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第二章
直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 解决直线与圆相切中的切线方程、切线长、切点弦方程等问题．
2. 理解直线与圆相交的弦长问题．
3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．
活 动 方 案
活动一 直线与圆相切的综合问题
例1 已知圆x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
探究：
已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，当点M(x0，y0)(异于原点)在圆上、圆外时，研究直线l：x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系．
结论：
(1) 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
推论：过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2) 过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则切点弦AB的方程为x0x＋y0y＝r2.
例2 已知圆C：(x－2)2＋y2＝2.
(1) 求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程；
(2) 从圆外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且PM＝PO，求使PM 最小的点P的坐标．
活动二 直线与圆相交的综合问题
例3 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长．
1. 直线和圆相交的几何性质：
①d②圆心、弦的端点、弦的中点构成直角三角形．
2. 弦长公式(A，B为直线与圆的交点)：
例4 已知直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，求弦AB的垂直平分线的方程．
检 测 反 馈
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1. 已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为( )
A. －2 B. －4
C. －6 D. －8
【答案】 B
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【答案】 C
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【答案】 BC
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【解析】 (1) 由题意，得直线l恒过定点P(1,1)．
因为12＋(1－1)2<5，所以点P在圆C内，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
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谢谢观看
Thank you for watching2．5.1 直线与圆的位置关系(2)
1. 解决直线与圆相切中的切线方程、切线长、切点弦方程等问题．
2. 理解直线与圆相交的弦长问题．
3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．
活动一 直线与圆相切的综合问题
例1 已知圆x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
探究：
已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，当点M(x0，y0)(异于原点)在圆上、圆外时，研究直线l：x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系．
结论：
(1) 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
推论：过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2) 过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则切点弦AB的方程为x0x＋y0y＝r2.
例2 已知圆C：(x－2)2＋y2＝2.
(1) 求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程；
(2) 从圆外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且PM＝PO，求使PM 最小的点P的坐标．
活动二 直线与圆相交的综合问题
例3 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长．
已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
1. 直线和圆相交的几何性质：
①d②圆心、弦的端点、弦的中点构成直角三角形．
2. 弦长公式(A，B为直线与圆的交点)：
①几何法：AB＝2；
②代数法：计算出两交点，则
AB＝
＝|x1－x2|
＝|y1－y2|
(注：直线的斜率k存在).
例4 已知直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，求弦AB的垂直平分线的方程．
1. 已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为( )
A. －2 B. －4 C. －6 D. －8
2. (2024泰安期末)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，若当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则实数m的值为( )
A. ± B. ± C. ±1 D. ±
3. (多选)(2023成都期末)已知曲线C：y＝，直线l：mx＋y＋2＋2m＝0，A为曲线C上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线l恒过定点(0，－2)
B. 当m＝－1时，直线l被曲线C截得的弦长为2
C. 若直线l与曲线C有两个交点，则实数m的范围为
D. 当m＝1时，点A到直线l距离的最小值为3－2
4. (2023保定期末)已知函数f(x)＝＋2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 y＝1的对称点在y＝－kx＋1的图象上，则实数k的取值范围是________．
5. 已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1) 求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若AB＝，求直线l的倾斜角．
【参考答案与解析】
2．5.1 直线与圆的位置关系(2)
【活动方案】
例1 当点M不在坐标轴上时，由x2＋y2＝r2，可知圆心为原点 (0，0)，所以直线OM的斜率k＝.因为所求切线与直线OM垂直，所以切线的斜率为－，所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝r2.当点M在坐标轴上时，验证可知上面的方程同样适用．综上，所求切线方程为x0x＋y0y＝r2.
探究：①当点M(x0，y0)在圆上时，即x＋y＝r2，圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝＝r，故此时直线与圆O相切．
②当点M(x0，y0)在圆外时，即x＋y>r2，圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝例2 (1) 由题意，得圆心C的坐标为(2，0)，半径为.
若切线过原点，则设切线方程为kx－y＝0，
则＝，解得k＝±1，
所以切线方程为x＋y＝0或x－y＝0；
若切线不过原点，则设切线方程为x＋y＋c＝0，
则＝，解得c＝－4或c＝0，
所以切线方程为x＋y－4＝0或x＋y＝0.
