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第二章
直线和圆的方程
本章复习
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 梳理本章知识，构建知识网络．
2. 巩固直线与圆的有关知识与思想方法．
活 动 方 案
活动一 建构知识网络
1. 知识结构框架
2. 直线中的相关知识
(一) 直线的倾斜角和斜率
(1) 直线倾斜角的范围为__________________.
(2) 直线的斜率k＝____________.
(3) 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝_________.
(4) 不重合且斜率存在的两条直线l1，l2，
①l1∥l2 ___________；②l1⊥l2 ______________.
[0°，180°)
tan α
k1＝k2
k1k2＝－1
(二) 直线的方程
(1) 点斜式方程为____________________.
(2) 斜截式方程为_____________.
(3) 两点式方程为________________________________.
(4) 截距式方程为__________________________.
(5) 一般式方程为_______________________________________.
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)
(三) 距离公式
(1) 表示过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为_______________________________________.
(2) 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为________________________.
(3) 点P0(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C＝0的距离为_______________.
(4) 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为
_______________.
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0
(四) 两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1) l1与l2相交 _______________.
(2) l1∥l2 _________________.
(3) l1⊥l2 ___________________.
A1B2≠A2B1
A1A2＋B1B2＝0
(五) 三种常见的对称问题
(1) 点关于点的对称
点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为P′_____________________.
(2) 点关于直线的对称
(2a－x0,2b－y0)
(3) 线关于点、线的对称
线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标x，y满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
3. 圆中的相关知识
(一) 圆的方程
(1) 圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心为__________，半径为r的圆．
(2) 圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心为_____________，半径为__________________的圆．
(3) 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为__________________________________.
(4) 求轨迹方程的方法：①一般法；②相关点代入法；③定义法.
(a，b)
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
(二) 直线与圆的位置关系的判断方法
(1) 代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组的解．有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离；
(2) 几何法：判断圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：
①_____________ 相交；②_____________ 相切；
③_____________ 相离．
dd＝r
d>r
(三) 弦长的计算方法
(1) 应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系：l＝____________.
(四) 判断圆与圆的位置关系的方法
(1) 代数法：解两个圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离或内含．
(2) 几何法：依据圆心距d与半径r1和r2之间的关系判断．
①当__________________时，两圆外离，有_______条公切线；
②当__________________时，两圆外切，有_______条公切线；
d>r1＋r2
4
d＝r1＋r2
3
③当__________________时，两圆相交，有_______条公切线；
④当_____________________时，两圆内切，有_______条公切线；
⑤当_____________________时，两圆内含，有_______条公切线
|r1－r2|2
d＝|r1－r2|
1
d<|r1－r2|
0
4. 重要方法
(一) 坐标法是研究和解决平面解析几何问题的重要方法．
(二) 数形结合是本章的数学思想方法，坐标系把图形性质与代数有机地结合起来．
活动二 直线方程的综合问题
例1 已知直线l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，求使l1∥l2的a的值．
例2 求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．
活动三 圆的方程的综合问题
例4 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，求：
(1) 直线l恒过定点P的坐标；
(2) 直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
例5 已知圆C的方程为x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.求证：
(1) 当a≠1，且a∈R时，圆C恒过定点；
(2) 圆心总在一条直线上，并求直线方程．
活动四 直线与圆的方程的综合问题
检 测 反 馈
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1. 已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则切线AB的长为( )
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【答案】 C
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【答案】 C
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3. (多选)(2024广东实验中学期末)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)，P，Q分别是圆C1与圆C2上的点，则下列结论中正确的是( )
A. 若圆C1与圆C2无公共点，则0B. 当r＝5时，两圆公共弦所在直线的方程为6x－8y－1＝0
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【答案】 BC
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4. (2024沧州期末)直线x＋y－3＝0被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为________.
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5. (2023全国期末)在平面直角坐标系Oxy中．已知圆C经过A(0,2)，O(0,0)，D(t,0)(t>0)三点，M 是线段AD上的动点，直线l1，l2是过点B(1,0)且互相垂直的两条直线，其中直线l1交y轴于点E，直线l2交圆C于P，Q两点．
(1) 若t＝PQ＝6，求直线l2的方程；
(2) 若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ面积的最小值．
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谢谢观看
Thank you for watching第2章 直线和圆的方程 复 习
1. 梳理本章知识，构建知识网络．
2. 巩固直线与圆的有关知识与思想方法．
活动一 建构知识网络
1. 知识结构框架
2. 直线中的相关知识
(一) 直线的倾斜角和斜率
(1) 直线倾斜角的范围为________．
(2) 直线的斜率k＝________．
(3) 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝________．
(4) 不重合且斜率存在的两条直线l1，l2，①l1∥l2 ________；②l1⊥l2 ________．
(二) 直线的方程
(1) 点斜式方程为______________．
(2) 斜截式方程为______________．
(3) 两点式方程为______________．
(4) 截距式方程为______________．
(5) 一般式方程为______________．
(三) 距离公式
(1) 表示过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为________________________．
(2) 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为____________________________．
(3) 点P0(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C＝0的距离为_______________________．
(4) 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为___________．
(四) 两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1) l1与l2相交 ________________．
(2) l1∥l2 __________________．
(3) l1⊥l2 __________________．
(五) 三种常见的对称问题
(1) 点关于点的对称
点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为P′________________.
