2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.2 提公因式法同步分层训练培优题
一、选择题
1．多项式 2x2-4xy+2x 提取公因式 2x 后，另一个因式为（ ）
A．x-2y B．x-2y+1 C．x-4y+1 D．x-2y-1
2．（2023八下·兰州期末）把分解因式（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·无锡期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七下·淮北期末）把提取公因式后，则另一个因式是（ ）
A． B． C．m D．
5．（2022·河北模拟）将多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若 可分解因式为 ，则 等于（ ）
A．2xy B． C． D．
7．（2021八上·泸西期末）下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（ ）
①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、填空题
9．如果多项式2x+m 可以分解为2(x+2)，那么m的值为 .
10．已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为 ．
11．（2023八上·江油期中）已知，则的值是 ．
12．（2015九上·句容竞赛）若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
13．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
三、解答题
14．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
15．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是 ．共应用了 次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
四、综合题
16．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
17．（2019七下·新田期中）在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考：
因为 ，
所以
即
所以
举一反三：
（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，则 的值．
（3）已知 ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2x2-4xy+2x=2x（x-2y+1），
∴另一个因式为x-2y+1.
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法，将此多项式进行因式分解，即可得到另一个因式。
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=2x（a-b）+4y（a-b）=，
故答案为：D.
【分析】先将代数式变形为2x（a-b）+4y（a-b），再提取公因式2（a-b）即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A：-2x2+4x=-2x(x-2)，故A错误；
B：x2+xy+x=x(x+y+1)，故B错误；
C：x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2，故C正确；
D：x2+6x-9不能分解，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对A提取公因式-2x即可进行判断；对B提取x即可判断；对C提取(x-y)即可判断；D不能进行分解.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】，
∴另一个因式为（1-m），
故答案为：A．
【分析】 提取公因式剩下的因式想减，注意符号的变化.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=
=．
故答案为：B．
【分析】将原式变形为，再提取公因式即可。
6．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=4x3y2-6x2y3+2x2y2
= ，
∴M=2x2y2 .
故答案为：B.
【分析】先进行单项式乘多项式的运算，再根据恒等的关系求M的代数式即可.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1），提公因式法；
②x2+6x+9＝（x+3）2，公式法；
③4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），公式法；
④3a﹣9ab＝3a（1﹣3b），提公因式法；
故上列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是：①和④，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
9．【答案】4
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2(x+2）=2x+4，
又∵多项式2x+m可以分解为2(x+2)，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】将一个多项式分解为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此利用乘法分配律算出“2(x+2)”的积，即可比较得出m的值.
10．【答案】8
【知识点】代数式求值；公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×2=8．
故答案为：8．
【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
11．【答案】6
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：由题意可得：
=3×2
=6
故答案为：6
【分析】将代数式提公因式进行化简，再代入相应值即可求出答案.
12．【答案】1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
13．【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
14．【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
15．【答案】（1）提公因式法；2
（2）2019；（1+x）2020
（3）解： 原式=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）n
……
=（1+x）n+x（x+1）n
=（1+x）n（1+x）
=（1+x）n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2.
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+……+x（x+1）2019
=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）2019
……
=（1+x）2019+x（x+1）2019
=（1+x）2019（1+x）
=（1+x）2020.
需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020．
故答案为：2019，（1+x）2020.
【分析】（1）通过观察所给的因式分解过程，可知整个过程用的是提取公因式的方法；
（2）根据（1）因式分解方法，用提取公因式的方法因式分解即可；
（3）结合（2）中的运算，用提取公因式的方法因式分解即可.
16．【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
17．【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18
所以（a+b）2-（a-b）2＝28-12
所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)＝16
即4ab=16
ab=4
（2）解：因为 所以 所以
所以 所以 所以 所以
所以
（3）解：因为 ，所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝-1+2019
＝2018
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.2 提公因式法同步分层训练培优题
一、选择题
1．多项式 2x2-4xy+2x 提取公因式 2x 后，另一个因式为（ ）
A．x-2y B．x-2y+1 C．x-4y+1 D．x-2y-1
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2x2-4xy+2x=2x（x-2y+1），
∴另一个因式为x-2y+1.
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法，将此多项式进行因式分解，即可得到另一个因式。
2．（2023八下·兰州期末）把分解因式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=2x（a-b）+4y（a-b）=，
故答案为：D.
【分析】先将代数式变形为2x（a-b）+4y（a-b），再提取公因式2（a-b）即可得到答案.
3．（2023七下·无锡期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A：-2x2+4x=-2x(x-2)，故A错误；
B：x2+xy+x=x(x+y+1)，故B错误；
C：x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2，故C正确；
D：x2+6x-9不能分解，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对A提取公因式-2x即可进行判断；对B提取x即可判断；对C提取(x-y)即可判断；D不能进行分解.
4．（2022七下·淮北期末）把提取公因式后，则另一个因式是（ ）
A． B． C．m D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】，
∴另一个因式为（1-m），
故答案为：A．
【分析】 提取公因式剩下的因式想减，注意符号的变化.
5．（2022·河北模拟）将多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=
=．
故答案为：B．
【分析】将原式变形为，再提取公因式即可。
6．若 可分解因式为 ，则 等于（ ）
A．2xy B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=4x3y2-6x2y3+2x2y2
= ，
∴M=2x2y2 .
故答案为：B.
【分析】先进行单项式乘多项式的运算，再根据恒等的关系求M的代数式即可.
7．（2021八上·泸西期末）下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（ ）
①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1），提公因式法；
②x2+6x+9＝（x+3）2，公式法；
③4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），公式法；
④3a﹣9ab＝3a（1﹣3b），提公因式法；
故上列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是：①和④，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
二、填空题
9．如果多项式2x+m 可以分解为2(x+2)，那么m的值为 .
【答案】4
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2(x+2）=2x+4，
又∵多项式2x+m可以分解为2(x+2)，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】将一个多项式分解为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此利用乘法分配律算出“2(x+2)”的积，即可比较得出m的值.
10．已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为 ．
【答案】8
【知识点】代数式求值；公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×2=8．
故答案为：8．
【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
11．（2023八上·江油期中）已知，则的值是 ．
【答案】6
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：由题意可得：
=3×2
=6
故答案为：6
【分析】将代数式提公因式进行化简，再代入相应值即可求出答案.
12．（2015九上·句容竞赛）若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
【答案】1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
13．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
三、解答题
14．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
15．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是 ．共应用了 次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
【答案】（1）提公因式法；2
（2）2019；（1+x）2020
（3）解： 原式=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）n
……
=（1+x）n+x（x+1）n
=（1+x）n（1+x）
=（1+x）n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2.
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+……+x（x+1）2019
=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）2019
……
=（1+x）2019+x（x+1）2019
=（1+x）2019（1+x）
=（1+x）2020.
需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020．
故答案为：2019，（1+x）2020.
【分析】（1）通过观察所给的因式分解过程，可知整个过程用的是提取公因式的方法；
（2）根据（1）因式分解方法，用提取公因式的方法因式分解即可；
（3）结合（2）中的运算，用提取公因式的方法因式分解即可.
四、综合题
16．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
17．（2019七下·新田期中）在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考：
因为 ，
所以
即
所以
举一反三：
（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，则 的值．
（3）已知 ，求 的值．
【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18
所以（a+b）2-（a-b）2＝28-12
所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)＝16
即4ab=16
ab=4
（2）解：因为 所以 所以
所以 所以 所以 所以
所以
（3）解：因为 ，所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝-1+2019
＝2018
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可
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