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第二章
直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握圆与圆的位置关系及判定方法．
2. 能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．
3. 能综合应用圆与圆的位置关系解决问题．
活 动 方 案
活动一 圆与圆的位置关系
1. 情境导学
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
2. 探究：圆与圆的位置关系
(1) 几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|
(2) 代数法：通过两圆的方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
活动二 判断圆与圆的位置关系
例1 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④
方程④的根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，
所以方程④有两个不相等的实数根x1，x2.
把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．
【解析】 将圆C1的方程化为标准方程，得(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(m，－2)，半径r1＝3.将圆C2的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心为C2(－1，m)，半径r2＝2.
例2 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.
(1) 当m为何值时，圆C1与圆C2外切？
(2) 当m为何值时，圆C1与圆C2内含？
判断圆与圆的位置关系的两种方法：
(1) 几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
(2) 代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题.
活动三 圆与圆的位置关系的综合应用
例4 求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
例5 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
例6 求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和 x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
【解析】 经过两圆交点的圆有无数个，这些圆中，任意两个圆的方程相减，所得的方程均为这两个交点所在直线的方程．
思考
经过两圆交点的圆有多少个？它们的方程有什么共同特点？
相交弦及圆系方程问题的解决
1. 求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
2. 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
3. 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
检 测 反 馈
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1. (2024蚌埠期末)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋m＝0内切，则实数m的值为( )
A. 29 B. 9
C. －11 D. 19
【答案】 C
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【答案】 A
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3. (多选)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则下列结论中正确的是( )
A. 公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B. 线段AB的中垂线方程为x＋y－1＝0
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【答案】 ABD
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4. (2024长沙一模)已知点A(4,1)，B(2,2)，C(0,3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足 PA2＋PB2＋PC2＝13，则实数r的取值范围是________.
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5. 已知线段AB的端点B的坐标是(4,2)，端点A在圆C：(x＋2)2＋y2＝16上运动．
(1) 求线段AB的中点的轨迹H的方程；
(2) 判断(1)中轨迹H与圆C的位置关系．
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谢谢观看
Thank you for watching2．5.2 圆与圆的位置关系
1. 掌握圆与圆的位置关系及判定方法．
2. 能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．
3. 能综合应用圆与圆的位置关系解决问题．
活动一 圆与圆的位置关系
1. 情境导学
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
2. 探究：圆与圆的位置关系
(1) 几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(2) 代数法：通过两圆的方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
活动二 判断圆与圆的位置关系
例1 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
例2 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.
(1) 当m为何值时，圆C1与圆C2外切？
(2) 当m为何值时，圆C1与圆C2内含？
例3 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．
判断圆与圆的位置关系的两种方法：
(1) 几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
(2) 代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．
活动三 圆与圆的位置关系的综合应用
例4 求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
例5 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
例6 求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和 x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
思考
经过两圆交点的圆有多少个？它们的方程有什么共同特点？
相交弦及圆系方程问题的解决
1. 求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
2. 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
3. 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
1. (2024蚌埠期末)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋m＝0内切，则实数m的值为( )
A. 29 B. 9 C. －11 D. 19
2. (2024延庆期末)已知圆x2＋y2＝4上的一点A和圆x2＋y2－4x－4y＝0上的一点B，则AB的最大值为( )
A. 2＋4 B. 2＋2 C. 4 D. 2
3. (多选)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则下列结论中正确的是( )
A. 公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B. 线段AB的中垂线方程为x＋y－1＝0
C. 公共弦AB的长为
D. 若P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1
4. (2024长沙一模)已知点A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足 PA2＋PB2＋PC2＝13，则实数r的取值范围是________．
5. 已知线段AB的端点B的坐标是(4，2)，端点A在圆C：(x＋2)2＋y2＝16上运动．
(1) 求线段AB的中点的轨迹H的方程；
(2) 判断(1)中轨迹H与圆C的位置关系．
【参考答案与解析】
2．5.2 圆与圆的位置关系
【活动方案】
例1 方法一：将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①－②，得x＋2y－1＝0， ③
由③，得y＝.
