中数轴上两点间的距离公式：
【解析】 略
问题1：在平面直角坐标系中，若两点P1(－5，－2)，P2(3,4)，则它们的距离是多少？如何转化为坐标轴上(或平行于坐标轴)的距离问题？
问题2：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能用几种方法推导它们之间的距离？
思考
当x1＝x2时，P1P2的值是多少？当y1＝y2时，P1P2的值是多少？原点O(0,0)与任意一点P(x，y)的距离OP的值是多少？
练习 (1) 求A(－1,3)，B(2,5)两点间的距离；
(2) 已知A(0,10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求实数a的值．
活动二 两点间的距离公式的应用
【解析】 如图，四边形ABCD是平行四边形，以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在 ABCD中，点A的坐标是(0,0)，设点B的坐标为(a,0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)．
例2 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
由两点间的距离公式，得
AC2＝(a＋b)2＋c2，BD2＝(b－a)2＋c2，AB2＝a2，AD2＝b2＋c2，
所以AC2＋BD2＝2(a2＋b2＋c2)，AB2＋AD2＝a2＋b2＋c2，
所以AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
“坐标法”解决平面几何问题的一般步骤：
(1) 建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；
(2) 根据距离公式进行有关代数运算；
(3) 把代数结果“翻译”成几何关系．
检 测 反 馈
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1. (2023全国专题练习)已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】 B
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2. 已知点(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
【答案】 D
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3. (多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是( )
A. (2,0) B. (0,2)
C. (4,6) D. (6,4)
【答案】 AC
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4. 在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________.
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【解析】 (1) 因为P(3，－1)，Q(－3,3)，
所以PQ的中点为(0,1)，
若直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)过PQ的中点(0,1)，
则－1＋1＋2k＝0，解得k＝0，此时直线l为y＝1，满足P，Q两点到直线l的距离相等；
5. (2023新泰一中阶段练习)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，P(3，－1)，Q(－3,3)．
(1) 若P，Q两点到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(2) 当k为何值时，原点到直线l的距离最大．
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Thank you for watching2．3.2 两点间的距离公式
1. 掌握平面上两点间的距离公式．
2. 会运用坐标法证明简单的平面几何问题．
3. 渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与数形结合思想．
活动一 探究平面上两点间的距离公式
1. 回忆初中数轴上两点间的距离公式：
问题1：在平面直角坐标系中，若两点P1(－5，－2)，P2(3，4)，则它们的距离是多少？如何转化为坐标轴上(或平行于坐标轴)的距离问题？
问题2：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能用几种方法推导它们之间的距离？
思考
当x1＝x2时，P1P2的值是多少？当y1＝y2时，P1P2的值是多少？原点O(0，0)与任意一点P(x，y)的距离OP的值是多少？
练习 (1) 求A(－1，3)，B(2，5)两点间的距离；
(2) 已知A(0，10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求实数a的值．
活动二 两点间的距离公式的应用
例1 已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求PA的值．
例2 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
“坐标法”解决平面几何问题的一般步骤：
(1) 建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；
(2) 根据距离公式进行有关代数运算；
(3) 把代数结果“翻译”成几何关系．
已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，求证：AM＝BC.
1. (2023全国专题练习)已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
2. 已知点(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A. 2 B. 4 C. 5 D.
3. (多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是( )
A. (2，0) B. (0，2) C. (4，6) D. (6，4)
4. 在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为________．
5. (2023新泰一中阶段练习)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，P(3，－1)，Q(－3，3).
(1) 若P，Q两点到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(2) 当k为何值时，原点到直线l的距离最大．
【参考答案与解析】
2．3.2 两点间的距离公式
【活动方案】
1. 略
问题1：它们的距离是10.过点P1作y轴的垂线，过点P2作x轴的垂线，两垂线相交于点P3，则P1P3＝8，P2P3＝6，由勾股定理，得P1P2＝＝10.
问题2：P1P2＝，推导略．
思考：当x1＝x2时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2时，P1P2＝|x1－x2|；OP＝.
练习：(1) AB＝.
(2) AB＝＝17，
解得 a＝±8.
例1 设所求点为P(x，0)，则
PA＝＝，
PB＝＝.
由PA＝PB，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，
解得x＝1，
所以所求点为P(1, 0)，且
PA＝＝2.
例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在 ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c).
由两点间的距离公式，得
AC2＝(a＋b)2＋c2，BD2＝(b－a)2＋c2，AB2＝a2，
AD2＝b2＋c2，
所以AC2＋BD2＝2(a2＋b2＋c2)，
AB2＋AD2＝a2＋b2＋c2，
所以AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
跟踪训练 如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c).
因为M是BC的中点，
所以点M的坐标为.
由两点间的距离公式，得
AM＝＝.
因为BC＝，所以AM＝BC.
【检测反馈】
1. B 由两点间的距离公式，得AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝2，则AC＝BC，且AB2≠AC2＋BC2，故△ABC为等腰三角形．
2. D 根据中点坐标公式，得＝1，＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
3. AC 设点B的坐标为(x，y).由题意，得即解得或所以点B的坐标为(2，0)或(4，6).故选AC.
4. 设直线x－y＋4＝0上一点P(x，x＋4).因为点P到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，所以＝，解得x＝－，所以y＝－＋4＝，所以点P的坐标为.
5. (1) 因为P(3，－1)，Q(－3，3)，
所以PQ的中点为(0，1)，
若直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)过PQ的中点(0，1)，
则－1＋1＋2k＝0，解得k＝0，此时直线l为y＝1，满足P，Q两点到直线l的距离相等；
又kPQ＝＝－，所以当k＝kPQ＝－时，直线l的方程为2x＋3y＋1＝0，
此时直线l与直线PQ平行，满足P，Q两点到直线l的距离相等．
综上，直线l的方程为y＝1或2x＋3y＋1＝0.
(2) 由kx－y＋1＋2k＝0，得k(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
联立解得则直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)过定点N(－2，1).
当直线l与ON垂直时，原点到直线l的距离最大，
最大值为ON＝＝.
因为kON＝－，所以k＝2，
即当k＝2时，原点到直线l的距离最大．