综上，所求切线的方程为x＋y＝0或x－y＝0或x＋y－4＝0.
(2) 设点P的坐标为(x，y).
因为PM＝PO，PM2＋r2＝PC2，
所以x2＋y2＋2＝(x－2)2＋y2，解得x＝，
所以点P的轨迹为直线x＝.
要使PM最小，即使PO最小，
过点O作直线x＝的垂线，垂足为P，
故点P的坐标为.
例3 方法一：联立直线l与圆C的方程，得
消去y，并整理得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1，
所以直线l与圆C相交，有两个公共点．
将x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3，
所以直线l与圆C的两个交点是A(2，0), B(1，3)，
所以AB＝＝.
方法二：圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，
因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，
又圆心C(0，1)到直线l的距离d＝＝<，
所以直线l与圆C相交，有两个公共点．
如图，由垂径定理，得AB＝2＝.
跟踪训练 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.圆x2＋y2＋4y－21＝0化为标准方程为x2＋(y＋2)2＝25，所以圆心为(0，－2)，半径为5，所以圆心到直线l的距离为＝.因为直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，所以(2)2＋＝52，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.
例4 联立消去x并整理，得13y2＋18y－7＝0，
同理可得13x2－14x－26＝0，
所以AB的中点坐标为，即(，－).
又因为直线AB：2x＋3y＋1＝0的斜率为－，
所以弦AB的垂直平分线的斜率为，
所以弦AB的垂直平分线的方程为y＋＝(x－)，即3x－2y－3＝0.
故弦AB的垂直平分线的方程为3x－2y－3＝0.
【检测反馈】
1. B 由题意，得圆心为(－1，1)，r＝，则圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝＝，且d＝＝，所以＝，解得a＝－4.
2. C 由题意可知，圆C的圆心为原点O，半径为2，直线l交y轴于点M(0，m)，当直线l与OM垂直，即k＝0时，原点到直线l的距离d取最大值，即 dmax＝OM＝m.因为直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，即2＝2，解得m＝±1.
3. BC 对于A，直线l：mx＋y＋2＋2m＝0变形为m(x＋2)＋y＋2＝0，令解得故直线l过定点(－2，－2)，故A错误；对于B，当m＝－1时，直线l：x－y＝0，曲线C：y＝≥0两边平方，得(x－2)2＋y2＝4(y≥0)，是以点(2，0)为圆心，2为半径的上半圆，半圆(x－2)2＋y2＝4(y≥0)与直线l相交，如图1，圆心(2，0)到直线l的距离为，弦长为 2＝2，故B正确；对于C，由B可知，当m＝－1时，有两个交点；当≥m>－1时，仅有一个交点；当直线与曲线相切时，点(2，0)到直线的距离为2，如图2，则＝2，解得m＝0(舍去)或m＝－，所以实数m的范围为，故C正确；对于D，当m＝1时，直线l：x＋y＋4＝0，如图3，当A为坐标原点时，距离最小，且最小值为＝2，故D错误．故选BC.
图1 图2 图3
4. y＝＋2≥2，变形，得(x－2)2＋(y－2)2＝1，故y＝＋2表示的图象为以点M(2，2)为圆心，1为半径的上半圆，则y＝＋2关于直线y＝1的对称图象也是一个半圆，圆心为N(2，0)，半径为1，且该圆与x轴交于B(1，0)，Q(3，0)两点，如图，直线y＝－kx＋1恒过点A(0，1).设直线y＝－kx＋1与半圆N相切时，切点为C，故当直线斜率－k位于直线AB与直线AC之间(含kAB，不含kAC)时，满足函数f(x)＝＋2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y＝1的对称点在y＝－kx＋1的图象上，其中kAB＝＝－1.设直线AC：y＝mx＋1，则＝1，解得m＝－或m＝0(舍去)，则－k∈，解得k∈，故实数k的取值范围是.
5. (1) 由题意，得直线l恒过定点P(1，1).
因为12＋(1－1)2<5，所以点P在圆C内，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去y并整理，得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为AB＝|x1－x2|＝·，
所以＝·，
解得m＝或m＝－，
所以直线l的倾斜角为60°或120°.