把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④
方程④的根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，
所以方程④有两个不相等的实数根x1，x2.
把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．
方法二：把圆C1的方程化成标准方程，得
(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5.
把圆C2的方程化成标准方程，得
(x－2)2＋(y－2)2＝10，
圆C2的圆心是(2，2)，半径r2＝.
圆C1与圆C2的圆心距为
＝3.
圆C1与圆C2的两半径长之和r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－.
因为5－<3<5＋，即r1－r2<3例2 将圆C1的方程化为标准方程，得(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(m，－2)，半径r1＝3.将圆C2的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心为C2(－1，m)，半径r2＝2.
(1) 若圆C1与圆C2外切，则C1C2＝r1＋r2＝5，
即＝5，整理，得m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5，故当m＝2或m＝－5时，圆C1与圆C2外切．
(2) 若圆C1与圆C2内含，则C1C2<|r1－r2|＝1，
即<1，整理，得m2＋3m＋2<0，解得－2例3 如图，以线段AB的中点O为原点，AB 所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB＝4，得A(－2, 0)，B(2，0).
设点M的坐标为(x, y)，由MA＝MB，得
＝×，
化简，得x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32，
所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆．
因为两圆的圆心距为PO＝6，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝4.
又r2－r1所以点M的轨迹与圆O相交．
例4 将圆C的方程化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，所以圆心为C(－5，－5)，半径为5，
所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意知，点O(0，0)，A(0，6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，
则解得
所以所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
例5 设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组
①－②，得3x－4y＋6＝0.
因为A，B两点的坐标都满足此方程，
所以3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
易知圆C1的圆心(－1，3)，半径r＝3.
又圆心C1到直线的距离d＝＝，
所以AB＝2＝，即两圆的公共弦长为.
例6 由题意可求得两圆连心线所在直线的方程为x＋y＋3＝0，公共弦所在直线的方程为x－y＋4＝0.
由得所求圆的圆心为.
利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长d＝5，
所以r2＝＋()2＝，
所以所求圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
思考：经过两圆交点的圆有无数个，这些圆中，任意两个圆的方程相减，所得的方程均为这两个交点所在直线的方程．
【检测反馈】
1. C 由圆C1：x2＋y2＝1，得圆心C1(0，0)，半径r1＝1.圆C2：x2＋y2－8x－6y＋m＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝25－m>0，可得圆心C2(4，3)，半径r2＝>0, 所以C1C2＝＝5.由圆C1圆C2内切，所以C1C2＝|r1－r2|，即5＝|－1|，解得m＝－11.
2. A 易知圆x2＋y2＝4的圆心为原点(0，0)，半径r1＝2.圆x2＋y2－4x－4y＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝8，可得圆心为(2，2)，半径r2＝2，两圆的圆心距为d＝＝2∈(2－2，2＋2)，所以两圆相交，故ABmax＝d＋r1＋r2＝4＋2.
3. ABD 对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB的中垂线方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，半径r＝1, 所以AB＝2×＝，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为 d＝，半径r＝1，故点P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．故选ABD.
4. [2－1，2＋1] 设P(x，y)，将坐标代入PA2＋PB2＋PC2＝13，可得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，则点P的轨迹是以点(2，2)为圆心，1为半径的圆．由题意，得两圆有公共点，则|r－1|≤2≤r＋1，解得2－1≤r≤2＋1.
5. (1) 设点A(x0，y0)，AB的中点H(x，y)，
则所以
代入圆C：(x＋2)2＋y2＝16，
可得圆H：(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2) 由题意，得圆心C为(－2，0)，半径r1＝4，
由(1)，得圆心H为(1，1)，半径r2＝2，
则圆心距为d＝＝.
因为r1－r2所以两个圆相交，即(1)中轨迹H与圆C的位置关系为相交．