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第二章
直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．
2. 能根据所给条件求圆的标准方程．
3. 掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题．
活 动 方 案
活动一 圆的标准方程的推导
问题1：什么叫圆？概念中的关键词是什么？确定一个圆有几个几何要素？
【解析】 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．
关键词：定点就是圆心，定长就是半径．
几何要素：圆心，半径．
问题2：类比直线的点斜式方程的推导过程，探究推导以定点C为圆心，r为半径的圆的方程.
问题3：当圆心C为(a，b)，半径为r时，圆的方程又如何呢？
结论：圆的标准方程：
【解析】 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程．
活动二 求圆的标准方程
例1 求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．
【解析】 圆心为A(2, －3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
将点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，
所以点M1在这个圆上．
将点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，
所以点M2不在这个圆上．
【解析】 确定一个圆需要半径与圆心两个独立条件．
思考1
确定一个圆的标准方程需要哪些独立的条件？
【解析】 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断方法：
①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点M在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点M在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2思考2
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有哪些？如何判断？
求圆的标准方程时，知道圆的圆心和半径，代入圆的标准方程即可．判断点与圆之间的位置关系，只要求出点与圆心之间的距离，然后与半径去比较，就能判断它们之间的位置关系．
(2024遂宁阶段练习)已知圆心为C的圆经过点A(1,1)，B(2，－2)，D(0,2)．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 已知点P(a,1)在圆C外，求a的取值范围．
活动三 运用圆的几何性质求圆的标准方程
例2 已知△ABC 的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程．
圆的标准方程的两种求法：
(1) 几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程．
(2) 待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组可以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
(1) 周长最小的圆的方程；
(2) 圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
检 测 反 馈
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1. (2024邯郸期末)已知圆M过点O(0,0)，A(2,0)，B(2，－2)，则圆M的标准方程是( )
A. (x－1)2＋(y＋1)2＝2 B. (x－1)2＋(y－1)2＝2
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D. (x＋1)2＋(y－1)2＝2
【答案】 A
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2. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【答案】 A
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3. (多选)对于定点P(1,1)和圆C：x2＋y2＝4，下列说法中正确的是( )
A. 点P在圆内部
B. 过点P有两条圆的切线
C. 过点P被圆截得的弦长最大时的直线方程为x－y＝0
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【答案】 ACD
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4. (2023淄博期中)已知圆C经过A(0,2)，B(1,1)，且圆心在直线l1：2x＋y－4＝0，则圆C的方程是________________；若从点M(3,5)发出的光线经过直线l2：x＋y－1＝0，反射后恰好平分圆C的圆周，则反射光线所在直线的方程是________________.
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【答案】 (x－1)2＋(y－2)2＝1 4x－5y＋6＝0
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5. 已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
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谢谢观看
Thank you for watching2．4 圆 的 方 程
2.4.1 圆的标准方程
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．
2. 能根据所给条件求圆的标准方程．
3. 掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题．
活动一 圆的标准方程的推导
问题1：什么叫圆？概念中的关键词是什么？确定一个圆有几个几何要素？
问题2：类比直线的点斜式方程的推导过程，探究推导以定点C为圆心，r为半径的圆的方程.
问题3：当圆心C为(a，b)，半径为r时，圆的方程又如何呢？
结论：圆的标准方程：
活动二 求圆的标准方程
例1 求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．
思考1
确定一个圆的标准方程需要哪些独立的条件？
思考2
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有哪些？如何判断？
求圆的标准方程时，知道圆的圆心和半径，代入圆的标准方程即可．判断点与圆之间的位置关系，只要求出点与圆心之间的距离，然后与半径去比较，就能判断它们之间的位置关系．
(2024遂宁阶段练习)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2).
