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第二章
直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系(3)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 综合运用直线和圆的位置关系解决相关的数学问题和实际问题．
2. 体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中的应用．
活 动 方 案
活动一 直线与圆位置关系的综合应用
例1 已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，证明：当m∈R时，直线l与圆C必相交，并求相交弦长的最小值及对应的m的值．
例2 如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝2，M是直线x＝－2上的任意一点，过点M作圆O的两条切线，切点分别是P，Q，线段PQ的中点为N.
(1) 当点M运动到x轴上时，求出点P，Q的坐标；
(2) 当点M在x轴上方运动且∠PMQ＝60°时，求直线PQ的方程；
(3) 求证：OM·ON＝OP2，并求点N的轨迹方程．
活动二 直线与圆的位置关系的实际应用
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)．
【解析】 方法一(几何法)：设圆拱所在圆的圆心为C，半径为r，连接AC，OC，P2C，过点P2作P2E⊥PC，则A2P2＝OE，P2E＝A2O.由题意易得AO＝10，CO＝r－4.在Rt△AOC中，r2＝(r－4)2＋102，解得r＝14.5.在Rt△P2EC中，r2＝(A2P2＋r－4)2＋22，解得A2P2≈3.86，所以支柱A2P2的高度约为3.86 m.
1. 建立平面直角坐标系的原则：
(1) 若曲线是轴对称图形，则可选对称轴为坐标轴；
(2) 常选特殊点作为直角坐标系的原点．
(3) 尽量使已知点位于坐标轴上．
2. 坐标法和几何法的特点：
(1) 坐标法：思考量小，直观简洁；
(2) 几何法：思考量大，需作辅助线，多次计算．
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算的结果“翻译”成几何结论．
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【答案】 C
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【答案】 B
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3. (多选)(2023武汉期中)已知点M在直线l：x＋y＝4上移动，圆O：x2＋y2＝4，直线MP，MQ是圆O的切线，切点为P，Q.设OM∩PQ＝N，则下列说法中正确的是( )
A. PQ⊥OM
B. 存在点M，使得∠PMQ＝120°
C. 四边形OPMQ面积的取值范围是[4，＋∞)
D. 当点M的坐标为(1,3)时，直线PQ的方程为x＋3y－2＝0
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【答案】 AC
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【答案】 [－2,0)∪(0,2]
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5. (2024玉林期末)如图，四边形MNPQ是一块长方形绿地，MQ＝ 3 km，MN＝2 km，RS是一条直路，交MN于点R，交MQ于点S，且MR＝SQ＝1 km.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到P，R，S三个点的距离相等．以M为坐标原点，直线MN，MQ分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系．
(1) 求出建筑物的中心C的坐标；
(2) 由建筑物的中心到直路RS要开通一条路，已知
路的造价为150万元/km，求开通的这条路的最低造价．
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谢谢观看
Thank you for watching2．5.1 直线与圆的位置关系(3)
1. 综合运用直线和圆的位置关系解决相关的数学问题和实际问题．
2. 体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中的应用．
活动一 直线与圆位置关系的综合应用
例1 已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，证明：当m∈R时，直线l与圆C必相交，并求相交弦长的最小值及对应的m的值．
例2 如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝2，M是直线x＝－2上的任意一点，过点M作圆O的两条切线，切点分别是P，Q，线段PQ的中点为N.
