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第二章
直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.3 圆的方程习题课
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握圆的标准方程和一般方程的结构特征．
2. 能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题．
3. 能灵活运用圆的几何性质解决问题．
活 动 方 案
活动一 求圆的方程
例1 求以点A(1,2)为圆心，并与x轴相切的圆的方程．
【解析】 因为圆与x轴相切，所以该圆的半径即为圆心A(1，2)到x轴的距离，即r＝2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
【解析】 若圆与y轴相切，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
思考1
若将例1中“与x轴相切”变为“与y轴相切”，则结果如何？
例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
活动二 圆的定义的应用
例3 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3,0)，求：
(1) 直角顶点C的轨迹方程；
(2) 直角边BC的中点M的轨迹方程．
【解析】 由题意可知M是直角边BC的中点，取AB的中点D(1,0)，则DM∥AC，所以DM⊥BM，所以点M的轨迹是以BD为直径的圆(除去点B，D)，所以点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
思考2
例3 能否从圆的定义入手探求点M的轨迹方程？
活动三 圆的方程在实际问题中的应用
例4 (2024揭阳期中)如图，m，n分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中O为m，n的交点．若A，B两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且A，B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧，站点A到直线m，n的距离分别为1 km和10 km，站点B到直线m，n的距离分别为9 km和6 km.
因为2所以函数f(y)＝2(1－d)y＋d2＋47在区间[1,9]上单调递减，
所以f(y)min＝f(9)＝d2－18d＋65≥0，解得d≤5或d≥13.
又2即游乐场C距点O距离的最大值为5 km.
检 测 反 馈
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1. 已知圆的内接正方形相对的两个顶点为A(5,6)，C(3，－4)，则该圆的方程为( )
A. (x＋4)2＋(y－1)2＝26 B. (x－4)2＋(y－1)2＝104
C. (x－4)2＋(y－1)2＝26 D. (x＋4)2＋(y＋1)2＝26
【答案】 C
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2. (2024汕尾期末)已知点A(－1,0)，B(2,0)，动点M到点B的距离是它到点A的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是( )
A. (x＋3)2＋y2＝3 B. (x＋2)2＋y2＝4
C. x2＋(y－3)2＝3 D. x2＋(y＋2)2＝4
【答案】 B
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【答案】 BD
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4. (2023北京十二中阶段练习)由曲线x2＋y2＝x＋|y|围成的图形的面积为________.
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5. 在平面直角坐标系Oxy中，已知四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)．
(1) 这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；
(2) 求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标．
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Thank you for watching2．4.3 圆的方程习题课
1. 掌握圆的标准方程和一般方程的结构特征．
2. 能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题．
3. 能灵活运用圆的几何性质解决问题．
活动一 求圆的方程
例1 求以点A(1，2)为圆心，并与x轴相切的圆的方程．
思考1
若将例1中“与x轴相切”变为“与y轴相切”，则结果如何？
例2 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
活动二 圆的定义的应用
例3 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1) 直角顶点C的轨迹方程；
(2) 直角边BC的中点M的轨迹方程．
思考2
例3能否从圆的定义入手探求点M的轨迹方程？
活动三 圆的方程在实际问题中的应用
例4 (2024揭阳期中)如图，m，n分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中O为m，n的交点．若A，B两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且A，B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧，站点A到直线m，n的距离分别为1 km和10 km，站点B到直线m，n的距离分别为9 km和6 km.
(1) 建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程；
(2) 为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道n上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址(注：地址视为一个点，设为点C)在点O上方，且点C到点O的距离d大于2 km且小于10 km，并要求公交线路(即圆弧AB)上任意一点到游乐场C的距离不小于2 km，求游乐场C距点O距离的最大值．
1. 已知圆的内接正方形相对的两个顶点为A(5，6)，C(3，－4)，则该圆的方程为( )
A. (x＋4)2＋(y－1)2＝26 B. (x－4)2＋(y－1)2＝104
C. (x－4)2＋(y－1)2＝26 D. (x＋4)2＋(y＋1)2＝26
2. (2024汕尾期末)已知点A(－1，0)，B(2，0)，动点M到点B的距离是它到点A的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是( )
A. (x＋3)2＋y2＝3 B. (x＋2)2＋y2＝4
C. x2＋(y－3)2＝3 D. x2＋(y＋2)2＝4
3. (多选)(2023全国模拟预测)已知A是圆P：(x－1)2＋(y－3)2＝1上任意一点，Q是直线 x＋y－5＝0与x轴的交点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A. 以线段AQ为直径的圆周长最小值为8π
B. △APQ面积的最大值为
C. 以线段AQ为直径的圆不可能过坐标原点O
D. ·的最大值为25
4. (2023北京十二中阶段练习)由曲线x2＋y2＝x＋|y|围成的图形的面积为________．
5. 在平面直角坐标系Oxy中，已知四点A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3).
