2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.2 提公因式法同步分层训练提升题
一、选择题
1．将 分解因式时，应提取的公因式为 （ ）
A．-2 B．2abc C．2ab2c D．2a2b3c
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵=2ab2c（6ab-4ac+3bc）
∴ 应提取的公因式为2ab2c.
故答案为：C.
【分析】多项式中各项都含有的相同的因式，叫做公因式；确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定各项系数的最大公约数；2定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此解答即可.
2．（2024八上·阿图什期末）多项式与多项式的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；公因式
【解析】【解答】解：
∴多项式与多项式的公因式是
故答案为：A．
【分析】根据公因式的定义求解。先利用完全平方公式因式分解，再寻找公因式．
3．已知(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)=(13x-17)(19x-31-11x+23)=(13x-17)(8x-8)，
而 (19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，
∴a=13，b=-17，c=-8，
∴a+b+c=13+（-17）+（-8）=-12.
故答案为：A.
【分析】首先将(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)利用提取公因式法分解因式，即可得出a、b、c的值，进而再根据有理数的加法法则计算可得答案.
4．（2022八上·蓬莱期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．mn（m-n）-m（n-m）=-m（n-m）（n+1）
B．6（p+q）2-2（p+q）=2（p+q）（3p+q-1）
C．3（y-x）2+2（x-y）=（y-x）（3y-3x+2）
D．3x（x+y）-（x+y）2=（x+y）（2x+y）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A．mn（m-n）-m（n-m）=m（m-n）（n+1）=-m（n-m）（n+1），故原选项符合题意；
B.6（p+q）2-2（p+q）=2（p+q）（3p+3q-1），故原选项不符合题意；
C.3（y-x）2+2（x-y）=（y-x）（3y-3x-2），故原选项不符合题意；
D.3x（x+y）-（x+y）2=（x+y）（2x-y），故原选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用提公因式的因式分解的计算方法逐项判断即可。
5．（2022七下·肥东期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据提取公因式的方法对选项逐一计算即可求解。
6．（2022八下·薛城月考）把多项式分解因式的结果是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3m(x-y)-2(y-x)2
=3m(x y) 2(x y)
=(x y)(3m 2x+2y).
故答案为：B.
【分析】提取公因式（x-y）即可。
7．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），
∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），
∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，
∴c=-8，a=13，b=-17，
∴a+b+c=13-17-8=-12.
故答案为：A.
【分析】先将原式利用提公因式法正确因式分解，再由原式可因式分解成（ax+b）（8x+c），进而得8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，再对应关系求得a、b、c的值，即可求解问题.
8．多项式 ，其中a为整数.下列说法正确的是（ ）
A．若公因式为3x，则
B．若公因式为5x，则
C．若公因式为3x，则 ( k为整数)
D．若公因式为5x，则 ( k 为整数)
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】A、当a=4时，则原式=9x2+3x，公因式为3x，错误；
B、 多项式 ，∵3x没有因数5，∴a取任何数，原式不可能有5x，错误；
C、 若公因式为3x，则 ( k 为整数) ，2a+1=6k+2+1=6k+3，∴原式有公因式3x，正确；
D、 若公因式为5x，则 ，2a+1=10k+2+1=10k+3，∴原式没有公因式3x，错误.
故答案为：C.
【分析】 一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，根据题意分别分析，即可判断.
二、填空题
9．（2024八上·防城期末）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】将公因式m提出即可.
10．分解因式 .
【答案】m(m-9)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：.
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
11．（2023七下·新邵期末）若，，则多项式的值是 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-16.
【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可.
12．（2023七下·萧山期中）与的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵2x3y2=2x3y·y，6x4y=2x3y·2x，
∴公因式为2x3y.
故答案为：2x3y.
【分析】公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，指数取公共字母的最小指数，据此解答.
13．（2021八上·平原月考）边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 的值为 ．
【答案】70
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：依题意：2a+2b=14，ab=10，
则a+b=7
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；
故答案为：70
【分析】先求出2a+2b=14，ab=10，再计算求解即可。
三、解答题
14．（2023七下·浙江期末）
（1）解方程组：
（2）因式分解：(a-2b)2+a-2b．
【答案】（1）解：
②-①得：2x=8-2x，
解得：x=2；
将x=2代入①得：y=4，
∴.
（2）解：（a-2b）2+a-2b
=（a-2b）（a-2b+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将（a-2b）看作一个整体，提取公因式（a-2b）即可求解.
15．已知：多项式A=b3﹣2ab
（1）请将A进行因式分解：
（2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值．
【答案】（1）解：A=b3﹣2ab=b（b2﹣2a）
（2）解：∵A=0，∴b（b2﹣2a）=0，
解得：b=0或b2﹣2a=0，
∵b≠0，
∴b2﹣2a=0，即b2=2a，
则原式= = =
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）将多项式提取公因式，进行化简。（2）A=0，即有两种情况，将两种情况代入原式，进行化简。
四、综合题
16．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
【答案】（1）解：等式右边不是积的形式，不是因式分解；
（2）解：是整式的乘法，不是因式分解；
（3）解：等式右边不是积的形式，不是因式分解；
（4）解：是因式分解.
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】根据因式分解定义，将多项式在一定范围内化成几个因式的乘积的形式，进行判断. （1）、（2）、（3）等式右边均不是因式的乘积形式，所以不是因式分解；（4）符合因式分解的定义，是因式分解，据此判断即可.