(1) 当点M运动到x轴上时，求出点P，Q的坐标；
(2) 当点M在x轴上方运动且∠PMQ＝60°时，求直线PQ的方程；
(3) 求证：OM·ON＝OP2，并求点N的轨迹方程．
活动二 直线与圆的位置关系的实际应用
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
1. 建立平面直角坐标系的原则：
(1) 若曲线是轴对称图形，则可选对称轴为坐标轴；
(2) 常选特殊点作为直角坐标系的原点．
(3) 尽量使已知点位于坐标轴上．
2. 坐标法和几何法的特点：
(1) 坐标法：思考量小，直观简洁；
(2) 几何法：思考量大，需作辅助线，多次计算．
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算的结果“翻译”成几何结论．
1. 圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2024益阳期末)若直线y＝kx＋3上存在点P，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，A，B为切点，满足·＝0，则实数k的取值范围是( )
A. [－，] B. (－∞，－ ]∪[，＋∞)
C. [－，] D. (－∞，－ ]∪[，＋∞)
3. (多选)(2023武汉期中)已知点M在直线l：x＋y＝4上移动，圆O：x2＋y2＝4，直线MP，MQ是圆O的切线，切点为P，Q.设OM∩PQ＝N，则下列说法中正确的是( )
A. PQ⊥OM
B. 存在点M，使得∠PMQ＝120°
C. 四边形OPMQ面积的取值范围是[4，＋∞)
D. 当点M的坐标为(1，3)时，直线PQ的方程为x＋3y－2＝0
4. (2024永州期末)已知点A(－2，0)，B(2，0)，若在直线l：y＝a(x－)上至少存在3个不同的点P，使得△PAB为直角三角形，则实数a的取值范围为________．
5. (2024玉林期末)如图，四边形MNPQ是一块长方形绿地，MQ＝3 km，MN＝2 km，RS是一条直路，交MN于点R，交MQ于点S，且MR＝SQ＝1 km.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到P，R，S三个点的距离相等．以M为坐标原点，直线MN，MQ分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系．
(1) 求出建筑物的中心C的坐标；
(2) 由建筑物的中心到直路RS要开通一条路，已知路的造价为150万元/km，求开通的这条路的最低造价．
(附：参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.24.)
【参考答案与解析】
2．5.1 直线与圆的位置关系(3)
【活动方案】
例1 直线l的方程整理为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令解得
所以直线l过定点(3，1).
又因为(3－1)2＋(1－2)2<25，
所以点(3，1)在圆C内，
所以直线l与圆C必相交．
圆心(1，2)与定点(3，1)的连线l1的斜率k＝－，两点间的距离d＝.
当l1⊥l时，直线l与圆C相交的弦长最小，
则－＝2，解得m＝－，
所以相交弦长的最小值为2＝4，
即相交弦长的最小值为4，对应的m的值为－.
例2 (1) 当点M运动到x轴上时，OP＝，OM＝2.
由OP⊥MP，得MP＝＝OP，
所以直线PQ垂直平分线段OM，
所以点P，Q的横坐标为－1.
因为点P，Q在圆x2＋y2＝2上，
所以点P的坐标为(－1，1)，点Q的坐标为(－1，－1).
(2) 连接OM，OP，OQ，则点N在OM上．
设点M的坐标为(－2，m)(m>0).
因为∠PMQ＝60°，
所以∠OMP＝30°，则OM＝2OP＝2，
所以＝2，解得m＝2，
所以点M的坐标为(－2，2)，
所以直线OM的斜率为－1.
因为OP＝OQ，MP＝MQ，
所以PQ⊥OM，所以直线PQ的斜率为1.
设直线PQ的方程为y＝x＋b，又∠OMP＝30°，
所以∠POM＝60°，ON＝OP＝，
即点O(0，0)到直线PQ的距离为，
所以＝，解得b＝1或b＝－1(舍去)，
所以直线PQ的方程为x－y＋1＝0.
(3) 设点N的坐标为(x，y)(x<0)，点M的坐标为(－2，n).
连接OM，OP，OQ，则点N在OM上．
由(2)知PQ⊥OM.
又OP⊥MP，所以△PNO∽△MPO，
所以＝，即OM·ON＝OP2，
所以·＝2.①
由∥，得nx＝－2y，即n＝－(x≠0)，②
将②代入①，得x2＋y2＝|x|.
因为x<0，
所以点N的轨迹方程为x2＋y2＋x＝0(x<0).
例3 方法一(几何法)：设圆拱所在圆的圆心为C，半径为r，连接AC，OC，P2C，过点P2作P2E⊥PC，则A2P2＝OE，P2E＝A2O.由题意易得AO＝10，CO＝r－4.在Rt△AOC中，r2＝(r－4)2＋102，解得r＝14.5.在Rt△P2EC中，r2＝(A2P2＋r－4)2＋22，解得A2P2≈3.86，所以支柱A2P2的高度约为3.86m.
