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第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式．
2. 掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线的距离公式解决有关距离问题．
3. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
活 动 方 案
活动一 探究点到直线距离的求法
探究：
如图，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，如何求点P到直线l的距离？
【解析】 思路自然但运算量较大．
思考1
这种解法的优缺点是什么？
思考2
向量是解决距离、角度问题的有力工具．能否用向量方法求点到直线的距离？
【解析】 运用数形结合的思想，将求点到直线的距离转化为求水平或垂直线段的长度，进而通过面积关系加以解决．推导略．
思考3
比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
活动二 通过简单运用加深对点到直线距离公式的理解
例1 求点P(－1,2)到下列直线的距离．
(1) 2x＋y－10＝0； (2) y＝3x＋2； (3) x＝3; (4) y＝－1.
【解析】 画图直接利用图形性质求解．
思考4
(3)(4)小题有其他解法吗？
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题：
(1) 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2) 点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3) 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
已知直线l经过点M(－1,2)，且A(2,3)，B(－4,5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【解析】 方法一：当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，
恰好A(2,3)，B(－4,5)两点到直线l的距离相等，
故x＝－1满足题意；
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
例2 已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面积．
检 测 反 馈
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1. 已知直线l经过原点，且点M(5,0)到直线l的距离等于3，则直线l的方程为( )
A. 3x－4y＝0 B. 3x＋4y＝0
C. 4x－3y＝0或4x＋3y＝0 D. 3x－4y＝0或3x＋4y＝0
【答案】 D
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2. (2024南阳期末)已知P为两条直线2x－3y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点，则点P到直线l：kx－y＋k＋2＝0的距离的最大值为( )
【答案】 B
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3. (多选)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程可以是( )
A. 2x＋3y－18＝0 B. 2x－y－2＝0
C. 3x－2y＋18＝0 D. 2x－y＋2＝0
【答案】 AB
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4. (2024沈阳联考)对任意的实数λ，原点O(0,0)到直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0的距离d的取值范围为________.
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Thank you for watching2．3.3 点到直线的距离公式
1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式．
2. 掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线的距离公式解决有关距离问题．
3. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
活动一 探究点到直线距离的求法
探究：
如图，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，如何求点P到直线l的距离？
思考1
这种解法的优缺点是什么？
思考2
向量是解决距离、角度问题的有力工具．能否用向量方法求点到直线的距离？
思考3
比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
活动二 通过简单运用加深对点到直线距离公式的理解
例1 求点P(－1，2)到下列直线的距离．
(1) 2x＋y－10＝0； (2) y＝3x＋2；
(3) x＝3; (4) y＝－1.
思考4
(3)(4)小题有其他解法吗？
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题：
(1) 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2) 点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3) 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
已知直线l经过点M(－1，2)，且A(2，3)，B(－4，5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
例2 已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．
1. 已知直线l经过原点，且点M(5，0)到直线l的距离等于3，则直线l的方程为( )
A. 3x－4y＝0 B. 3x＋4y＝0
C. 4x－3y＝0或4x＋3y＝0 D. 3x－4y＝0或3x＋4y＝0
2. (2024南阳期末)已知P为两条直线2x－3y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点，则点P到直线l：kx－y＋k＋2＝0的距离的最大值为( )
A. B. C. D. 5
3. (多选)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程可以是( )
A. 2x＋3y－18＝0 B. 2x－y－2＝0
C. 3x－2y＋18＝0 D. 2x－y＋2＝0
4. (2024沈阳联考)对任意的实数λ，原点O(0，0)到直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0的距离d的取值范围为________．
5. (2024盐城中学期末)已知直线l的倾斜角为α，cos α＝，且这条直线经过点P(1，2).
(1) 求直线l的方程；
(2) 若直线a：mx－y＋1－m＝0恒过定点A，求点A到直线l的距离．
【参考答案与解析】
2．3.3 点到直线的距离公式
【活动方案】
探究：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足，所以求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出PQ，就可以得到点P到直线l的距离．
设A≠0，B≠0.由PQ⊥l，直线l1与直线l2的方程以及直线l的斜率为－，得直线l的垂线PQ的斜率为，
所以垂线PQ的方程为y－y0＝(x－x0)，即Bx－Ay＝Bx0－Ay0.