(2) 点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2).
(3) 线关于点、线的对称
线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标x，y满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
3. 圆中的相关知识
(一) 圆的方程
(1) 圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心为________，半径为r的圆．
(2) 圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心为________，半径为________的圆．
(3) 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为_________________．
(4) 求轨迹方程的方法：①一般法；②相关点代入法；③定义法.
(二) 直线与圆的位置关系的判断方法
(1) 代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组的解．有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离；
(2) 几何法：判断圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：
①________ 相交；②________ 相切；③________ 相离．
(三) 弦长的计算方法
(1) 应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系：l＝________．
(2) 利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b，与圆两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝________．
(四) 判断圆与圆的位置关系的方法
(1) 代数法：解两个圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离或内含．
(2) 几何法：依据圆心距d与半径r1和r2之间的关系判断．
①当________时，两圆外离，有________条公切线；
②当________时，两圆外切，有________条公切线；
③当________时，两圆相交，有________条公切线；
④当________时，两圆内切，有________条公切线；
⑤当________时，两圆内含，有________条公切线．
4. 重要方法
(一) 坐标法是研究和解决平面解析几何问题的重要方法．
(二) 数形结合是本章的数学思想方法，坐标系把图形性质与代数有机地结合起来．
活动二 直线方程的综合问题
例1 已知直线l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，求使l1∥l2的a的值．
例2 求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．
活动三 圆的方程的综合问题
例3 已知圆C经过点A(2，0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上．
(1) 求圆C的方程；
(2) 过点(1，)的直线l截圆C所得的弦长为 2，求直线l的方程．
例4 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，求：
(1) 直线l恒过定点P的坐标；
(2) 直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
例5 已知圆C的方程为x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.求证：
(1) 当a≠1，且a∈R时，圆C恒过定点；
(2) 圆心总在一条直线上，并求直线方程．
活动四 直线与圆的方程的综合问题
例6 已知圆C的圆心为坐标原点O，且与直线l1：x－y－2＝0相切．
(1) 求圆C的方程；
(2) 若与直线l1垂直的直线l2与圆C交于不同的两点P，Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线l2的方程．
1. 已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则切线AB的长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2
2. (2024遂宁期末)若曲线C1：x＝2＋与曲线C2：(x－2)(x－my＋m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A. (－∞，)∪(－2，＋∞) B. (－∞，)
C. (，－2) D. [－2，＋∞)
3. (多选)(2024广东实验中学期末)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)，P，Q分别是圆C1与圆C2上的点，则下列结论中正确的是( )
A. 若圆C1与圆C2无公共点，则0B. 当r＝5时，两圆公共弦所在直线的方程为6x－8y－1＝0
C. 当r＝2时，直线PQ斜率的最大值为－
D. 当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于
4. (2024沧州期末)直线x＋y－3＝0被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为________．
5. (2023全国期末)在平面直角坐标系Oxy中．已知圆C经过A(0，2)，O(0，0)，D(t，0)(t>0)三点，M 是线段AD上的动点，直线l1，l2是过点B(1，0)且互相垂直的两条直线，其中直线l1交y轴于点E，直线l2交圆C于P，Q两点．
(1) 若t＝PQ＝6，求直线l2的方程；
(2) 若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ面积的最小值．
【参考答案与解析】
第2章 直线和圆的方程 复 习
【活动方案】
2. (一) (1) [0°，180°) (2) tan α (3)
(4) ①k1＝k2 ②k1k2＝－1
(二) (1) y－y0＝k(x－x0)
(2) y＝kx＋b
(3) ＝(x1≠x2，y1≠y2)
(4) ＋＝1(a≠0，b≠0)
(5) Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)
(三) (1) A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0
(2) P1P2＝
(3) d＝
(4) d＝
(四) (1) A1B2≠A2B1
(2) ＝≠
(3) A1A2＋B1B2＝0
(五) (1) (2a－x0，2b－y0)
(2) －×＝－1
3. (一) (1) (a，b)
(2)
(3) (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
(二) (2) ①dr
(三) (1) 2
(2) ·
(四) (2) ①d>r1＋r2 4 ②d＝r1＋r2 3
③|r1－r2|例1 当直线斜率不存在，即a＝0时，l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2；
当直线斜率存在时，由l1∥l2，得－＝，解得a＝－.
故使l1∥l2的a的值为0或－.
例2 在直线a：2x＋y－4＝0上取一点A(2，0)，
设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，
则
解得点B.
由解得交点D(3，－2).
由两点式可求得直线b的方程为2x＋11y＋16＝0.
