2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.2 提公因式法同步分层训练基础题
一、选择题
1．多项式提取公因式后，得到的另一个因式为 （ ）
A． B． C． D．
2．下面是四位同学将分解因式的结果，其中正确的是 （ ）
①2x(xa-3ab)；
②2xa(x-3b+1)；
③2x(xa-3ab+1)；
④2x(-xa+3ab-1).
A．① B．② C．③ D．④
3．（2023七下·拱墅期末）多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C．a D．
4．（2023七下·曲阳期末）将-a2b-ab2提公因式-ab后，另一个因式是（ ）
A．a+2b B．-a+2b C．-a-b D．a-2b
5．多项式中，各项的公因式为（ ）
A．a b B． C．4a b D．
6．（2023八上·芝罘期中）计算的结果是（ ）
A．-2 B． C． D．
7．（2023八下·薛城期末）把因式分解的结果应为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·承德期末）对于①，②，从左到右的变形，下面的表述正确的是（ ）．
A．①②都是因式分解 B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
二、填空题
9．（2024九下·福州开学考）分解因式： ．
10．
（1）多项式 各项的公因式为 .
（2）多项式 各项的公因式为 .
11．利用因式分解的变形方法计算：
（1） .
（2） .
12．（2020八上·莱州期中）如果a+b＝10，ab＝19，则a2b+ab2的值为 ．
13．（2023八上·芝罘期中）现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到018162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式，取，时，请你写出一个用上述方法产生的密码 .
三、解答题
14．（2019七下·邵阳期中）已知 互为相反数，且满足 ，求 的值.
15．（2023八上·朔州月考）下面是小冉同学对多项式进行因式分解的过程：
解：原式第一步
第二步
…
（1）第一步横线上的多项式是 ，用到的乘法公式是 ．（写出用字母，表示的乘法公式）
（2）补全解题过程．
四、综合题
16．（2023八下·邛崃期末）
（1）分解因式：．
（2）解不等式组：，并求出不等式组的整数解．
17．（2023八下·临汾期末）
（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 ；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ；
③第 步出现错误，错误的原因是 ；
④因式分解正确的结果为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =
=(a-b)(x2+x+1).
故答案为：B.
【分析】观察可得多项式各项的公因式为(a-b)，从而用多项式的各项分别除以公因式(a-b)，将各项剩下的商写在一起就得到另一个因式.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =2x（ xa-3ab+1 ） .
故答案为：C.
【分析】逆用乘法分配律直接提各项的公因式2x，然后用多项式的各项分别除以2x，再把所得的商写在一起作为另一个因式即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =x（x-1），
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法分解即可.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵，∴将提公因式后，另一个因式是a+2b.
故答案为：A.
【分析】利用提公因式的方法对进行因式分解即可.
5．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：=， 各项的公因式为4a b.
故答案为：C.
【分析】 多项式中各项的公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．结合题中多项式求解即可．
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法可得，再提公因式进行因式分解即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
多项式的两项中含有公因式b(x-3)，提取公因式即可。注意符号的变化。
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ①属于因式分解，
，②属于整式的乘法；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义、整式的乘法进行判断即可.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用提公因式法对原式分解因式即可.
10．【答案】（1）2xy
（2）3a2b2
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：（1） =2xy(x-y)，
∴中各项的公因式为2xy.
故答案为：2xy；
（2） =3a2b2(1-2ab-4c）.
∴中各项的公因式为3a2b2.
故答案为：3a2b2.
【分析】多项式中各项都含有的相同的因式，叫做公因式；确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定各项系数的最大公约数；2定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此判断即可.
11．【答案】（1）4048000
（2）5600
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：4048000；
（2）
故答案为：5600.
【分析】（1）利用提公因式法即可求解；
（2）利用平方差公式即可求解.
12．【答案】190
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b＝10，ab＝19，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝19×10
＝190．
故答案为：190．
【分析】根据题意可知a+b＝10，ab＝19，代入计算即可。
13．【答案】212361
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
当，时
2x+y=61，2x-y=23
从小到大排列可得到：212361
故答案为：212361
【分析】根据提公因式，平方差公式将代数式进行因式分解，再根据题意代入相应值即可求出答案.
14．【答案】解：∵m与n互为相反数，
∴m+n=0①，
∵（m+4）2-（n+4）2=[（m+4）+（n+4）][（m+4）-（n+4）]=（m+n+8）（m-n）=16，
∴8（m-n）=16，即m-n=2②，
联立①②解得：m=1，n=-1，
则m2+n2- =1+1+1=3．
【知识点】相反数及有理数的相反数；因式分解﹣提公因式法；解二元一次方程组
【解析】【分析】由m与n互为相反数得到m+n=0，将已知等式左边利用平方差公式分解因式，将m+n的值代入得到m-n=2，两方程联立组成方程组求出m与n的值，代入所求式子中计算即可求出值．
15．【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式去括号，用字母a、b写出完全平方公式即可求解；
（2）先去括号、合并同类项，再利用提公因式法进行因式分解即可求解.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)先进行整式的运算，然后再运用提公因式法进行因式分解；
（2）先解不等式组得出不等式组的解集，然后写出符合条件的整数解即可。
17．【答案】（1）解：原式
（2）；乘法分配律；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（2） ① 根据题意得出是平方差公式，即：
② 提公因式的运算律为：乘法分配律
③ 括号前是“-”号，去括号要变号，所以第二步出现错误
④
故：
第1空、
第2空、乘法分配律
第3空、二
第4空、括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号
第5空、
【分析】（1）提公因式，根据完全平方公式即可求出答案。
（2）利用平方差公式，提公因式法即可求出答案。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.2 提公因式法同步分层训练基础题
一、选择题
1．多项式提取公因式后，得到的另一个因式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =
=(a-b)(x2+x+1).
