2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.1 因式分解同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·汉阳期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
2．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： (x+1)(x-3) =x2-3x+x-3=x2-2x-3.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，故利用多项式乘以多项式的法则求出两个多项式的积，即可判断得出答案.
3．对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)从左到右的变形中，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①为因式分解，②为多项式的乘法运算.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式得恒等变形就是因式分解，把几个整式的积化为一个多项式的变形就是整式乘法，逐项分析即可.
4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a(4-y2)=4a-ay2 B．-4x2+12xy-9y2=-(2x-3y)2
C．x2+3x-1= x(x+3)-1 D．6ab=2a·3b
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意；
C、等式的右边不是几个整式乘积的形式，从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、是将一个单项式化为了两个整式的乘积形式，从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此逐一判断得出答案.
5．（2024八上·盘龙期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、∵属于因式分解，∴A正确，符合题意；
B、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴B不正确，不符合题意；
C、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴C不正确，不符合题意；
D、∵不属于因式分解，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
6．(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）
A．9a2+y2 B．-9a2+y2 C．9a2-y2 D．-9a2-y2
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（3a-y）（3a+y）=9a2-y2．
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算（3a-y）（3a+y）即可求解.
7．（2023八下·南山期末）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x-1）＝x2y2-xy2
B．（a+3）（a-3）＝a2-9
C．2023a2-2023＝2023（a+1）（a-1）
D．x2+x-5＝（x-2）（x+3）+1
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 xy2（x-1）＝x2y2-xy2 是整式的乘法运算，不符合题意；
B、（a+3）（a-3）＝a2-9 是整式的乘法运算，不符合题意；
C、 2023a2-2023＝2023（a+1）（a-1） 从左到右的变形为因式分解，符合题意；
D、 x2+x-5＝（x-2）（x+3）+1右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，进行判断即可.
8．（2023八下·宝安期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故A不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故B不符合题意；
C、从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D、从左边到右边的变形属于整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可判断得出答案.
二、填空题
9．（2023·舟山）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： 。
【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)=x2-1.
故答案为：x2-1.（答案不唯一）
【分析】令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)，然后利用平方差公式进行计算.
10．（2019七下·句容期中）若关于x的多项式x2﹣mx+n能因式分解为：（x﹣2）（x+3），则m+n＝
【答案】-7
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵多项式x2﹣mx+n能因式分解为（x﹣2）（x+3），
∴x2﹣mx+n＝x2+x﹣6，
∴m＝﹣1，n＝﹣6，
∴m+n＝﹣1﹣6＝﹣7．
故答案是：﹣7．
【分析】化简因式分解的式子，然后可以求出m和n的值，即可求出m+n的值.
11．（2023八上·莱芜期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为.则 ， .
【答案】；
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：
∴a=-4
∴b=-12
故答案为：-4，-12
【分析】 甲看错了，分解结果为 ，展开可求出a； 乙看错了，分解结果为 ，展开可求出b.
12．下列从左到右的变形：
①(x+1)(x-1)=x2-1．②3a2-6a=3a(a-2)．
③9a2-12a+4=(3a-2)2．④3abc3=3c·abc2．
其中属于因式分解的有 (填序号)
【答案】②③
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①（x+1）（x-1）=x2-1，是多项式乘多项式误；
②3a2-6a=3a（a-2），是因式分解；
③9a2-12a+4=（3a-2）2，是因式分解；
④3abc3=3c·abc2，不是因式分解；
故答案为：②③.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式分析即可得出答案.
13．分解因式：
（1） ∵(x- 1)(x+2)=x2+x-2，
∴x2+x-2=
（2）∵(m+5n)( )=m2-25n2，
∴m2-25n2=
【答案】（1）（x-1）（x+2）
（2）m-5n；（m+5n）（m-5n）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（1）∵（x-1）（x+2）=x2+x-2；
∴x2+x-2=（x-1）（x+2），
故答案为：（x-1）（x+2）.
（2）（m+5n）（m-5n）=m2-（5n）2=m2-25n2；
∴m2-25n2=（m+5n）（m-5n），
故答案为：m-5n；（m+5n）（m-5n）.
【分析】（1）根据因式分解和整式的乘法之间的关系即可求解；
（2）根据因式分解和整式的乘法之间的关系即可求解.
三、解答题
14．下列由左到右的变形中，哪些是分解因式 哪些不是 请说出理由.
①a（x+y）=ax+ay；
②x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
③ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；
④x2+2+ =
⑤2a3＝2a·a·a.
【答案】解：因为①②的右边都不是整式的积的形式，所以它们不是分解因式；④中 ， 都不是整式，⑤中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有③的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以③是分解因式.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式。化简后的结果为几个整式的乘积，所以 可以判断
①②选项错误；在④中，分母中含有字母，所以不是整式，不符合题意；在
⑤ 中，2a
3为单项式，不符合题意；在
③中，左侧为多项式，右侧为几个整式的积，所以符合题意。
15．（2017七下·湖州月考）仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
【答案】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式（2x-3）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2=4，则可设另一个因式为(4x+b)，
得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，
∴ ，解得 ，
则另一个因式为（4x-1），a=-3.
参照方法二解答：设8x2-14x-a=k(2x-3) (k≠0)，当x= 时，左边=18-21-a,右边=0，则18-21-a=0，解得a=-3.
则另一个因式为（4x-1）.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的定义可知，等号两边只是形式不一样，但结果相等.
四、综合题
16．
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
【分析】(1)将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式分解，从而得出因式分解的有两个条件：等号右边必须是整式的积的形式，二、必须是整式；则可解答.