例3 (1) 由AB的中点坐标为，AB的斜率为，
得AB的垂直平分线的方程为x＋3y＝0，与 x－y＝0的交点为(0，0)，所以圆心坐标为(0，0)，半径为2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2) 当直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
又直线l过点，
所以直线l的方程为y－＝k(x－1)，
即y＝kx＋－k，
则圆心(0，0)到直线的距离d＝.
又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，
则()2＋()2＝4，解得k＝－，
则直线l的方程为y＝－x＋；
当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝1，此时y＝±，截得的弦长为2，满足题意．
综上，直线l的方程为x＝1或y＝－x＋.
例4 (1) 直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，可化为m(2x＋y－7)＋(x＋y－4)＝0，
令解得
故直线l恒过定点P(3，1).
(2) 当圆心C到直线l的距离最大时，弦长最短，此时CP⊥l，
圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的圆心C为(1，2)，
由直线CP的斜率为＝－，
得直线l的斜率为2，即－＝2，解得m＝－，
则直线l的方程为2x－y－5＝0.
例5 (1) 方程x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0可化为x2＋y2－4y＋2－a(2x－2y)＝0，
令解得
所以定点为(1，1).故圆C恒过定点(1，1).
(2) 易知圆心坐标为(a，2－a)，
设圆心坐标为(x，y)，
则消去a，得y＝2－x，即x＋y－2＝0.
故圆心(a，2－a)总在直线x＋y－2＝0上．
例6 (1) 由已知，得圆心到直线的距离为半径，
所以半径r＝＝2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2) 设直线l2的方程为x＋y＋c＝0，
由已知，得△OPQ为等腰直角三角形，
则点O到直线l2的距离为，
所以＝，得c＝±2，
所以直线l2的方程为x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.
【检测反馈】
1. C 由圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示以点C(2，1)为圆心，半径为2的圆．由题意，得直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心C(2，1)，故有2＋a－1＝0，所以a＝－1，点A(－4，－1).因为AC＝＝2，CB＝r＝2，所以切线AB的长为＝＝6.
2. C 曲线C1可化简为(x－2)2＋(y＋1)2＝1(x≥2)，曲线C1表示以点(2，－1)为圆心，1为半径的右半圆，曲线C2：(x－2)(x－my＋m)＝0表示两条直线x＝2和x－my＋m＝0，显然直线x＝2过圆心，且与半圆C1有两个交点A(2，0)和B(2，－2)，所以直线x－my＋m＝0与半圆C1有两个除点A，B外的交点．由直线x－my＋m＝0，得x＝m(y－1)，则直线过定点D(0，1)，kDA＝＝－，此时m＝－2，当直线x－my＋m＝0与半圆相切时，可得＝1，解得m＝或m＝(舍去)，所以当3. BC 对于A，当两圆内含时，r可以无穷大，故A错误；对于B，当r＝5时，两圆相交，两圆的方程作差，得公共弦的直线方程为6x－8y－1＝0，故B正确；对于C，当r＝2时，如图1，PQ和CD为两条内公切线，且CD：x＝1.由平面几何知识可知CD＝4，＝，则CA＝，所以tan ∠C1AC＝，tan ∠PAC＝＝，kPQ＝－＝－，即直线PQ斜率的最大值为－，故C正确；对于D，如图2，当点P处于点P1时，P1C2＝4<3，则∠A1P1C2>，当点P处于点P2时，P2C2＝6>3，则∠A2P2C2<，所以在弧P1P2上，必然存在点P使得∠BPA＝，故D错误．故选BC.
图1 图2
4. 2 由题意，得圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的半径R＝2，圆心为(2，3).又圆心到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝，所以弦长为2＝2.
5. (1) 由t＝PQ＝6，
得圆C的圆心坐标为(3，1)，半径为，
所以2＝2＝6，解得d＝1(d为圆心到直线l2的距离).
由题意可知，直线l2的斜率存在，则设直线l2的方程y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
所以圆心到直线的距离d＝＝1，
解得k＝0或k＝，
当k＝0时，l2即为x轴所在的直线，直线l1的方程为x＝1，与y轴平行，不满足题意，故舍去，
所以k＝，
故直线l2的方程为4x－3y－4＝0.
(2) 设M(x，y)，
由点M在线段AD上，得AD的直线方程为＋＝1，
即2x＋ty－2t＝0.
由AM≤2BM，
得≤2，
即＋≥.
由题意，得线段AD与圆＋＝至多有一个公共点，
故点到直线AD的距离d′＝≥，
解得t≤(负值舍去)或t≥，
因为t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，
所以t＝4，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
①当直线l2：x＝1时，直线l1的方程为y＝0，点E与原点重合，
此时将x＝1代入可得PQ＝4，
故S△EPQ＝·PQ·1＝2；
②当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
则直线l1的方程为y＝－(x－1)，
则点E的坐标为，
所以BE＝.
又圆心到直线l2的距离为，
所以PQ＝2，
所以S△EPQ＝··2
＝＝≥.
因为<2，
所以(S△EPQ)min＝.
