2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.1 因式分解同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·衡阳期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·南山期末）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x-1）＝x2y2-xy2
B．（a+3）（a-3）＝a2-9
C．2023a2-2023＝2023（a+1）（a-1）
D．x2+x-5＝（x-2）（x+3）+1
3．（2023七下·诸暨期末）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·保定模拟）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算 B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算
5．（2022七下·包河期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022七上·庐江月考）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．； B．；
C．； D．
7．（2021八上·大石桥期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八下·大东期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023八上·文登期中）分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x-2）（x-3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 ．
10．把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个 ;右边是几个 的形式.
11．（2015九上·大石桥期末）方程（2x﹣1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为 ．
12．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为
13．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
三、解答题
14．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
15．（2017七下·湖州月考）仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，A不符合题意；
B、不是因式分解，B不符合题意；
C、不是因式分解，C不符合题意；
D、属于因式分解，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据因式分解的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 xy2（x-1）＝x2y2-xy2 是整式的乘法运算，不符合题意；
B、（a+3）（a-3）＝a2-9 是整式的乘法运算，不符合题意；
C、 2023a2-2023＝2023（a+1）（a-1） 从左到右的变形为因式分解，符合题意；
D、 x2+x-5＝（x-2）（x+3）+1右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、该变形过程是整式乘除，不是因式分解，A不符合题意；
B、该变形过程不是因式分解，B不符合题意；
C、该变形过程是因式分解，C符合题意；
D、该变形过程分解不完全，不是因式分解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；
②属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；
故答案为：C．
【分析】①是利用平方差公式进行计算属于整式乘法；②是利用提公因式法进行因式分解属于因式分解。
5．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：
A、属于整式的乘法，不属于因式分解，A不符合题意；
B、左边与右边a的可取值不一样，不属于同一条式子，不属于因式分解，B不符合题意；
C、是因式分解，C符合题意；
D、左边到右边变形不符合因式分解的定义，不属于因式分解，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一判断即可求解。
6．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意．
B．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意．
C．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意．
D．从左到右符合因式分解定义，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
7．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A没有把化为因式积的形式，所以A不符合题意，
B从左往右的变形不是恒等变形，因式分解是恒等变形，所以B不符合题意，
C变形也不是恒等变形所以不符合题意，
D化为几个因式的积的形式，是因式分解，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义判断即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、该变形没把一个多项式化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、该变形没把一个多项式化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的概念，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
9．【答案】（x+1）（x-6）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： 分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），
b=6，
乙看错了b值，分解的结果是（x-2）（x-3），
a=-5，
x2+ax+b
故答案为：
【分析】根据已知 x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），可得b的值，乙看错了b值，分解的结果是（x-2）（x-3）可得a的值，进而可得出结论.
10．【答案】积；多项式；整式的积
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个多项式，;右边是几个整式的积的形式
【分析】根据提分解因式的定义即可得出答案。
11．【答案】5x2﹣x﹣3=0
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解；（2x﹣1）（3x+1）=x2+2，
6x2+2x﹣3x﹣1=x2+2，
6x2+2x﹣3x﹣1﹣x2﹣2=0，
5x2﹣x﹣3=0，
故答案为：5x2﹣x﹣3=0，
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．【答案】-3
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣2）
=x2﹣2x+x﹣2
=x2﹣x﹣2
所以a=﹣1，b=﹣2，
则a+b=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．
13．【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
14．【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
15．【答案】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式（2x-3）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2=4，则可设另一个因式为(4x+b)，
得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，
∴ ，解得 ，
则另一个因式为（4x-1），a=-3.
参照方法二解答：设8x2-14x-a=k(2x-3) (k≠0)，当x= 时，左边=18-21-a,右边=0，则18-21-a=0，解得a=-3.
则另一个因式为（4x-1）.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的定义可知，等号两边只是形式不一样，但结果相等.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.1 因式分解同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·衡阳期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，A不符合题意；
B、不是因式分解，B不符合题意；
C、不是因式分解，C不符合题意；
D、属于因式分解，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据因式分解的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
2．（2023八下·南山期末）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x-1）＝x2y2-xy2
B．（a+3）（a-3）＝a2-9
C．2023a2-2023＝2023（a+1）（a-1）
D．x2+x-5＝（x-2）（x+3）+1
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 xy2（x-1）＝x2y2-xy2 是整式的乘法运算，不符合题意；
B、（a+3）（a-3）＝a2-9 是整式的乘法运算，不符合题意；
C、 2023a2-2023＝2023（a+1）（a-1） 从左到右的变形为因式分解，符合题意；
D、 x2+x-5＝（x-2）（x+3）+1右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，进行判断即可.
3．（2023七下·诸暨期末）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、该变形过程是整式乘除，不是因式分解，A不符合题意；
B、该变形过程不是因式分解，B不符合题意；
C、该变形过程是因式分解，C符合题意；
D、该变形过程分解不完全，不是因式分解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
4．（2023·保定模拟）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算 B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；
②属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；
故答案为：C．
【分析】①是利用平方差公式进行计算属于整式乘法；②是利用提公因式法进行因式分解属于因式分解。
5．（2022七下·包河期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：
A、属于整式的乘法，不属于因式分解，A不符合题意；
B、左边与右边a的可取值不一样，不属于同一条式子，不属于因式分解，B不符合题意；
C、是因式分解，C符合题意；
D、左边到右边变形不符合因式分解的定义，不属于因式分解，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一判断即可求解。
6．（2022七上·庐江月考）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．； B．；
C．； D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意．
B．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意．
C．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意．
D．从左到右符合因式分解定义，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
7．（2021八上·大石桥期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A没有把化为因式积的形式，所以A不符合题意，
B从左往右的变形不是恒等变形，因式分解是恒等变形，所以B不符合题意，
C变形也不是恒等变形所以不符合题意，
D化为几个因式的积的形式，是因式分解，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义判断即可。
8．（2021八下·大东期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、该变形没把一个多项式化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、该变形没把一个多项式化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的概念，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
二、填空题
9．（2023八上·文登期中）分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x-2）（x-3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 ．
【答案】（x+1）（x-6）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： 分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），
b=6，
乙看错了b值，分解的结果是（x-2）（x-3），
a=-5，
x2+ax+b
故答案为：
【分析】根据已知 x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），可得b的值，乙看错了b值，分解的结果是（x-2）（x-3）可得a的值，进而可得出结论.
10．把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个 ;右边是几个 的形式.
【答案】积；多项式；整式的积
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个多项式，;右边是几个整式的积的形式
【分析】根据提分解因式的定义即可得出答案。
11．（2015九上·大石桥期末）方程（2x﹣1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为 ．
【答案】5x2﹣x﹣3=0
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解；（2x﹣1）（3x+1）=x2+2，
6x2+2x﹣3x﹣1=x2+2，
6x2+2x﹣3x﹣1﹣x2﹣2=0，
5x2﹣x﹣3=0，
故答案为：5x2﹣x﹣3=0，
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为
【答案】-3
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣2）
=x2﹣2x+x﹣2
=x2﹣x﹣2
所以a=﹣1，b=﹣2，
则a+b=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．
13．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
三、解答题
14．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
15．（2017七下·湖州月考）仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
【答案】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式（2x-3）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2=4，则可设另一个因式为(4x+b)，
得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，
∴ ，解得 ，
则另一个因式为（4x-1），a=-3.
参照方法二解答：设8x2-14x-a=k(2x-3) (k≠0)，当x= 时，左边=18-21-a,右边=0，则18-21-a=0，解得a=-3.
则另一个因式为（4x-1）.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的定义可知，等号两边只是形式不一样，但结果相等.
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