(2)整式的乘法与因式分解是相反的过程，依此即可得出结论；
(3)根据因式分解的定义，即可作答.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.1 因式分解同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·汉阳期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为 （ ）
A． B． C． D．
3．对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)从左到右的变形中，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a(4-y2)=4a-ay2 B．-4x2+12xy-9y2=-(2x-3y)2
C．x2+3x-1= x(x+3)-1 D．6ab=2a·3b
5．（2024八上·盘龙期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）
A．9a2+y2 B．-9a2+y2 C．9a2-y2 D．-9a2-y2
7．（2023八下·南山期末）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x-1）＝x2y2-xy2
B．（a+3）（a-3）＝a2-9
C．2023a2-2023＝2023（a+1）（a-1）
D．x2+x-5＝（x-2）（x+3）+1
8．（2023八下·宝安期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023·舟山）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： 。
10．（2019七下·句容期中）若关于x的多项式x2﹣mx+n能因式分解为：（x﹣2）（x+3），则m+n＝
11．（2023八上·莱芜期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为.则 ， .
12．下列从左到右的变形：
①(x+1)(x-1)=x2-1．②3a2-6a=3a(a-2)．
③9a2-12a+4=(3a-2)2．④3abc3=3c·abc2．
其中属于因式分解的有 (填序号)
13．分解因式：
（1） ∵(x- 1)(x+2)=x2+x-2，
∴x2+x-2=
（2）∵(m+5n)( )=m2-25n2，
∴m2-25n2=
三、解答题
14．下列由左到右的变形中，哪些是分解因式 哪些不是 请说出理由.
①a（x+y）=ax+ay；
②x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
③ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；
④x2+2+ =
⑤2a3＝2a·a·a.
15．（2017七下·湖州月考）仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
四、综合题
16．
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： (x+1)(x-3) =x2-3x+x-3=x2-2x-3.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，故利用多项式乘以多项式的法则求出两个多项式的积，即可判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①为因式分解，②为多项式的乘法运算.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式得恒等变形就是因式分解，把几个整式的积化为一个多项式的变形就是整式乘法，逐项分析即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意；
C、等式的右边不是几个整式乘积的形式，从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、是将一个单项式化为了两个整式的乘积形式，从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、∵属于因式分解，∴A正确，符合题意；
B、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴B不正确，不符合题意；
C、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴C不正确，不符合题意；
D、∵不属于因式分解，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
6．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（3a-y）（3a+y）=9a2-y2．
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算（3a-y）（3a+y）即可求解.
7．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 xy2（x-1）＝x2y2-xy2 是整式的乘法运算，不符合题意；
B、（a+3）（a-3）＝a2-9 是整式的乘法运算，不符合题意；
C、 2023a2-2023＝2023（a+1）（a-1） 从左到右的变形为因式分解，符合题意；
D、 x2+x-5＝（x-2）（x+3）+1右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故A不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故B不符合题意；
C、从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D、从左边到右边的变形属于整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可判断得出答案.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)=x2-1.
故答案为：x2-1.（答案不唯一）
【分析】令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)，然后利用平方差公式进行计算.
10．【答案】-7
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵多项式x2﹣mx+n能因式分解为（x﹣2）（x+3），
∴x2﹣mx+n＝x2+x﹣6，
∴m＝﹣1，n＝﹣6，
∴m+n＝﹣1﹣6＝﹣7．
故答案是：﹣7．
【分析】化简因式分解的式子，然后可以求出m和n的值，即可求出m+n的值.
11．【答案】；
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：
∴a=-4
∴b=-12
故答案为：-4，-12
【分析】 甲看错了，分解结果为 ，展开可求出a； 乙看错了，分解结果为 ，展开可求出b.
12．【答案】②③
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①（x+1）（x-1）=x2-1，是多项式乘多项式误；
②3a2-6a=3a（a-2），是因式分解；
③9a2-12a+4=（3a-2）2，是因式分解；
④3abc3=3c·abc2，不是因式分解；
故答案为：②③.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式分析即可得出答案.
13．【答案】（1）（x-1）（x+2）
（2）m-5n；（m+5n）（m-5n）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（1）∵（x-1）（x+2）=x2+x-2；
∴x2+x-2=（x-1）（x+2），
故答案为：（x-1）（x+2）.
（2）（m+5n）（m-5n）=m2-（5n）2=m2-25n2；
∴m2-25n2=（m+5n）（m-5n），
故答案为：m-5n；（m+5n）（m-5n）.
【分析】（1）根据因式分解和整式的乘法之间的关系即可求解；
（2）根据因式分解和整式的乘法之间的关系即可求解.
14．【答案】解：因为①②的右边都不是整式的积的形式，所以它们不是分解因式；④中 ， 都不是整式，⑤中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有③的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以③是分解因式.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式。化简后的结果为几个整式的乘积，所以 可以判断
①②选项错误；在④中，分母中含有字母，所以不是整式，不符合题意；在
⑤ 中，2a
3为单项式，不符合题意；在
③中，左侧为多项式，右侧为几个整式的积，所以符合题意。
15．【答案】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式（2x-3）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2=4，则可设另一个因式为(4x+b)，
得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，
∴ ，解得 ，
则另一个因式为（4x-1），a=-3.
参照方法二解答：设8x2-14x-a=k(2x-3) (k≠0)，当x= 时，左边=18-21-a,右边=0，则18-21-a=0，解得a=-3.
则另一个因式为（4x-1）.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的定义可知，等号两边只是形式不一样，但结果相等.
16．【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
【分析】(1)将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式分解，从而得出因式分解的有两个条件：等号右边必须是整式的积的形式，二、必须是整式；则可解答.
(2)整式的乘法与因式分解是相反的过程，依此即可得出结论；
(3)根据因式分解的定义，即可作答.
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