方法二(坐标法)：
建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上，由题意，得点P, B的坐标分别为(0, 4), (10, 0).设圆心坐标是(0, b)，圆的半径是r，那么圆的方程是
x2＋(y－b)2＝r2.
下面确定b和r的值．
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0, 4), (10, 0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程组
解得
所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.
将点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得
(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，
即y＋10.5＝(点P2的坐标y>0，平方根取正值)，
所以y＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m).
故支柱A2P2的高度约为3.86m.
例4 以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0，3), 轮船所在位置的坐标为(4，0).
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2＋y2＝4.
轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即3x＋4y－12＝0.
联立直线l与圆O的方程，得
消去y并整理，得25x2－72x＋80＝0.
由Δ＝(－72)2－4×25×80<0，可知方程组无解，
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
【检测反馈】
1. C 圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，则圆心坐标为(－1，－2)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝，所以和直线l平行的圆的直径的两个端点及直线l上方且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为，即圆上有3个点满足题意．
2. B 如图，由题意，得圆心O(0，0)，半径r＝2.设PO＝d.令∠APO＝α，则sin ∠APO＝sin α＝.因为·＝0，所以2α＝，即α＝，所以d＝2，即PO＝2，所以满足条件的点P的轨迹为x2＋y2＝8.又点P在直线y＝kx＋3上，所以直线y＝kx＋3与圆x2＋y2＝8有交点，则≤2，即k2≥，解得k≥或k≤－，所以实数k的取值范围是∪.
3. AC 对于A，连接OP，OQ，因为MP，MQ为圆的切线，所以OP⊥MP，OQ⊥MQ，OP＝OQ，OM＝OM，所以△MPO≌△MQO，所以OM⊥PQ，故A正确；对于B，sin ∠PMO＝＝，则当OM最小时，∠PMO最大，即∠PMQ＝2∠PMO最大，当OM⊥l时，此时OM最小，OM＝＝2，所以sin ∠PMO≤＝，可得∠PMO≤45°，即∠PMQ≤90°，故B错误；对于C，四边形OPMQ的面积S四边形OPMQ＝2S△OPM＝2MP，又MP2＝OM2－OP2＝OM2－4，且OM≥2，所以MP≥2，所以S四边形OPMQ≥4，即四边形OPMQ面积的取值范围是[4，＋∞)，故C正确；对于D，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，利用圆的切线方程，得到切线PM：xx1＋yy1＝4，MQ：xx2＋yy2＝4，将点M(1，3)代入，得x1＋3y1＝4，x2＋3y2＝4，所以过P，Q两点的直线为x＋3y－4＝0，故D错误．故选AC.
4. [－2，0)∪(0，2] 当a＝0时，A，B，P三点共线，构不成三角形，故a≠0；如图，若△PAB是直角三角形，则有三种情况：当A是直角顶点时，直线l上有唯一点P1满足条件；当B是直角顶点时，直线l上有唯一点P2满足条件；当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．由直径所对的圆周角是直角，得直线l和以AB为直径的圆有公共点即可，以AB为直径的圆为x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径r＝2，所以≤2，解得－2≤a≤2，且a≠0，所以实数a的取值范围是[－2，0)∪(0，2].
5. (1) 方法一：由题意，得R(1，0)，S(0，2)，P(2，3)，
且经过点R，S，P的圆的圆心即为所建建筑物的中心C.
设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆C的方程为x2＋y2－3x－3y＋2＝0，
即＋＝，
所以建筑物的中心的坐标为C.
方法二：由题意，得R(1，0)，S(0，2)，P(2，3)，
且经过点R，S，P的圆的圆心C即为所建建筑物的中心．
因为线段SP的中点为，且kSP＝，所以线段SP的垂直平分线的直线方程为y＝－2x＋.
因为线段RS的中点为，且kRS＝－2，所以线段RS的垂直平分线的直线方程为y＝x＋，
联立得
所以建筑物的中心的坐标为C.
(2) 因为C为建筑物的中心坐标，
设线段RS的中点为H，由垂径定理，得CH的长度即为点C到RS的最小距离．
因为RS＝＝，圆C的半径为，
所以点C到RS的距离为＝，
所以开通的这条路的最低造价为×150＝75≈75×2.24＝168(万元).