故答案为：B.
【分析】观察可得多项式各项的公因式为(a-b)，从而用多项式的各项分别除以公因式(a-b)，将各项剩下的商写在一起就得到另一个因式.
2．下面是四位同学将分解因式的结果，其中正确的是 （ ）
①2x(xa-3ab)；
②2xa(x-3b+1)；
③2x(xa-3ab+1)；
④2x(-xa+3ab-1).
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =2x（ xa-3ab+1 ） .
故答案为：C.
【分析】逆用乘法分配律直接提各项的公因式2x，然后用多项式的各项分别除以2x，再把所得的商写在一起作为另一个因式即可.
3．（2023七下·拱墅期末）多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C．a D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =x（x-1），
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法分解即可.
4．（2023七下·曲阳期末）将-a2b-ab2提公因式-ab后，另一个因式是（ ）
A．a+2b B．-a+2b C．-a-b D．a-2b
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵，∴将提公因式后，另一个因式是a+2b.
故答案为：A.
【分析】利用提公因式的方法对进行因式分解即可.
5．多项式中，各项的公因式为（ ）
A．a b B． C．4a b D．
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：=， 各项的公因式为4a b.
故答案为：C.
【分析】 多项式中各项的公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．结合题中多项式求解即可．
6．（2023八上·芝罘期中）计算的结果是（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法可得，再提公因式进行因式分解即可求出答案.
7．（2023八下·薛城期末）把因式分解的结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
多项式的两项中含有公因式b(x-3)，提取公因式即可。注意符号的变化。
8．（2023七下·承德期末）对于①，②，从左到右的变形，下面的表述正确的是（ ）．
A．①②都是因式分解 B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ①属于因式分解，
，②属于整式的乘法；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义、整式的乘法进行判断即可.
二、填空题
9．（2024九下·福州开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用提公因式法对原式分解因式即可.
10．
（1）多项式 各项的公因式为 .
（2）多项式 各项的公因式为 .
【答案】（1）2xy
（2）3a2b2
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：（1） =2xy(x-y)，
∴中各项的公因式为2xy.
故答案为：2xy；
（2） =3a2b2(1-2ab-4c）.
∴中各项的公因式为3a2b2.
故答案为：3a2b2.
【分析】多项式中各项都含有的相同的因式，叫做公因式；确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定各项系数的最大公约数；2定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此判断即可.
11．利用因式分解的变形方法计算：
（1） .
（2） .
【答案】（1）4048000
（2）5600
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：4048000；
（2）
故答案为：5600.
【分析】（1）利用提公因式法即可求解；
（2）利用平方差公式即可求解.
12．（2020八上·莱州期中）如果a+b＝10，ab＝19，则a2b+ab2的值为 ．
【答案】190
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b＝10，ab＝19，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝19×10
＝190．
故答案为：190．
【分析】根据题意可知a+b＝10，ab＝19，代入计算即可。
13．（2023八上·芝罘期中）现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到018162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式，取，时，请你写出一个用上述方法产生的密码 .
【答案】212361
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
当，时
2x+y=61，2x-y=23
从小到大排列可得到：212361
故答案为：212361
【分析】根据提公因式，平方差公式将代数式进行因式分解，再根据题意代入相应值即可求出答案.
三、解答题
14．（2019七下·邵阳期中）已知 互为相反数，且满足 ，求 的值.
【答案】解：∵m与n互为相反数，
∴m+n=0①，
∵（m+4）2-（n+4）2=[（m+4）+（n+4）][（m+4）-（n+4）]=（m+n+8）（m-n）=16，
∴8（m-n）=16，即m-n=2②，
联立①②解得：m=1，n=-1，
则m2+n2- =1+1+1=3．
【知识点】相反数及有理数的相反数；因式分解﹣提公因式法；解二元一次方程组
【解析】【分析】由m与n互为相反数得到m+n=0，将已知等式左边利用平方差公式分解因式，将m+n的值代入得到m-n=2，两方程联立组成方程组求出m与n的值，代入所求式子中计算即可求出值．
15．（2023八上·朔州月考）下面是小冉同学对多项式进行因式分解的过程：
解：原式第一步
第二步
…
（1）第一步横线上的多项式是 ，用到的乘法公式是 ．（写出用字母，表示的乘法公式）
（2）补全解题过程．
【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式去括号，用字母a、b写出完全平方公式即可求解；
（2）先去括号、合并同类项，再利用提公因式法进行因式分解即可求解.
四、综合题
16．（2023八下·邛崃期末）
（1）分解因式：．
（2）解不等式组：，并求出不等式组的整数解．
【答案】（1）解：
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)先进行整式的运算，然后再运用提公因式法进行因式分解；
（2）先解不等式组得出不等式组的解集，然后写出符合条件的整数解即可。
17．（2023八下·临汾期末）
（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 ；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ；
③第 步出现错误，错误的原因是 ；
④因式分解正确的结果为 ．
【答案】（1）解：原式
（2）；乘法分配律；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（2） ① 根据题意得出是平方差公式，即：
② 提公因式的运算律为：乘法分配律
③ 括号前是“-”号，去括号要变号，所以第二步出现错误
④
故：
第1空、
第2空、乘法分配律
第3空、二
第4空、括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号
第5空、
【分析】（1）提公因式，根据完全平方公式即可求出答案。
（2）利用平方差公式，提公因式法即可求出答案。
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