(1) 这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；
(2) 求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标．
【参考答案与解析】
2．4.3 圆的方程习题课
【活动方案】
例1 因为圆与x轴相切，所以该圆的半径即为圆心A(1，2)到x轴的距离，即r＝2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
思考1：若圆与y轴相切，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
例2 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
例3 (1) 设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
故直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
(2) 设点M(x，y)，C(x0，y0).
因为B(3，0), M是线段BC的中点，
由中点坐标公式，得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
故动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
思考2：由题意可知M是直角边BC的中点，取AB的中点D(1，0)，则DM∥AC，所以DM⊥BM，所以点M的轨迹是以BD为直径的圆(除去点B，D)，所以点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
例4 (1) 以O为坐标原点，直线m，n分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(10，1)，B(6，9).设圆弧AB所在圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A，B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧，
所以解得
故公交线路所在圆弧的方程为x2＋(y－1)2＝100(6≤x≤10，1≤y≤9).
(2) 因为游乐场距点O的距离为d(2设P(x，y)为公交线路上任意一点，
则x2＋(y－1)2＝100(6≤x≤10，1≤y≤9)，
即x2＝100－(y－1)2，且PC＝≥2对公交线路上任意点P均成立，
整理，得2(1－d)y＋d2＋47≥0对任意的y∈[1，9]恒成立，
令f(y)＝2(1－d)y＋d2＋47.
因为2所以函数f(y)＝2(1－d)y＋d2＋47在区间[1，9]上单调递减，
所以f(y)min＝f(9)＝d2－18d＋65≥0，解得d≤5或d≥13.
又2即游乐场C距点O距离的最大值为5km.
【检测反馈】
1. C 由题意，得圆心为(4，1)，圆的直径长为 AC＝＝2，半径长为，所以圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26.
2. B 设点M(x，y)，因为A(－1，0)，B(2，0)，且MB＝2MA，所以＝2，整理，得x2＋y2＋4x＝0，即所求动点M的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4.
3. BD 由题意知，圆P：(x－1)2＋(y－3)2＝1的圆心P(1，3)，半径r＝1，点Q(5，0)，如图．易知AQ≥PQ－AP＝4，当且仅当A，Q，P三点共线，且点A在线段PQ上时，等号成立，故以线段AQ为直径的圆周长最小值为4π，故A错误；S△APQ＝PA·PQ sin ∠APQ＝sin ∠APQ，所以当∠APQ＝90°时，△APQ的面积最大，最大值为，故B正确；若以线段AQ为直径的圆过坐标原点O，则由直径所对的圆周角为直角，即∠AOQ＝90°，易知当点A在y轴上时，满足题意，所以以线段AQ为直径的圆可能过坐标原点O，故C错误；设点A(x0，y0)，易知x0∈[0，2]，y0∈[2，4]，则＝(－5，0)，＝(x0－5，y0)，所以·＝25－5x0≤25－5×0＝25，即· 的最大值为25，故D正确．故选BD.
4. ＋ 若点P(x，y)在曲线x2＋y2＝x＋|y|上，则x2＋(－y)2＝x＋|－y|，即点P′(x，－y)在曲线上，可知曲线关于x轴对称．当y≥0时，曲线x2＋y2＝x＋|y|即为x2＋y2＝x＋y，整理，得＋＝，曲线表示圆心为C，半径为的圆的一部分(图中阴影部分).令y＝0，得x2＝x，解得x＝0或x＝1，即曲线与x轴的交点为O(0，0)，A(1，0)，则OA＝1，CA＝CO＝，即OA2＝CA2＋CO2，可知∠OCA＝90°，则图中阴影部分的面积为π×＋××＝＋，根据对称性可知曲线围成的图形的面积为2＝＋.
5. (1) 设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0，
则解得
所以经过A，B，C三点的圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
由于(0－2)2＋(3－2)2＝5，故点D也在这个圆上．
故四点A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3)都在圆 (x－2)2＋(y－2)2＝5上．
(2) 因为PA＋PC≥AC，当且仅当点P在线段AC上时取等号，
同理可得PB＋PD≥BD，当且仅当点P在线段BD上时取等号，
所以P是AC和BD的交点时，它到点A，B，C，D的距离之和最小．
由题意，得直线AC的方程为y＝3x＋1，直线BD的方程为y＝－x＋3.
联立解得故点P的坐标为.
