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第二章
直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 能从“数”和“形”两个角度判断直线与圆的位置关系．
2. 会求直线与圆相切的切线方程和切线长．
3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．
活 动 方 案
活动一 情境导学
“海上生明月，天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊．在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采．
这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离．
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面研究直线与圆的位置关系．
活动二 直线与圆位置关系的判断
例1 求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断直线和圆的位置关系．
例2 求实数m的取值范围，使得直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：(1) 相交；(2) 相切；(3) 相离．
活动三 求直线和圆相切的切线方程与切线长
例3 过点P(2,1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程．
变式1 例3中，当点P的坐标为(1,3)时，求切线l的方程．
变式2 求例3中的切线长．
直线和圆相切的几何性质：
①d＝r；
②圆心、切点、切线上一点构成直角三角形；
③切线垂直于过切点的半径.
检 测 反 馈
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【答案】 D
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【答案】 D
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3. (多选)在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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【答案】 AB
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4. 已知圆x2＋y2＝9，直线l：y＝x＋b，若圆上至少有三个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是________.
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【解析】 (1) 圆M的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆心M(3,4)，半径r＝2.
由点P(3，m)在圆M内，得(3－3)2＋(m－4)2<4，解得2所以实数m的取值范围为(2,6)．
5. (2024太原期末)已知圆M的方程为x2＋y2－6x－8y＋21＝0，点P(3，m)在圆M内．
(1) 求实数m的取值范围；
(2) 求过点Q(1,0)，且与圆M相切的直线l的方程．
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谢谢观看
Thank you for watching2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系(1)
1. 能从“数”和“形”两个角度判断直线与圆的位置关系．
2. 会求直线与圆相切的切线方程和切线长．
3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．
活动一 情境导学
“海上生明月，天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊．在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采．
这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离．
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面研究直线与圆的位置关系．
活动二 直线与圆位置关系的判断
例1 求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断直线和圆的位置关系．
例2 求实数m的取值范围，使得直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：(1) 相交；(2) 相切；(3) 相离．
位置关系 相离 相切 相交
图示
公共点个数 0 1 2
判定 方法 几何法：比较d与r的大小 d>r d＝r d代数法：依据方程组 解的情况 Δ<0， 方程组无解， 直线与圆相离 Δ＝0， 方程组只有一解， 直线与圆相切 Δ>0， 方程组有两组不同的解， 直线与圆相交
活动三 求直线和圆相切的切线方程与切线长
例3 过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程．
切线方程的求法：
1. 求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系，得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．若k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
2. 求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，此时的切线有两条，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数形结合求出．
变式1 例3中，当点P的坐标为(1，3)时，求切线l的方程．
变式2 求例3中的切线长．
直线和圆相切的几何性质：
①d＝r；
②圆心、切点、切线上一点构成直角三角形；
③切线垂直于过切点的半径．
1. (2024焦作期末)若圆C：(x－2)2＋＝a与x轴相切，则实数a的值为( )
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. (2024南京联考)若直线y＝kx＋4(k>0)与曲线y＝有两个交点，则实数k的取值范围为( )
A. (，＋∞) B. [，＋∞) C. [，2] D. (，2]
3. (多选)在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知圆x2＋y2＝9，直线l：y＝x＋b，若圆上至少有三个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是________．
5. (2024太原期末)已知圆M的方程为x2＋y2－6x－8y＋21＝0，点P(3，m)在圆M内．
(1) 求实数m的取值范围；
(2) 求过点Q(1，0)，且与圆M相切的直线l的方程．
【参考答案与解析】
2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系(1)
【活动方案】
例1 直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标就是方程组的解，
解这个方程组，得或
所以公共点的坐标为(10，0)，.
因为直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交．
例2 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2.
(1) 若直线与圆相交，则d＜r，即＜2，解得m＜－2或m＞2.
(2) 若直线与圆相切，则d＝r，即＝2，解得m＝2或m＝－2.
(3) 若直线与圆相离，则d＞r，即＞2，解得－2＜m＜2.
例3 方法一：当切线斜率不存在时，方程为x＝2，与圆不相切，
所以切线斜率存在．
设切线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，
得＝1，解得k＝0或k＝，
所以所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0.
方法二：当切线斜率不存在时，方程为x＝2，与圆不相切，所以切线斜率存在．
设切线方程为y－1＝k(x－2).
因为直线l与圆相切，
所以方程组只有一组解，
消去y并整理，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0，
则Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0，解得k＝0或k＝，
所以所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0.
变式1 当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，与圆相切，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0.
因为直线l与圆相切，
所以＝1，解得k＝，
所以所求的直线方程为4x－3y＋5＝0.
综上，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
变式2 因为圆心O为(0，0)，
所以PO＝＝，
切线长为＝＝2.
【检测反馈】
1. D 由题意，得圆C：(x－2)2＋＝a的圆心为，半径为(a>0).因为圆C与x轴相切，所以＝a，且a>0，解得a＝4.
2. D 如图，直线y＝kx＋4(k>0)过定点A(0，4)，曲线y＝与x轴负半轴交于点B(－2，0)，设直线AC与曲线(半圆)相切于点C.若直线y＝kx＋4(k>0)与曲线y＝有两个交点，则kAC0)与半圆x2＋y2＝4(y≥0)相切，则圆心到直线的距离d＝＝2，解得k＝，即kAC＝.综上，实数k的取值范围为(，2].
3. AB 圆C的方程x2＋y2－4x＝0可化为 (x－2)2＋y2＝4，所以圆C的半径为2.过点P所作的圆的两条切线相互垂直，所以点P，点C，两切点构成正方形，PC＝2.设点P(x，y)，则y＝k(x＋1)，圆心到直线y＝k(x＋1)的距离d＝≤2，解得－2≤k≤ 2.故选AB.
4. [－2，2] 由题意，得圆C的圆心为原点O(0，0)，半径为3.若圆上至少有三个点到直线l的距离等于1，则满足点O到直线l：y＝x＋b的距离d≤2.因为直线l的一般方程为x－y＋b＝0，所以 d＝≤2，解得－2≤b≤2，即实数b的取值范围是[－2，2].
5. (1) 圆M的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆心M(3，4)，半径r＝2.
由点P(3，m)在圆M内，得(3－3)2＋(m－4)2<4，解得2所以实数m的取值范围为(2，6).
(2) 显然点Q在圆M外．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时圆心M(3，4)到直线x＝1的距离为2，符合题意，
则直线x＝1是过点Q(1，0)的圆M的切线；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由＝2，解得k＝，
则直线l的方程为y＝(x－1)，即3x－4y－3＝0.
综上，过点Q(1，0)，且与圆M相切的直线l的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