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 已知点P(a，1)在圆C外，求a的取值范围．
活动三 运用圆的几何性质求圆的标准方程
例2 已知△ABC 的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程．
圆的标准方程的两种求法：
(1) 几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程．
(2) 待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组可以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
(1) 周长最小的圆的方程；
(2) 圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
1. (2024邯郸期末)已知圆M过点O(0，0)，A(2，0)，B(2，－2)，则圆M的标准方程是( )
A. (x－1)2＋(y＋1)2＝2 B. (x－1)2＋(y－1)2＝2
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D. (x＋1)2＋(y－1)2＝2
2. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. (多选)对于定点P(1，1)和圆C：x2＋y2＝4，下列说法中正确的是( )
A. 点P在圆内部
B. 过点P有两条圆的切线
C. 过点P被圆截得的弦长最大时的直线方程为x－y＝0
D. 过点P被圆截得的弦长最小值为2
4. (2023淄博期中)已知圆C经过A(0，2)，B(1，1)，且圆心在直线l1：2x＋y－4＝0，则圆C的方程是________________；若从点M(3，5)发出的光线经过直线l2：x＋y－1＝0，反射后恰好平分圆C的圆周，则反射光线所在直线的方程是________________．
5. 已知以点C为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
【参考答案与解析】
2．4 圆 的 方 程
2.4.1 圆的标准方程
【活动方案】
问题1：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．
关键词：定点就是圆心，定长就是半径．
几何要素：圆心，半径．
问题2：以定点C为原点建立直角坐标系，设P(x，y)是圆上的任意一点．依题意，CP＝r，将点P的坐标(x，y)代入，得＝r，化简，得x2＋y2＝r2.故所求圆的方程为x2＋y2＝r2.
问题3：一般地，设点P(x，y)是以C(a，b)为圆心，r为半径的圆上的任意一点，则CP＝r.
由两点间的距离公式，得＝r，
即(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
结论：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程．
例1 圆心为A(2, －3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
将点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，
所以点M1在这个圆上．
将点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，
所以点M2不在这个圆上．
思考1：确定一个圆需要半径与圆心两个独立条件．
思考2：点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断方法：
①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点M在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点M在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2跟踪训练 (1) 设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2(R>0)，
代入A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)，
得解得
所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2) 因为点P(a，1)在圆C外，所以PC>R＝5.
因为C(－3，－2)，PC＝，
所以>5，解得a>1或a<－7，
所以实数a的取值范围为(－∞，－7)∪(1，＋∞).
例2 设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点都在圆上，
所以
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组
解得
代入(5－a)2＋(1－b)2＝r2，得r2＝25，
所以△ABC的外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
跟踪训练 (1) 当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB的中点(0，1)为圆心，半径r＝AB＝，
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2) 方法一：设点C为圆心．
因为点C在直线2x－y－4＝0上，
所以可设点C的坐标为(a，2a－4).
因为圆C经过A，B两点，
所以CA＝CB，
所以＝，解得a＝3，
所以圆心坐标为C(3，2)，半径r＝CA＝2.
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法二：因为AB的斜率为k＝－3，所以AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由得即圆心坐标是C(3，2)，
则r＝AC＝＝2，
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法三：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【检测反馈】
1. A 由点O(0，0)，A(2，0)在圆M上，得圆心在直线x＝1上；由点A(2，0)，B(2，－2)在圆M上，得圆心在直线y＝－1上，即圆心M(1，－1)，半径r＝＝，故圆M的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
2. A 设圆心C(x，y)，则＝1，化简，得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，所以OC＋1≥OM＝＝5，所以OC≥5－1＝4，当且仅当点C在线段OM上时取得等号．
3. ACD 由12＋12<4知，点P(1，1)在圆内，故A正确；由点P在圆内，可知过点P不能作出圆的切线，故B错误；过点P的最大弦长为直径，所以方程应为y＝x，即x－y＝0，故C正确；过点P且弦长最小的应是垂直于直线CP，且过点P的弦．又垂直于CP的直线为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，所以弦长为2＝2，故D正确．故选ACD.
4. (x－1)2＋(y－2)2＝1 4x－5y＋6＝0 由题意知，AB的中点为，kAB＝＝－1，所以AB的垂直平分线方程为y－＝x－，即x－y＋1＝0.联立解得即圆心为(1，2)，所以圆C的半径为r＝＝1，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.设点M关于直线l2的对称点为N(x，y)，则直线MN与直线l2垂直，且MN的中点在直线l2上，则解得所以N(－4，－2).由题意知反射光线过圆心，故直线CN的方程为＝，即反射光线所在直线的方程为4x－5y＋6＝0.
5. 因为线段AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
联立解得
即圆心C为(－3，6)，
则半径r＝＝2.
又AB＝＝4，
所以圆心C到直线AB的距离
d＝＝4，
所以点P到直线AB的距离的最大值为d＋r＝4＋2，
所以△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.
