(共27张PPT)
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解两条平行线间的距离公式的推导．
2. 会求两条平行直线间的距离．
3. 通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
活 动 方 案
活动一 情境引入
前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．
思考
已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
【解析】 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．
两条平行直线间的距离
1. 定义：夹在两条平行线间的公垂线段的长．
2. 图示：
3. 求法：转化为点到直线的距离．
活动二 探求两条平行直线之间的距离
例1 已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离．
若直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
【答案】 D
活动三 两条平行直线间的距离公式的应用
例3 已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，且d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．
求两条平行直线间距离的两种思路：
(1) 利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
已知直线l1过点A(0,1)，直线l2过点B(5,0)，l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求直线l1，l2的方程．
所以直线l1的方程为12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为12x－5y－60＝0；
若直线l1，l2的斜率不存在，则直线l1的方程为x＝0，直线l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，满足条件．
故满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；
l1：x＝0，l2：x＝5.
例4 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？
变式 在例4中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．
检 测 反 馈
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1. (2024济宁统考期末)已知直线l1：x－y＋1＝0与直线l2：2x＋ay－2＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
【答案】 A
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2. (2023十堰联考)到直线3x－4y－11＝0的距离为1的直线方程为( )
A. 3x－4y－1＝0
B. 3x－4y－6＝0或3x－4y－16＝0
C. 3x－4y＋1＝0或3x－4y－1＝0
D. 3x－4y＋16＝0或3x－4y－3＝0
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【答案】 B
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3. (多选)已知两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕点P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能为 ( )
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
【答案】 ABC
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4. 与两条平行直线l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－3＝0等距离的平行直线的方程为________________________．
【答案】 12x＋8y－15＝0
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5. (2023阳江两阳中学阶段练习)已知直线l：(2a－1)x＋(a＋1)y＋a－5＝0.
(1) 若直线l与直线l′：x＋2y－1＝0平行，求实数a的值并求这两条直线间的距离；
(2) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
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谢谢观看
Thank you for watching2．3.4 两条平行直线间的距离
1. 理解两条平行线间的距离公式的推导．
2. 会求两条平行直线间的距离．
3. 通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
活动一 情境引入
前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．
思考
已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
两条平行直线间的距离
1. 定义：夹在两条平行线间的公垂线段的长．
2. 图示：
3. 求法：转化为点到直线的距离．
活动二 探求两条平行直线之间的距离
例1
已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离．
例2 求证：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
当两条平行直线间的距离公式写成d＝时，要求这两条平行直线的方程都是一般式，且x，y的系数应分别相等．
若直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
A. 4 B.
C. D.
活动三 两条平行直线间的距离公式的应用
例3 已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，且d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．
求两条平行直线间距离的两种思路：
(1) 利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2) 直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝，必须注意两条直线方程中x，y的系数对应相等．
已知直线l1过点A(0，1)，直线l2过点B(5，0)，l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求直线l1，l2的方程．
例4 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？
变式 在例4中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．
1. (2024济宁统考期末)已知直线l1：x－y＋1＝0与直线l2：2x＋ay－2＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. B. 2 C. D.
2. (2023十堰联考)到直线3x－4y－11＝0的距离为1的直线方程为( )
A. 3x－4y－1＝0 B. 3x－4y－6＝0或3x－4y－16＝0
C. 3x－4y＋1＝0或3x－4y－1＝0 D. 3x－4y＋16＝0或3x－4y－3＝0
3. (多选)已知两条平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕点P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能为 ( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
4. 与两条平行直线l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－3＝0等距离的平行直线的方程为_________________．
5. (2023阳江两阳中学阶段练习)已知直线l：(2a－1)x＋(a＋1)y＋a－5＝0.
(1) 若直线l与直线l′：x＋2y－1＝0平行，求实数a的值并求这两条直线间的距离；
(2) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【参考答案与解析】
2．3.4 两条平行直线间的距离
【活动方案】
思考：根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．
例1 先求l1与x轴的交点A的坐标．易知点A的坐标为(4, 0).
点A到直线l2的距离d＝＝＝，
所以l1与l2间的距离为.
例2 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离就是这两条平行直线间的距离，即
d＝.
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，
故d＝＝＝.
跟踪训练 D 因为两直线平行，所以m＝2.将6x＋2y＋1＝0化为3x＋y＋＝0.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝.
例3 由直线l1，l2的方程知l1∥l2.
又由题意知，直线l与l1，l2均平行．
设直线l的方程为3x－2y＋m＝0(m≠－1且 m≠－13)，
由两条平行直线间的距离公式，得d1＝，d2＝.
又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
解得m＝－25或m＝－9.
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
跟踪训练 若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，
由斜截式，得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式，得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.
在直线l1上取点A(0，1)，
则点A到直线l2的距离d＝＝5，
所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，解得k＝，
所以直线l1的方程为12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为12x－5y－60＝0；
若直线l1，l2的斜率不存在，则直线l1的方程为x＝0，直线l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，满足条件．
故满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；
l1：x＝0，l2：x＝5.
例4 如图，显然有0又AB＝＝3，
故d的取值范围为(0，3].
变式 由例4知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
因为kAB＝＝，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
【检测反馈】
1. A 在直线l2：2x＋ay－2＝0上取点(1，0)，则l1与l2之间的距离即为点(1，0)到直线l1：x－y＋1＝0的距离，即为＝.
2. B 设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意，得＝1，解得c＝－6或c＝－16，所以所求直线的方程为3x－4y－6＝0或3x－4y－16＝0.
3. ABC 当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，最大距离为PQ＝＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0，5].故选ABC.
4. 12x＋8y－15＝0 设所求直线的方程为3x＋2y＋b＝0.l2：6x＋4y－3＝0可化为3x＋2y－＝0，则有|b－(－6)|＝|b－|，解得b＝－，则所求直线的方程是3x＋2y－＝0，即12x＋8y－15＝0.
5. (1) 因为直线l′：x＋2y－1＝0，且l∥l′，
所以＝≠，解得a＝1.
当a＝1时，直线l的方程为x＋2y－4＝0，故直线l与直线l′间的距离为d＝＝.
(2) 令x＝0，得y＝－，即直线l在y轴上的截距为－；
令y＝0，得x＝－，即直线l在x轴上的截距为－.
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，
所以－＝－，解得a＝5或a＝2.
故直线l的方程是3x＋2y＝0或x＋y－1＝0.