17．（2023七下·扬州月考）已知，．
（1）求的值．
（2）求的值．
【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）先将 根据完全平方公式变形化为，再整体代入求值即可；
（2）先提公因式进行变形，再整体代入求值即可.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.2 提公因式法同步分层训练提升题
一、选择题
1．将 分解因式时，应提取的公因式为 （ ）
A．-2 B．2abc C．2ab2c D．2a2b3c
2．（2024八上·阿图什期末）多项式与多项式的公因式是( )
A． B． C． D．
3．已知(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
4．（2022八上·蓬莱期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．mn（m-n）-m（n-m）=-m（n-m）（n+1）
B．6（p+q）2-2（p+q）=2（p+q）（3p+q-1）
C．3（y-x）2+2（x-y）=（y-x）（3y-3x+2）
D．3x（x+y）-（x+y）2=（x+y）（2x+y）
5．（2022七下·肥东期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八下·薛城月考）把多项式分解因式的结果是
A． B．
C． D．
7．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
8．多项式 ，其中a为整数.下列说法正确的是（ ）
A．若公因式为3x，则
B．若公因式为5x，则
C．若公因式为3x，则 ( k为整数)
D．若公因式为5x，则 ( k 为整数)
二、填空题
9．（2024八上·防城期末）分解因式： .
10．分解因式 .
11．（2023七下·新邵期末）若，，则多项式的值是 ．
12．（2023七下·萧山期中）与的公因式是 ．
13．（2021八上·平原月考）边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 的值为 ．
三、解答题
14．（2023七下·浙江期末）
（1）解方程组：
（2）因式分解：(a-2b)2+a-2b．
15．已知：多项式A=b3﹣2ab
（1）请将A进行因式分解：
（2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值．
四、综合题
16．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
17．（2023七下·扬州月考）已知，．
（1）求的值．
（2）求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵=2ab2c（6ab-4ac+3bc）
∴ 应提取的公因式为2ab2c.
故答案为：C.
【分析】多项式中各项都含有的相同的因式，叫做公因式；确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定各项系数的最大公约数；2定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；公因式
【解析】【解答】解：
∴多项式与多项式的公因式是
故答案为：A．
【分析】根据公因式的定义求解。先利用完全平方公式因式分解，再寻找公因式．
3．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)=(13x-17)(19x-31-11x+23)=(13x-17)(8x-8)，
而 (19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，
∴a=13，b=-17，c=-8，
∴a+b+c=13+（-17）+（-8）=-12.
故答案为：A.
【分析】首先将(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)利用提取公因式法分解因式，即可得出a、b、c的值，进而再根据有理数的加法法则计算可得答案.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A．mn（m-n）-m（n-m）=m（m-n）（n+1）=-m（n-m）（n+1），故原选项符合题意；
B.6（p+q）2-2（p+q）=2（p+q）（3p+3q-1），故原选项不符合题意；
C.3（y-x）2+2（x-y）=（y-x）（3y-3x-2），故原选项不符合题意；
D.3x（x+y）-（x+y）2=（x+y）（2x-y），故原选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用提公因式的因式分解的计算方法逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据提取公因式的方法对选项逐一计算即可求解。
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3m(x-y)-2(y-x)2
=3m(x y) 2(x y)
=(x y)(3m 2x+2y).
故答案为：B.
【分析】提取公因式（x-y）即可。
7．【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），
∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），
∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，
∴c=-8，a=13，b=-17，
∴a+b+c=13-17-8=-12.
故答案为：A.
【分析】先将原式利用提公因式法正确因式分解，再由原式可因式分解成（ax+b）（8x+c），进而得8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，再对应关系求得a、b、c的值，即可求解问题.
8．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】A、当a=4时，则原式=9x2+3x，公因式为3x，错误；
B、 多项式 ，∵3x没有因数5，∴a取任何数，原式不可能有5x，错误；
C、 若公因式为3x，则 ( k 为整数) ，2a+1=6k+2+1=6k+3，∴原式有公因式3x，正确；
D、 若公因式为5x，则 ，2a+1=10k+2+1=10k+3，∴原式没有公因式3x，错误.
故答案为：C.
【分析】 一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，根据题意分别分析，即可判断.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】将公因式m提出即可.
10．【答案】m(m-9)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：.
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
11．【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-16.
【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可.
12．【答案】
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵2x3y2=2x3y·y，6x4y=2x3y·2x，
∴公因式为2x3y.
故答案为：2x3y.
【分析】公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，指数取公共字母的最小指数，据此解答.
13．【答案】70
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：依题意：2a+2b=14，ab=10，
则a+b=7
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；
故答案为：70
【分析】先求出2a+2b=14，ab=10，再计算求解即可。
14．【答案】（1）解：
②-①得：2x=8-2x，
解得：x=2；
将x=2代入①得：y=4，
∴.
（2）解：（a-2b）2+a-2b
=（a-2b）（a-2b+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将（a-2b）看作一个整体，提取公因式（a-2b）即可求解.
15．【答案】（1）解：A=b3﹣2ab=b（b2﹣2a）
（2）解：∵A=0，∴b（b2﹣2a）=0，
解得：b=0或b2﹣2a=0，
∵b≠0，
∴b2﹣2a=0，即b2=2a，
则原式= = =
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）将多项式提取公因式，进行化简。（2）A=0，即有两种情况，将两种情况代入原式，进行化简。
16．【答案】（1）解：等式右边不是积的形式，不是因式分解；
（2）解：是整式的乘法，不是因式分解；
（3）解：等式右边不是积的形式，不是因式分解；
（4）解：是因式分解.
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】根据因式分解定义，将多项式在一定范围内化成几个因式的乘积的形式，进行判断. （1）、（2）、（3）等式右边均不是因式的乘积形式，所以不是因式分解；（4）符合因式分解的定义，是因式分解，据此判断即可.
17．【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）先将 根据完全平方公式变形化为，再整体代入求值即可；
（2）先提公因式进行变形，再整体代入求值即可.
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