解方程组
得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为
，所以PQ＝
＝＝，
所以点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立．
思考1：思路自然但运算量较大．
思考2：能，点P到直线l的距离，就是向量的模．设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量，||＝|·n|.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的方向向量．
将Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.
由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量(A，B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量．我们取n＝(A，B)，
所以·n＝(x－x0，y－y0)·(A，B)
＝[A(x－x0)＋B(y－y0)]
＝(Ax＋By－Ax0－By0).①
因为点M(x，y)在直线l上，所以Ax＋By＋C＝0，所以Ax＋By ＝－C.代入①式， 得
·n＝(－Ax0－By0－C)，
所以PQ＝||＝|·n|＝.
思考3：运用数形结合的思想，将求点到直线的距离转化为求水平或垂直线段的长度，进而通过面积关系加以解决．推导略．
例1 (1) d＝＝＝2.
(2) y＝3x＋2化为一般式为3x－y＋2＝0，
所以d＝＝.
(3) d＝＝4.
(4) d＝＝3.
思考4：画图直接利用图形性质求解．
跟踪训练 方法一：当过点M(－1，2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，
恰好A(2，3)，B(－4，5)两点到直线l的距离相等，
故x＝－1满足题意；
当过点M(－1，2)的直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由A(2，3)与B(－4，5)两点到直线l的距离相等，得＝，
化简，得|3k－1|＝|－3k－3|，
则3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，
解得k＝－，
所以直线l的方程为x＋3y－5＝0.
综上，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二：由题意，得l∥AB或l过AB的中点．
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则kl＝kAB＝＝－，
此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0；
当直线l过AB的中点(－1，4)时，直线l的方程为 x＝－1.
综上，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
例2 如图，设边AB上的高为h，
则S△ABC＝AB·h，
AB＝＝2.
边AB上的高h就是点C到直线AB的距离．
边AB所在直线l的方程为＝，
即x＋y－4＝0.
点C(－1, 0)到直线l：x＋y－4＝0的距离h＝＝，
所以S△ABC＝×2×＝5.
【检测反馈】
1. D 因为直线l经过原点，且点M(5，0)到直线l的距离等于3，所以设直线l的方程为y＝kx，即 kx－y＝0，则＝3，解得k＝±，所以直线l的方程为3x－4y＝0或3x＋4y＝0.
2. B 由得即P(1，1).又直线l：k(x＋1)＋2－y＝0，所以直线过定点A(－1，2)，所以当直线AP与直线l垂直时，点P到直线l的距离最大，且最大值为AP＝＝.
3. AB 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0.由题意及点到直线的距离公式，得＝，解得k＝2或k＝－，即直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.故选AB.
4. [0，2) 直线l的方程可化为λ(x－y－4)＋(2x－y－6)＝0，令解得所以直线l过定点P(2，－2).当直线l经过点O(0，0)时，3＋2λ＝0，即λ＝－，故d＝0；当直线l与OP垂直时，d取最大值，下面证明：当OP与直线垂直时，记直线为l1，当OP不与直线垂直且直线不经过点O时，记直线为l2，过点O作OQ⊥l2交于点Q，如图，由图可知，△OQP为直角三角形且OP为斜边，所以OP>OQ，所以当d取最大值时，OP与直线垂直，故dmax＝＝2，但此时kOP＝－1，则kl＝1，直线l的方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0，此时无论λ取何值都无法满足要求，故dmax取不到2，所以d∈[0，2).
5. (1) 由cos α＝，α∈[0，π)，得α＝，则tan α＝1，
所以直线l的斜率k＝1，且直线l过点P(1，2)，
所以直线l的方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
(2) 因为直线mx－y＋1－m＝0，
所以m(x－)－y＋1＝0，
所以直线a过定点A(，1)，
则点A(，1)到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝＝，
故点A到直线l的距离为.
